上海市十二校联考2015届高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

上海市十二校联考 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (3 月份)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格填对 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分)幂函数 y=x 2. (4 分)函数 (m∈N)在区间(0,+∞)上是减函数,则 m=. 的定义域是.

3. (4 分)在△ ABC 中,已知 BC=8,AC=5,三角形面积为 12,则 cos2C=. 4. (4 分)设 i 为虚数单位,若关于 x 的方程 x ﹣(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为 n, 则 m=.
2

5. (4 分)若椭圆的方程为

+

=1,且此椭圆的焦距为 4,则实数 a=.

6. (4 分)若一个圆锥的侧面展开如圆心角为 120°、半径为 3 的扇形,则这个圆锥的表面积 是. 7. (4 分)若关于 x 的方程 lg(x +ax)=1 在 x∈[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为. 8. (4 分) 《孙子算经》卷下第二十六题:今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三, 七七数之剩二,问物几何?. (只需写出一个答案即可)
2

9. (4 分)若

(x≥0,y≥0) ,则目标函数 k=6x+8y 取最大值时点的坐标为.

10. (4 分)设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到至少 1 个白球的概率 为 ,则口袋中白球的个数为.[来源:Z&xx&k.Com]

11. (4 分)如图所示,一个确定的凸五边形 ABCDE,令 x= 则 x、y、z 的大小顺序为.

?

,y=

?

,z=

?



12. (4 分)设函数 f( x)的定义域为 D,D?[0,4π],它的对应法则为 f:x→sin x,现已知 f( x)的值域为{0,﹣ ,1},则这样的函数共有个.
2 3 1999 2000

13. (4 分)若多项式(1﹣2x+3x ﹣4x +…﹣2000x +2001x ) 2 3 1999 2000 4000 3999 3998 (1+2x+3x +4x +…+2000x +2001x )=a0x +a1x +a2x +…+a3999x+a4000,则 a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=. 14. (4 分)在平面直角坐标系中有两点 A(﹣1,3 ) 、B(1, ) ,以原点为圆心,r>0 为半径作一个圆,与射线 y=﹣ x(x<0)交于点 M,与 x 轴正半轴交于 N,则当 r 变化时, |AM|+|BN|的最小值为.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,选对得 5 分, 否则一律得零分. 15. (5 分)若非空集合 A 中的元素具有命题 α 的性质,集合 B 中的元素具有命题 β 的性质, 若 A?B,则命题 α 是命题 β 的()条件. A.充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D.既非充分又非必要 16. (5 分)用反证法证明命题:“已知 a、b∈N ,如果 ab 可被 5 整除,那么 a、b 中至少有一 个能被 5 整除”时,假设的内容应为() A.a、b 都能被 5 整除 B. a、b 都不能被 5 整除 C. a、b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除 17. (5 分)实数 x、y 满足 x +2xy+y +x y =1,则 x﹣y 的最大值为() A.4 B. 2 C. 2 D. 18. (5 分)直线 m⊥平面 α,垂足是 O,正四面体 ABCD 的棱长为 4,点 C 在平面 α 上 运动, 点 B 在直线 m 上运动,则点 O 到 直线 AD 的距离的取值范围是() A.[ D.[3 , ﹣2,3 +2] ] B. [2 ﹣2,2 +2] C. [ , ]
2 2 2 2 *

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题须写出必要的步骤. 19. (12 分)已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,底面边长为 BB1、BC 上,Q 是 BB1 中点,且 PQ∥AB,C1Q⊥QR (1)求证:C1Q⊥平面 PQR; (2)若 C1Q= ,求四面体 C1PQR 的体积. ,点 P、Q、R 分别在棱 AA1、

20. (14 分)已知数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=16bn(n∈N) ,设数列{
2

}的前 n 项和是 Tn.

(1)比较 Tn+1 与 Tn?Tn+2 的大小; 2 (2)若数列{an} 的前 n 项和 Sn=2n +2n+2,数列{cn}=an﹣logdbn(d>0,d≠1) ,求 d 的取值 范围使得{cn}是递增数列. 21. (14 分)某种波的传播是由曲线 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0)来实现的,我们把函数解 析式 f(x)=Asin(ωx+φ)称为“波”,把振幅都是 A 的波称为“A 类波”,把两个解析式相加 称为波的叠加. (1)已知“1 类波”中的两个波 f1(x)=sin(x+φ1)与 f2(x)=sin(x+φ2)叠加后仍是“1 类 波”,求 φ2﹣φ1 的值; (2)在“A 类波“中有一个是 f1(x)=sinx,从 A 类波中再找出两个不同的波(每两个波的初 相 φ 都不同)使得这三个不同的波叠加之后是“平波”,即叠加后 y=0,并说明理由. 22. (16 分)设函数 f(x)=ax +(2b+1)x﹣a﹣2(a,b∈R) . (1)若 a=0,当 x∈[ ,1]时恒有 f(x)≥0,求 b 的取值范围;[来源:Zxxk.Com] (2)若 a≠0 且 b=﹣1,试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点,使得函数 y=f(x)的 图象永远不经过这两点; 2 2 (3)当 a +b =1 时,函数 y=f(x)存在零点 x0,求 x0 的取值范围. 23. (18 分)设有二元关系 f(x,y)=(x﹣y) +a(x﹣y)﹣1,已知曲线 Γ:f(x,y)=0 (1)若 a=2 时,正方形 ABCD 的四个顶点均在曲线上,求正方形 ABCD 的面积; (2)设曲线 C 与 x 轴的交点是 M、N,抛物线 E:y= x +1 与 y 轴的交点是 G,直线 MG 与 曲线 E 交于点 P,直线 NG 与曲线 E 交于 Q,求证:直线 PQ 过定点(0,3) .
2 2 2

(3)设曲线 C 与 x 轴的交点是 M(u,0) 、N(v,0) ,可知动点 R(u,v)在某确定的曲线 上运动,曲线与上述曲线 C 在 a≠0 时共有 4 个交点,其分别是:A(x1,|x2) 、B(x3,x4) 、C (x5,x6) 、D(x7,x8) ,集合 X={x1,x2,…,x8}的所有非空子集设为 Yi=1,2,…,255) , 将 Yi 中的所有元素相加(若 Yi 中只有一个元素,则和是其自身)得到 255 个数 y1、y2、…、 3 3 3 y255,求 y1 +y2 +…+y255 的值.

上海市十二校联考 2015 届高考数学模拟试卷(文科) (3 月份)[来源:学科网]
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格填对 4 分,否则一律得零分. 1. (4 分)幂函数 y=x (m∈N)在区间(0,+∞)上是减函数,则 m=0.

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用;幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 根据幂函数的性质,可得 m +2m﹣3<0,解不等式求得自然数解,即可得到 m=0. m2+2m﹣3 解答: 解:由幂函数 y=x 在(0,+∞)为减函数, 2 则 m +2m﹣3<0, 解得﹣3<m<1. 由于 m∈N, 则 m=0.[来源:Z#xx#k.Com] 故答案为:0. 点评: 本题考查幂函数的性质,主要考查二次不等式的解法,属于基础题. 2. (4 分)函数 的定义域是(0,1].
2

考点: 函数的定义域及其求法;对数函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: 令被开方数大于等于 0,然后利用对数函数的单调性及真数大于 0 求出 x 的范围,写 出集合区间形式即为函数的定义域. 解答: 解: ∴0<x≤1 ∴函数的定义域为(0,1] 故答案为: (0,1] 点评: 求解析式已知的函数的定义域应该考虑:开偶次方根的被开方数大于等于 0;对数函 数的真数大于 0 底数大于 0 小于 1;分母非 0.

3. (4 分)在△ ABC 中,已知 BC=8,AC=5,三角形面积为 12,则 cos2C=



考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先通过 BC=8,AC=5,三角形面积为 12 求出 sinC 的值,再通过余弦函数的二倍角公 式求出答案. 解答: 解:∵已知 BC=8,AC=5,三角形面积为 12, ∴ ?BC?ACsinC=12 ∴sinC= ∴cos2C=1﹣2sin C=1﹣2× 故答案为: 点评: 本题主要考查通过正弦求三角形面积及倍角公式的应用.属基础题. 4. (4 分)设 i 为虚数单位,若关于 x 的方程 x ﹣(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为 n, 则 m=1. 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 把 n 代入方程,利用复数相等的条件,求出 m,n,即可. 解答: 解:关于 x 的方程 x ﹣(2+i)x+1+mi=0(m∈R)有一实根为 n, 2 可得 n ﹣(2+i)n+1+mi=0 所以 ,
2 2 2

=

所以 m=n=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查复数相等的条件,考查计算能力,是基础题.

5. (4 分)若椭圆的方程为

+

=1,且此椭圆的焦距为 4,则实数 a=4 或 8.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先分两种情况:①焦点在 x 轴上.②焦点在 y 轴上,分别求出 a 的值即可. 解答: 解:①焦点在 x 轴上时:10﹣a﹣(a﹣2)=4 解得:a=4. ②焦点在 y 轴上时 a﹣2﹣(1 0﹣a)=4 解得:a=8

故答案为:4 或 8. 点评: 本题考查的知识要点:椭圆方程的两种情况:焦点在 x 轴或 y 轴上,考察 a、b、c 的关系式,及相关的运算问题. 6. (4 分)若一个圆锥的侧面展开如圆心角为 120°、半径为 3 的扇形,则这个圆锥的表面积 是 4π. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 易得圆锥侧面展开图的弧长,除以 2π 即为圆锥的底面半径,圆锥表面积=底面积+侧 2 面积=π×底面半径 +π×底面半径×母线长,把相关数值代入即可求解.
[来源:Zxxk.Com]

解答: 解:圆锥的侧面展开图的弧长为: ∴圆锥的底面半径为 2π÷2π=1, 2 ∴此圆锥的表面积=π×(1) +π×1×3=4π. 故答案为:4π. 点评: 本题考查扇形的弧长公式为 圆锥的表面积的求法.

=2π,

;圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长,

7. (4 分)若关于 x 的方程 lg(x +ax)=1 在 x∈[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为﹣3≤a≤9. 考点: 函数的零点. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,x +ax﹣10=0 在 x∈[1,5]上有解,可得 a= a=
2

2

﹣x 在 x∈[1,5]上有解,利用

﹣x 在 x∈[1,5]上单调递减,即可求出实数 a 的取值范围.
2

解答: 解:由题意,x +ax﹣10=0 在 x∈[1,5]上有解, 所以 a= 因为 a= ﹣x 在 x∈[1,5]上有解, ﹣x 在 x∈[1,5]上单调递减,

所以﹣3≤a≤9, 故答案为:﹣3≤a≤9.[来源:Z.xx.k.Com] 点评: 本题主要考查方程的根与函数之间的关系,考查由单调性求函数的值域,比较基础. 8. (4 分) 《孙子算经》卷下第二十六题:今有物,不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三, 七七数之剩二,问物几何?23,或 105k+23(k 为正整数) . . (只需写出一个答案即可) 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 推理和证明.

分析: 根据“三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之 剩二”找到三个数:第一个数能同时被 3 和 5 整除;第二个数能同时被 3 和 7 整除;第三个数能同时被 5 和 7 整除,将这三个数分别 乘以被 7、5、3 除的余数再相加即可求出答案. 解答: 解:我们首先需要先求出三个数: 第一个数能同时被 3 和 5 整除,但除以 7 余 1,即 15; 第二个数能同时被 3 和 7 整除,但除以 5 余 1,即 21; 第三个数能同时被 5 和 7 整除,但除以 3 余 1,即 70; 然后将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加,即:15×2+21×3+70×2=233. 最后,再减去 3、5、7 最小公倍数的整数倍,可得:233﹣105×2=23.或 105k+23(k 为正整 数) . 故答案为:23,或 105k+23(k 为正整数) . 点评: 本题考查的是带余数的除法,简单的合情推理的应用,根据题意下求出 15、21、70 这三个数是解答此题的关键.[可以原文理解为:三个三个的数余二,七个七个的数也余二, 那么,总数可能是三乘七加二,等于二十三.二十三用五去除余数又恰好是三] 9. (4 分)若 (x≥0,y≥0) ,则目标函数 k=6x+8y 取最大值时点的坐标为(0,5) .

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意,画出约束条件的可行域,结合目标函数 K=6x+8y 取得最大值的点的坐标即 可. 解答: 解:由题意画出约束条件的可行域, 与直线 6x+8y=0 平行的直线中, 只有经过 M 点时,目标函数 K=6x+8y 取得最大值. 目标函数 K=6x+8y 取得最大值时的点的坐标 M 为:x+y=5 与 y 轴的交点(0,5) . 故答案为: (0,5) .

点评: 本题是中档题,考查线性规划的应用,注意正确做出约束条件的可行域是解题的关 键,考查计算能力. 10. (4 分)设口袋中有黑球、白球共 7 个,从中任取 2 个球,已知取到至少 1 个白球的概率 为 ,则口袋中白球的个数为 3.

考点: 古典概型及其概率计算公式.

专题: 概率与统计. 分析: 设口袋中白球个数为 x 个,由对立事件概率公式得到 1﹣ 中白球的个数. 解答: 解:设口袋中白球个数为 x 个, 由已知得 1﹣ = , = ,由此能求出口袋

解得 x=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查口袋中白球的个数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意对立事件 概率计算公式的合理运用.

11. (4 分)如图所示,一个确定的凸五边形 ABCDE,令 x= 则 x、y、z 的大小顺序为 x>y>z.

?

,y=

?

,z=

?



考点: 平面向量数量积的运算;向量在几何中的应用. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的数量积公式分别判断 x,y,z 的符号,得到大小关系. 解答: 解:由题意,x= y= ? ? =AB×ACcos∠BAC>0,

=AB×ADcos∠BAD≈AB×ACcos∠BAD,

又∠BAD>∠BAC 所以 cos∠BAD<cos∠BAC, 所以 x>y>0 z= ? =AB×AEcos∠BAE<0,

所以 x>y>z. 故答案为:x>y>z. 点评: 本题考查了向量的数量积的公式;属于基础题.

12. (4 分)设函数 f( x)的定义域为 D,D?[0,4π],它的对应法则为 f :x→sin x,现已 知 f( x)的值域为{0,﹣ ,1},则这样的函数共有 1395 个.

考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: 分别求出 sinx=0,x=0,π,2π,3π,4π, sinx= ,x= ,x= +C ) ( ) ,x= ,x= ,x= ,

sinx=1,x=

利用排列组合知识求解得出这样的函数共有: (C ( )即可.

解答: 解:∵函数 f( x)的定义域为 D,D?[0,4π], ∴它的对应法则为 f:x→sin x, f( x)的值域为{0,﹣ ,1}, sinx=0,x=0,π,2π,3π,4π, sinx= ,x= ,x= +C ) ( ) ( )=31×15×3=1395 ,x= ,x= ,x= ,

sinx=1,x=

这样的函数共有: (C

故答案为:1395 点评: 本题考查了映射,函数的概念,排列组合的知识,难度不大,但是综合性较强. 13. (4 分)若多项式(1﹣2x+3x ﹣4x +…﹣2000x +2001x ) 2 3 1999 2000 4000 3999 3998 (1+2x+3x +4x +…+2000x +2001x )=a0x +a1x +a2x +…+a3999x+a4000,则 a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0. 考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 根据等式,确定 a1=﹣2000×2001+2001×2000=0,a3=0,a5=0,…,即可得出结论. 2 3 1999 2000 解答: 解:根据(1﹣2x+3x ﹣4x +…﹣2000x +2001x ) 2 3 1999 2000 4000 3999 3998 (1+2x+3x +4x +…+2000x +2001x )=a0x +a1x +a2x +…+a3999x+a4000, 可得 a1=﹣2000×2001+2001×2000=0,a3=0,a5=0,…, 所以 a1+a3+a5+…+a2011+a2013+a2015=0, 故答案为:0. 点评: 本题考查二项式定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
2 3 1999 2000

14. (4 分)在平面直角坐标系中有两点 A(﹣1,3 ) 、B(1, ) ,以原点为圆心,r>0 为半径作一个圆,与射线 y=﹣ x(x<0)交于点 M,与 x 轴正半轴交于 N,则当 r 变化时, |AM|+|BN|的最小值为 2 . 考点: 两点间距离公式的应用. 专题: 计算题;转化思想;推理和证明. 分析: 由题意,设 M(a,﹣ a) (a<0) ,则 r=﹣2a,N(﹣2a,0) .可得 |AM|+|BN|= + ,设 2a=x,进而可以理解

为(x,0)与(﹣ , )和(﹣1, )的距离和,即可得出结论. 解答: 解:由题意,设 M(a,﹣ a) (a<0) ,则 r=﹣2a,N(﹣2a,0) . ∴|AM|+|BN|= 设 2a=x,则|AM|+|BN|= + + ,

可以理解为(x,0)与(﹣5, )和(﹣1, )的距离和, ∴|AM|+|BN|的最小值为(﹣5, )和(﹣1,﹣ )的距离,即 2 . 故答案为:2 . 点评: 本题考查两点间距离公式的应用,考查学生分析解决问题的能力,有难度. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,选对得 5 分, 否则一律得零分. 15. (5 分)若非空集合 A 中的元素具有命题 α 的性质,集合 B 中的元素具有命题 β 的性质, 若 A?B,则命题 α 是命题 β 的()条件. A.充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D.既非充分又非必要 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 集合;简易逻辑. 分析: 可举个例子来判断:比如 A={1},B={1,2},α:x>0,β:x<3,容易说明此时命 题 α 是命题 β 的既非充分又非必要条件. 解答: 解:命题 α 是命题 β 的既非充分又非必要条件; 比如 A={1},α:x>0;B={1,2},β:x<3; 显然 α 成立得不到 β 成立,β 成立得不到 α 成立; ∴此时,α 是 β 的既非充分又非必要条件. 故选:D. 点评: 考查真子集的概念,以及充分条件、必要条件、既不充分又不必要条件的概念,以 及找一个例子来说明问题的方法. 16. (5 分)用反证法证明命题:“已知 a、b∈N ,如果 ab 可被 5 整除,那么 a、b 中至少有一 个能被 5 整除”时,假设的内容应为() A.a、b 都能被 5 整除 B. a、b 都不能被 5 整除 C. a、b 不都能被 5 整除 D.a 不能被 5 整除
*

考点: 反证法. 专题: 证明题;反证法;推理和证明. 分析: 反设是一种对立性假设,即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立,由此 得出此命题是成立的. 解答: 解:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定 成立进行推证. 命题“a,b∈N,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“a,b 都不能 被 5 整除”. 故选:B. 点评: 反证法是命题的否定的一个重要运用,用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题 的技巧. 17. (5 分)实数 x、y 满足 x +2xy+y +x y =1,则 x﹣y 的最大值为() A.4 B. 2 C. 2 D. 考点: 三角函数的最值;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 x +2xy+y +x y =1,变形为(x+y) +(xy) =1.可设 x+y=cosθ,xy=sinθ,θ∈[0, 2 2 2 2π) .利用(x﹣y) =(x+y) ﹣4xy=﹣(sinθ+2) +5≤4,即可得出. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:由 x +2xy+y +x y =1,变形为(x+y) +(xy) =1. 可设 x+y=cosθ,xy=sinθ,θ∈[0,2π) . 2 2 2 2 2 ∴(x﹣y) =(x+y) ﹣4xy=cos θ﹣4sinθ=1﹣sin θ﹣4sinθ=﹣(sinθ+2) +5≤4, ∴x﹣y≤2, 故选:C. 点评: 本题考查了三角函数代换、三角函数的单调性、二次函数的单调性,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题. 18. (5 分)直线 m⊥平面 α,垂足是 O,正四面体 ABCD 的棱长为 4,点 C 在平面 α 上运动, 点 B 在直线 m 上运动,则点 O 到直线 AD 的距离的取值范围是() A.[ D.[3 , ﹣2,3 +2] ] B. [2 ﹣2,2 +2] C. [ , ]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 确定直线 BC 与动点 O 的空间关系,得到最大距离为 AD 到球心的距离+半径,最小 距离为 AD 到球心的距离﹣半径. 解答: 解:由题意,直线 BC 与动点 O 的空间关系:[来源:Z,xx,k.Com] 点 O 是以 BC 为直径的球面上的点, 所以 O 到 AD 的距离为四面体上以 BC 为直径的球面上的点到 AD 的距离, 最大距离为 AD 到球心的距离(即 BC 与 AD 的公垂线)+半径=2 +2. 最小距离为 AD 到球心的距离(即 BC 与 AD 的公垂线)﹣半径=2 ﹣2. ∴点 O 到直线 AD 的距离的取值范围是:[2 ﹣2,2 +2]. 故选:B.

点评: 本题考查点、线、面间的距离计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题, 解题时要注意空间思维能力的培养. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题须写出必要的步骤. 19. (12 分)已知正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,底面边长为 BB1、BC 上,Q 是 BB1 中点,且 PQ∥AB,C1Q⊥QR (1)求证:C1Q⊥平面 PQR;[来源:学科网] (2)若 C1Q= ,求四面体 C1PQ R 的体积. ,点 P、Q、R 分别在棱 AA1、

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知得 AB⊥平面 B1BCC1,从而 PQ⊥平面 B1BCC1,进而 C1Q⊥PQ,又 C1Q⊥QR,由此能证明 C1Q⊥平面 PQR. (2)由已知得 B1Q=1,BQ=1,△ B1C1Q∽△BQR,从而 BR= QP 两两垂直,能求出四面体 C1PQR 的体积. 解答: (1)证明:∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 是正四棱柱, ∴AB⊥平面 B1BCC1, 又 PQ∥AB,∴PQ⊥平面 B1BCC1, ∴C1Q⊥PQ,又已知 C1Q⊥QR,且 QR∩QP=Q, ∴C1Q⊥平面 PQR. (2)解:∵B1C1= , , ,QR= ,由 C1Q、QR、

∴B1Q=1,∴BQ=1, ∵Q 是 BB1 中点,C1Q⊥QR, ∴∠B1C1Q=∠BQR,∠C1B1Q=∠QBR,

∴△B1C1Q∽△BQR,∴BR= ∵C1Q、QR、QP 两两垂直, ∴四面体 C1PQR 的体积 V=

,∴QR=





点评: 本小题主要考查空间线面关系、线面垂直的证明、几何体的体积等知识,考查数形 结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 20. (14 分)已知数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=16bn(n∈N) ,设数列{
2

}的前 n 项和是 Tn.

(1)比较 Tn+1 与 Tn?Tn+2 的大小; 2 (2)若数列{an} 的前 n 项和 Sn=2n +2n+2,数列{cn}=an﹣logdbn(d>0,d≠1) ,求 d 的取值 范围使得{cn}是递增数列. 考点: 数列递推式;数列的函数特性. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由数列递推式可得数列{bn}为公比是 16 的等比数列,求出其通项公式后可得 ,然后由等比数列的前 n 项和求得 Tn,再由作差法证明 Tn+1 >Tn?Tn+2; (2)由 Sn=2n +2n+2 求出首项,进一步得到 n≥2 时的通项公式,再把数列{an},{bn}的通项 公式代入 cn=an﹣logdbn=4n+(4﹣4n)logd2=(4﹣4logd2)n+4logd2,然后由一次项系数大于 0 求得 d 的取值范围. 解答: 解: (1)由 bn+1=16bn,得数列{bn}为公比是 16 的等比数列, 又 b1=1,∴ ,因此 ,
2 2


2

=



∵Tn+1 ﹣Tn?Tn+2 = 于是 Tn+1 >Tn?Tn+2; 2 (2)由 Sn=2n +2n+2,当 n=1 时求得 a1=S1=6; 当 n≥2 时, =4n.
2



a1=6 不满足上式,∴an=



当 n=1 时,c1=a1﹣logdb1=6﹣logd1=6, 当 n≥2 时, 可得 cn=an﹣logdbn=4n+(4﹣4n)logd2=(4﹣4logd2)n+4logd2, 要使数列{cn}是递增数列,则 ,解得:0<d<1 或 d>4.

综上,d∈(0,1)∪(4,+∞) . 点评: 本题考查了等比关系的确定, 考查了数列的函数特性, 考 查了对数不等式的解法,是 中档题. 21. (14 分)某种波的传播是由曲线 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0)来实现的,我们把函数解 析式 f(x)=Asin(ωx+φ)称为“波”,把振幅都是 A 的波称为“A 类波”,把两个解析式相加 称为波的叠加. (1)已知“1 类波”中的两个波 f1(x)=sin(x+φ1)与 f2(x)=sin(x+φ2)叠加后仍是“1 类 波”,求 φ2﹣φ1 的值; (2)在“A 类波“中有一个是 f1(x)=sinx,从 A 类波中再找出两个不同的波(每两个波的初 相 φ 都不同)使得这三个不同的波叠加之后是“平波”,即叠加后 y=0,并说明理由. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先对函数的关系式进行恒等变换进一步求出函数中角的大小. (2)利用(1)的结论再对函数关系式进行变换最后证明出函数时平波. 解答: 解: (1)f1(x)+f2(x)=sin(x+Φ1)+sin(x+Φ2) =(cosΦ1+cosΦ2)sinx+(sinΦ1+sinΦ2)cosxΦ[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 所以函数的振幅为: = 则: 即: 所以: (k∈Z) =1

(2)设 f2(x)=Asin(x+Φ1) ,f3(x)=Asin(x+Φ2) 则: f1(x)+f2(x)+f3(x) =Asinx+Asin(x+Φ1)+Asin(x+Φ2) =Asinx(1+cosΦ1+cosΦ2)+Acosx(sinΦ1+sinΦ2)=0 恒成立. 则:

即: 消去 Φ2 得到: 若取 Φ1= 此时: f1(x)+f2(x)+f3(x) = + =0 ,则可取 Φ2= ,

所以为平波. 点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,信息题的应用,主要考查学生 对实际问题的应用能力,属于中档题型. 22. (16 分)设函数 f(x)=ax +(2b+1)x﹣a﹣2(a,b∈R) . (1)若 a=0,当 x∈[ ,1]时恒有 f(x)≥0,求 b 的取值范围; (2)若 a≠0 且 b=﹣1,试在直角坐标平面内找出横坐标不同的两个点,使得函数 y=f(x)的 图象永远不经过这两点;[来源:Z+xx+k.Com] (3)当 a +b =1 时,函数 y=f(x)存在零点 x0,求 x0 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用;直线与圆. 分析: (1)求出 a=0 的解析式,再一次函数的单调性,得到不等式,即可得到范围; (2) (2) b=﹣1 时,y=a(x ﹣1)﹣x﹣2,当 x =1 时,无论 a 取任何值,y=﹣x﹣2 为定值, y=f(x)图象一定过点(1,﹣3)和(﹣1,﹣1) ,运用函数的定义即可得到结论; 2 2 (3)存在 x0,ax0 +(2b+1)x0﹣a﹣2=0,即(x0 ﹣1)a+(2x0)b+x0﹣2=0,可看作点(a, 2 2 b)的直线方程,而 a +b =1 可看作点(a,b)的圆,运用直线和圆有交点的条件,结合点到 直线的距离公式,解不等式即可得到范围. 解答: 解: (1)当 a=0 时,f(x)=(2b+1)x﹣2, 当 x∈[ ,1]时恒有 f(x)≥0, 则 f( )≥0 且 f(1)≥0, 即 b﹣ ≥0 且 2b﹣1≥0, 解得 b≥ ;
2 2 2 2 2 2

(2)b=﹣1 时,y=a(x ﹣1)﹣x﹣2, 2 当 x =1 时,无论 a 取任何值,y=﹣x﹣2 为定值,

y=f(x)图象一定过点 C(1,﹣3)和 D(﹣1,﹣1) 由函数定义可知函数图象一定不过 A(1,y1) (y1≠﹣3)和 B(﹣1,y2) (y2≠﹣1) ; (3)存在 x0,ax0 +(2b+1)x0﹣a﹣2=0, 2 即(x0 ﹣1)a+(2x0)b+x0﹣2=0,可看作点(a,b)的直线方程, 2 2 而 a +b =1 可看作点(a,b)的圆, 直线与圆有交点,则圆心到直线的距离 d= ≤ 1,
2



≤1,即为 x0﹣2≤x0 +1,且 x0﹣2≥﹣x0 ﹣1,

2

2

解得 x0∈(﹣∞,

]∪[

,+∞) .

点评: 本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数的值域问题,主要考查一次函数的单调 性,运用主元法和直线和圆有交点的条件是解题的关键. 23. (18 分)设有二元关系 f(x,y)=(x﹣y) +a(x﹣y)﹣1,已知曲线 Γ:f(x,y)=0 (1)若 a=2 时,正方形 ABCD 的四个顶点均在曲线上,求正方形 ABCD 的面积; (2)设曲线 C 与 x 轴的交点是 M、N,抛物线 E:y= x +1 与 y 轴的交点是 G,直线 MG 与 曲线 E 交于点 P,直线 NG 与曲线 E 交于 Q,求证:直线 PQ 过定点(0,3) . (3)设曲线 C 与 x 轴的交点是 M(u,0) 、N(v,0) ,可知动点 R(u,v)在某确定的曲线 上运动,曲线与上述曲线 C 在 a≠0 时共有 4 个交点,其分别是:A(x1,|x2) 、B(x3,x4) 、C (x5,x6) 、D(x7,x8) ,集合 X={x1,x2,…,x8}的所有非空子集设为 Yi=1,2,…,255) , 将 Yi 中的所有元素相加(若 Yi 中只有一个元素,则和是其自身)得到 255 个数 y1、y2、…、 3 3 3 y255,求 y1 +y2 +…+y255 的值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;数列的求和;数列与函数的综合. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)令 f(x,y)=(x﹣y) +2(x﹣y)﹣1=0,解得 x﹣y=﹣1 ,可得 f(x, y)表示两条平行线,之间的距离是 2,为一个正方形,即可得出其面积 S. 2 (2)在曲线 C 中,令 y=0,则 x +ax﹣1=0,设 M(m,0) ,N(n,0) ,则 mn=﹣1,G(0, 1) ,可得直线 MG,NG 方程.联立解得 P 得直线 PQ 的方程为:
2 2 2 2

,同理可得 Q(2m,2m +1) .可 , 即可验证直线 PQ 过定点 (0, 3) .

2

(3)令 y=0,则 x +ax﹣1=0,则 mn=﹣1,即点 R(u,v)在曲线 xy=﹣1 上,又曲线 C:f (x,y)=(x﹣y) +a(x﹣y)﹣1=0.恒表示平行线 x﹣y=
2

,如图所示,

A(x1, x2) ,B (x3,x4) 关于直线 y=﹣x 对称,可得 x1+x2+x3+x4=0,同理可得 x5+x6+x7+x8=0, 则 x1+x2+…+x8=0, 集合 X={x1, x2, …, x8}的所有非空子集设为 Yi=1, 2, …, 255) , 取 Y1={x1, x2,…,x8},则 y1=x1+x2+…+x8=0, =0,对 X 的其它子集,把它们配成集合“对”(Yp,Yq) ,

Yp∪Yq=X,Yp∩Yq=?,这样的集合“对”共有 127 对,且对每一个集合“对”都满足 yp+yq=0,因 此 =0,即可得出.
2

解答: 解: (1)令 f(x,y)=(x﹣y) +2(x﹣y)﹣1=0,解得 x﹣y=﹣1 ∴f(x,y)表示两条平行线,之间的距离是 2,为一个正方形,其面积 S=4. 2 (2)证明:在曲线 C 中,令 y=0,则 x +ax﹣1=0, 设 M(m,0) ,N(n,0) ,则 mn=﹣1,G(0,1) , 则直线 MG:y=﹣ x+1,NG:y=﹣ x+1.



联立

,解得 P



同理可得 Q(﹣ ,

+1) . =(m+n) (x+ ) +(﹣ +n) =3,

∴直线 PQ 的方程为:y﹣ 令 x=0,则 y= +(m+n) =

因此直线 PQ 过定点(0,3) . (3)令 y=0,则 x +ax﹣1=0,则 mn=﹣1,即点 R(u,v)在曲线 xy=﹣1 上, 2 又曲线 C:f(x,y)=(x﹣y) +a(x﹣y)﹣1=0. 恒表示平行线 x﹣y= ,如图所示,
2

A(x1,x2) ,B(x3,x4)关于直线 y=﹣x 对称,则 同理可得 x5+x6+x7+x8=0,则 x1+x2+…+x8=0, 集合 X={x1,x2,…,x8}的所有非空子集设为 Yi=1,2,…,255) , 取 Y1={x1,x2,…,x8},则 y1=x1+x2+…+x8=0, =0,

,即 x1+x2+x3+x4=0,

对 X 的其它子集,把它们配成集合“对”(Yp,Yq) ,Yp∪Yq=X,Yp∩Yq=?, 这样的集合“对”共有 127 对,且对每一个集合“对”都满足 yp+yq=0, 因此
3 3

=0,
3

于是 y1 +y2 +…+y255 =0.

点评: 本题考查了平行直线系、直线的交点、一元二次方程的根与系数的关系、集合的性 质、中点坐标公式、对称性,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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