四川省南充市高考数学第一次适应性考试试题 文(含解析)新人教A版

四川省南充市 2015 届高考数学第一次适应性考试试题 文(含解析) 新人教 A 版
【试卷综述】 本试卷试题主要注重基本知识、 基本能力、 基本方法等当面的考察, 覆盖面广, 注重数学思想方法的简单应用,试题有新意,符合课改和教改方向,能有效地测评学生,有 利于学生自我评价, 有利于指导学生的学习, 既重视双基能力培养, 侧重学生自主探究能力, 分析问题和解决问题的能力,突出应用,同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。 【题文】第 I 卷 只有一项是符合题目要求的. A. ?3? B. ?4? 选择题(满分 50 分)

【题文】一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 【题文】1.设全集 U ? ?1 , 2, 3, 4, 5? ,集合 A ? ?1, 3, 5? ,集合 B ? ?3, 4? ,则 ? UA I B= C. ?3, 4? D. ?2, 3, 4?

( )

【知识点】交集、补集的运算.A1 【答案】 【解析】B 解析:因为全集 U ? ?1 , 2, 3, 4, 5? ,集合 A ? ?1, 3, 5? ,所以 ? U A = {2,4} , 又因为集合 B ? ?3, 4? ,所以 ? U A I B = ?4? ,故选 B。

( )

【思路点拨】先解出 A 的补集,再求出结果即可。 【题文】2.已知复数 z ? A.

1 3 ? i 2 2

3 1 i ? ,则 z 的共轭复数为 2 2 1 3 1 3 1 3 B. ? C. ? ? D. ? ? i i i 2 2 2 2 2 2

【知识点】共轭复数的概念.L4 【答案】 【解析】C 解析:因为 z ?

1 3 3 1 i ,故选 C。 i ? ,所以 z 的共轭复数为 ? ? 2 2 2 2

【思路点拨】根据共轭复数的定义即可。 【题文】3.已知 a ? R ,则“ a ? 2a ”是“ a ? 2 ”的
2

A.充分而不必要条件 C.充要条件 【知识点】充要条件.A2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】 【解析】A 解析:因为 a ? 2a ,所以 0 < a < 2 ,则“ a ? 2a ”是“ a ? 2 ”的
2 2

充分而不必要条件。 【思路点拨】先解出 a ? 2a ,再进行判断即可。
2

【题文】4.函数 f ( x) ? ? x ? 2(a ?1) x ? 2 在 ? ??,4? 上是增函数,则实数 a 的范围是
2

A. a ? 3

B. a ? 5

C. a ? 3

D. a ? 5

【知识点】二次函数的性质.B5 【答案】 【解析】D 解析:因为函数 f ( x) ? ? x2 ? 2(a ?1) x ? 2 在 ? ??,4? 上是增函数,所 以-

2 ( a - 1) ? 4 ,即 a ? 5 ,故选 D. - 1? 2

【思路点拨】结合二次函数的性质做出判断即可。 【题文】5.对于平面 ?,?,? 和直线 a, b, m, n ,下列命题中真命题是 A.若 ? / / ?,?

? =a, ? ? ? b, 则 a∥b; B.若 a∥b, b ? ? , 则 a / /? ; C.若 a ? ? , b ? ? , a / /? , b / /? ,则 ? / /? ; D.若 a⊥m,a⊥n, m ? ? , n ? ? ,则 a ? ? ;
【知识点】 空间中直线与直线之间的位置关系; 命题的真假判断与应用; 空间图形的公理. G4 G5 【答案】 【解析】A 解析:由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相 交,则交线平行,可判断若 ? / / ?,?

? =a, ? ? ? b, 则 a∥b 为真命题,A 正确;

若 a∥b,b ? ? , , 此时由线面平行的判定定理可知,只有当 a 在平面 α 外时, 才有 a / /? , 故 B 错误; 若 a ? ? , b ? ? , a / /? , b / /? ,此时由面面平行的判定定理可知,只有当 a、b 为相交线时, 才有 ? / /? 故 C 错误; 若 a⊥m,a⊥n, m ? ? , n ? ? ,由线面垂直的判定定理知,只有当 m 和 n 为相交线时,才 有 a ? ? ,D 错误; 故选 A. 【思路点拨】由线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平 行的性质定理以此判断即可。 【典例剖析】本题主要考查了对线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判 定定理、 面面平行的性质定理内容的理解和它们的字母符号表达形式, 熟记公式推理严密是 解决本题的关键。 【题文】6.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若内角 A、B、C 依次成 等差数列,且 a 和 c 是 ? x ? 6 x ? 8=0 的两根,则 S△ABC=
2

A. 4 3 B. 3 3 C. 2 3 【知识点】等差数列的性质.D2

D. 3

【答案】 【解析】C 解析:∵内角 A、B、C 依次成等差数列,∴ B = 60 , ∵a 和 c 是 ? x ? 6 x ? 8=0 的两根,∴ a = 2, c = 4 ,
2

0

∴ SVABC =

1 1 3 ac sin B = 创 2 4? 2 2 2

2 3 ,故选:C.
0
2

【思路点拨】利用等差数列的性质,可得 B = 60 ,由 a 和 c 是 ? x ? 6 x ? 8=0 的两根,求 出 a,c,再利用三角形面积公式,可得结论. 【题文】7.已知角 ? 的终边经过点 P(2, ?1) ,则 A.3 B.

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

1 3

C. ?

1 3

D. ?3

【知识点】同角三角函数的基本关系式.C2 【答案】 【解析】D 解析:因为角 ? 的终边经过点 P(2, ?1) ,所以 tan ? ? ?

1 ,则 2

1 ? ?1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ? 2 ? ?3 ,故选 D. 1 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ? ?1 2 sin ? ? cos ? 【思路点拨】先根据已知条件得到 tan ? ,再化简 代入即可得到结果。 sin ? ? cos ? x2 y 2 【题文】8.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,且准线与 a b 3 椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点,△AOB 的面积为 ,则椭圆的离心率为 2 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 3 4
【知识点】椭圆的标准方程.H5 【答案】 【解析】B 解析:∵抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程为 x = - 1 , 抛物线 y ? 4 x 的准线过椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点且与椭圆交于 A、B 两点, a 2 b2

∴椭圆的左焦点 F ﹣, 1 0 ,∴ c = 1 ,

(

)

∵O 为坐标原点,△AOB 的面积为

3 1 2b2 3 1= , ,∴ 创 2 2 a 2

1 b2 a 2 - 1 3 = = ,整理,得 2a 2 - 3a - 2 = 0 ,解得 a = 2 ,或 a = - (舍) ∴ , 2 a a 2
∴e =

c 1 = .故选:B. a 2

【思路点拨】由题设条件,利用椭圆和抛物线的性质推导出 c = 1 , 圆的离心率. 【题文】9.若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 满足约束条件 ?

b2 3 = ,由此能求出椭 a 2

?2 x ? y ? 6 ? 0 且最大值为 ?x ? y ? 2 ? 0

5 1 ? 的最小值为 a b 25 9 A. B. 4 6
40,则

C.1

D.4

【知识点】简单线性规划的应用.E5 【答案】 【解析】B 解析:不等式表示的平面区域阴影部分,

当直线 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 过直线 x - y + 2 = 0 与直线 2 x - y - 6 = 0 的交点 8,10 时,目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 取得最大 40, 即 8a +10b = 40 ,即 4a + 5b = 20 , 而

(

)

5 1 骣 5 1 4a + 5b 5 骣 5b a 5 9 + =琪 = +琪 ? 1= . 琪+ 琪 + a b 桫 a b 20 4 桫 4a 5b 4 4

故选 B. 【思路点拨】 先根据条件画出可行域, 设 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) , 再利用几何意义求最值, 将最大值转化为 y 轴上的截距, 只需求出直线 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) , 过可行域内的点 (4, 6)时取得最大值,从而得到一个关于 a,b 的等式,最后利用基本不等式求最小值即可. 【典例剖析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用 几何意义求最值,属于基础题.

2 ? ?m 1 ? x , x ? ? ?1,1? 【题文】10.已知函数 f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 ,且函数 f ( x ) 满足 1 ? x ? 2 , x ? 1,3 ? ? ? ? f ( x ? 4) ? f ( x) .若 F ( x) ? 3 f ( x) ? x 恰有 5 个零点,则实数 m 的取值范围是

A. ?

? 15 ? , 7 ? ? 3 ? ? ?

B. ?

? 15 8 ? ? ? 3 , 3? ? ?

C. ? ,

?4 ?3 ?

7? ? 3 ? ?

D. ? , ?

? 4 8? ? 3 3?

【知识点】函数的周期性;根的存在性及根的个数判断.B4B9 【答案】 【解析】A 解析:∵当 x∈(﹣1,1]时,将函数化为方程 x +
2

y2 = 1( y ? 0) , m

∴实质上为一个半椭圆,其图象如图所示, 同时在坐标系中作出当 x∈(1,3]得图象,再根据周期性作出函数其它部分的图象,

由图易知直线 y =

x y2 2 = 1( y ? 0) 相交, 与第二个椭圆 ( x - 4) + 3 m

而与第三个半椭圆 x - 8

(

)

2

+

y2 = 1( y ? 0) 无公共点时,方程恰有 5 个实数解, m

将y=

x y2 2 2 2 2 2 2 = 1( y ? 0) 得, 代入 ( x - 4) + (9m +1)x ﹣72m x+135m =0,令 t=9m (t>0) , 3 m
2 2 2

则(t+1)x ﹣8tx+15t=0,由△=(8t) ﹣4×15t (t+1)>0,得 t>15,由 9m >15,且 m >0 得 m>

15 , 3
x y2 2 = 1( y ? 0) 由△<0 可计算得 m< 7 , 与第三个椭圆 ( x - 8) + 3 m
? 15 ? , 7 ? ? 3 ? ,故选 A. ? ?

同样由 y =

综上可知 m∈ ?

【思路点拨】根据对函数的解析式进行变形后发现当 x∈(﹣1,1],[3,5],[7,9]上时, f(x)的图象为半个椭圆.根据图象推断要使方程恰有 5 个实数解,则需直线 y =

x 与第二 3

个椭圆相交, 而与第三个椭圆不公共点. 把直线分别代入椭圆方程, 根据△可求得 m 的范围. 【题文】第 II 卷(非选择题,满分 100 分) 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡题目所指示的答题区域作答。 作图题可先用 铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 【题文】二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 【题文】11.已知向量 a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,且 a ? b ,则 x=____________. 【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系.F3 【答案】 【解析】0 解析:∵ a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,且 a ? b , ∴ a ?b

r r

2 ( x - 1) + 2 = 0 ,解之可得 x=0.故答案为 0. r r 2 ( x - 1) + 2 = 0 ,解之即可.

【思路点拨】由题意可得 a ?b

【题文】12.执行下图的程序框图,如果输入的 N 的值是 6,那么输出的 P 的值是_____.

【知识点】程序框图.L1 【答案】 【解析】105 解析:k,p 的起始值为 k=1,p=1,根据流程图的指向,第二次循环时 k=3,p=1; 第三次循环时 k=5,p=3;第四次循环时 k=7,p=15;此时输出 p=105;故答案为 105. 【思路点拨】根据流程图的指向依次计算直到满足条件为止。 【题文】13.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是:__________. 【知识点】特称命题;命题的否定.A3 【答案】 【解析】任意一个无理数,它的平方不是有理数 解析:因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是:任意一个无理数,它的平方不 是有理数.故答案为:任意一个无理数,它的平方不是有理数. 【思路点拨】特称命题的否定是全称命题,直接考查它对应的全称命题即可. 【题文】14.已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A,B,O 是坐标原点.
2 2

若圆周上存在一点 C,使得△ABC 为等边三角形,则实数 m 的值为__________. 【知识点】直线与圆的位置关系.H4 【答案】 【解析】 ? 2 解析:根据题意画出图形,连接 OA,OB,作 OD 垂直于 AB 于 D 点,

A

D

B

O

C

因为△ABC 为等边三角形,所以 ? AOB 120 ,由余弦定理知:

0

AB2 = OA2 +OB2 - 2OA?OB cos1200
到直线 AB 的距离

2 3 ,故 BD = 3 ,所以 OD = 1 ,所以 O(0,0)

|m| = 1 ,解得 m =? 2 ,故答案为 ? 2 。 2
0

【思路点拨】先由圆心角与圆周角的关系得到 ? AOB 120 ,再利用余弦定理得到 BD,最 后借助于点到直线的距离公式可解得 m 即可。 【题文】15.如果对定义在 R 上的函数 f ( x ) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2 ,都有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x) 为“H 函数”.
给出下列函数:① y ? x2 ;② y ? ex ? 1 ;③ y ? 2 x ? sin x ;④ f ( x ) ? ? 以上函数是“H 函数”的所有序号为_________. 【知识点】函数单调性的性质.B3 【答案】 【解析】②③ 解析:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式

? ?ln x , x ? 0 . 1, x ? 0 ? ?

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) 恒成立,
∴不等式等价为 x1 - x2 [ f x1 - f x2 ] > 0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. ①函数 y ? x 在定义域上不单调.不满足条件.
2

(

) ( )

( )

② y ? e ? 1 为增函数,满足条件.
x

③ y ? 2 x ? sin x , y? 2 - cos x > 0 ,函数单调递增,满足条件. ④ f ( x) ? ?

? ?ln x , x ? 0 当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满足条 1, x ? 0 ? ?

件. 综上满足“H 函数”的函数为②③, 故答案为:②③.

【思路点拨】不等式 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) 等价为

( x - x ) [ f ( x ) - f ( x ) ] > 0 ,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即
1 2 1 2

可得到结论. 【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 【题文】16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos x ? sin x, 2sin x), b ? (cos x ? sin x, ? cos x) .令 f ( x) ? a b , (1)求 f ( x ) 的最小正周期;

? ? 3? ? 时,求 f ( x ) 的最小值以及取得最小值时 x 的值. , ?4 4 ? ? 【知识点】 y ? Asin ??x ? ? ? 的图像及性质.C4
(2)当 x ? ? 【答案】 【解析】 (1) T ? ? ;(2)当 x ?

3? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 . 8

解析: f ( x) ? (cosx ? sin x)(cosx ? sin x) ? 2 sin x(? cos x) ………………………2 分

? cos2 x ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x
? ? 2 sin( 2 x ? ) 4

?

…………………………………………………………5 分

(1)由最小正周期公式得: T ? ? ………………………………………………6 分 (2) x ? [

? 5? ?[ , ] 4 4 4 4 4 ? ? 3? 令 2 x ? ? ,则 x ? , 4 2 8 ? 3? 3? 3? ] 单调递减,在 [ , ] 单调递增 ………………10 分 从而 f ( x) 在 [ , 4 8 8 4 3? 即当 x ? 时,函数 f ( x) 取得最小值 ? 2 ……………………………12 分 8
? 3?
, ] ,则 2 x ?

?

【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开,再利用辅助角公式进行化简, (1)由最小正周 期公式得结果; (2)借助于三角函数的单调性求出单调区间,同时求出最大值。 【题文】17.(本小题满分 12 分) 城市公交车的数量若太多则容易造成资的浪费;若太少又难以满足乘客需求.南充市公交公 司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人, 将他们的候车时间作为样本分成 5 组, 如下 表所示(单位:分钟) :

(1)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (2)若从上表第三、四组的 6 人中任选 2 人作进一步的调查,求抽到的两人恰好自不同组 的概率. 【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;古典概型及其概率计算公式.K2 【答案】 【解析】 (1)32; (2)

8 15

解析: (1)候车时间少于 10 分钟的概率为

2?6 8 ? , 15 15 8 ? 32 人. ………………………6 分 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ? 15

(2)将第三组乘客编号为 a1, a2 , a3 , a4 ,第四组乘客编号为 b1,b2 .从 6 人中任选两人包含 一下基本事件:(a1 , a2 ) ,(a1 , a3 ) ,(a1 , a4 ) ,(a1 , b1 ) ,(a1 , b2 ) ,(a2 , a3 ) ,(a2 , a4 ) ,(a2 , b1 ) ,

(a2 , b2 ) , (a3 , a4 ) , (a3 , b1 ) , (a3 , b2 ) , (a4 , b1 ) , (a4 , b2 ) , (b1 , b2 )
8 ………………………12 分 15 2?6 8 ? , 【思路点拨】 (1) 候车时间少于 10 分钟的人数所占的比例为 用 60 乘以此比例, 15 15
其中恰好自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 即得所求. (2)从这 6 人中选 2 人作进一步的问卷调查,用列举法列出上述所有可能情况共 有 15 种,用列举法求得抽到的两人恰好自不同组的情况共计 8 种,由此求得抽到的两人恰 好自不同组的概率. 【题文】18.(本小题满分 12 分) 已知某几何体的直观图和三视图如下如所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形. (I)证明:BN⊥平面 C1B1N;(II)求三棱锥 C1—CNB1 的体积.

【知识点】线面垂直的判定定理;棱锥的体积.G5 G7

【答案】 【解析】 (1)见解析;(2)

64 3

解析: (1)证明:由题意:该几何体的正视图其正视图为矩形 ,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形. 则 B1C1 ? 面ABB 1 N ,且在面 ABB 1 N 内,易证 ?BNB 1 为直角。

? B1C1 ? 面ABB 1 N,且BN ? 面ABB 1 N ,? B 1C1 ? BN

又 BN ? B1 N , 且B1 N

B1C1 ? B1 ,? BN ? 面B1NC1

………………6 分

(2) 由等体积法, VC1 ?CNB1 ? VN ?CB1C1 ?

1 1 1 64 VN ?CBB1C1 ? ? ( ? 8 ? 4 ? 4) ? …12 分 2 2 3 3

【思路点拨】 (1) 先由题意判断出该几何体的直观图, 再利用线面垂直的判定定理即可; (2) 先利用等体积法可求 C1 到面 CB1 N 的距离。 【题文】19.(本小题满分 12 分) 已知递增等差数列 ?an ? 中的 a2 , a5 是函数 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 10 的两个零点.数列 ?bn ? 满足, 点 (bn , Sn ) 在直线 y ? ? x ? 1 上,其中 Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和. (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)令 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 【知识点】等差、等比数列的通项公式;错位相减法求数列的和.D2 D3 D4 【答案】 【解析】 (1) an ? n, n ? N * , bn ? ( ) , n ? N (2) Tn ? 2 ? ( n ? 2)( ) , n ? N
n *
n

1 2

1 2

*

解析: (1)因为 a2 , a5 是函数 f ( x) ? x ? 7 x ? 10 的两个零点,则
2

?a2 ? a5 ? 7 ? a 2 ? 2 ? a2 ? 5 ,解得: ? 或? . ? ?a5 ? 5 ?a5 ? 2 ?a2 ? a5 ? 10
又等差数列 {an } 递增,则 ?

? a2 ? 2 ,所以 an ? n, n ? N * …………………………3 分 a ? 5 ? 5

因为点 在直线 y ? ? x ? 1 上,则 Sn ? ?bn ? 1。 (bn , Sn) 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? ?b1 ? 1,即 b1 ?

1 . 2 1 bn ?1 . 2

当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? (?bn ? 1) ? (?bn ?1 ? 1) ,即 bn ? 所以数列 {bn } 为首项为

1 1 1 n * ,公比为 的等比数列,即 bn ? ( ) , n ? N .……………6 分 2 2 2 1 n * (2)由(1)知: an ? n, n ? N * 且 bn ? ( ) , n ? N , 2

1 n * 2 1 1 2 1 3 1 n 所以 Tn ? 1 ? ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) ① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1) ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ②. 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 n ?1 ①-②得: Tn ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) ? 1 ? (n ? 2)( ) . 2 2 2 2 2 2 2 1 n * 所以 Tn ? 2 ? (n ? 2)( ) , n ? N . ……………………………………………………12 分 2
则 cn ? an ? bn ? n ? ( ) , n ? N 【思路点拨】 (1)先解出两个零点,再利用等差、等比数列的通项公式即可; (2)直接使用 错位相减法求之即可。 【题文】20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上且过点 P( 3, ) ,离心率是 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)直线 l 过 E (?1, 0) 且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 EA ? 2 EB ,求直线 l 的方程. 【知识点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.H5 H8

1 2

3 . 2

【答案】 【解析】 (1)

x2 ? y 2 ? 1 ;(2) 4

y??

15 ( x ? 1) 6

解析: (1)设椭圆 C 的标准方程

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

? c 3 ?e ? ? a 2 ? 1 ?3 由已知可得 ? 2 ? ?1 4b 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?
解得 a2 ? 4, b2 ? 1 .

故椭圆 C 的标准方程

x2 ? y 2 ? 1 。 …………………………………………5 分 4

(2)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过 E (?1,0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 , 此时 | EA |?| EB | ,所以直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 。

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 联立方程,得 ? 4 ,整理得: (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 ? y ? k ( x ? 1) ?

? ? (8k 2 )2 ? 4(4k 2 ? 1)(4k 2 ? 4) ? 48k 2 ? 16 ? 0
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 4 x ? x ? , ① 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

由 | EA |? 2 | EB | ,得 x1 ? 2 x2 ? ?3 ② 联立①②解得 k ? ?

15 . 6 15 ( x ? 1) 。…………………………………………13 分 6
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,利用所给条件列出方程 a 2 b2

所以直线 l 的方程为 y ? ?

【思路点拨】 (1)设椭圆 C 的方程为

组,解出即可; (2)易判断直线 l 不存在斜率时不合题意,当直线存在斜率时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,与椭圆方程联立方程组消掉 y 得关于 x 的一元二次方程,设

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由 | EA |? 2 | EB | 可得关于 x1,x2 的方程,连同韦达定理联立方程组即
可求得 k 值。 【题文】21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) .

1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; 4 (2)当 x ??0, ??? 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围;
(1)当 a ? ? (3)求证: (1 ?

1 1 1 1 )(1 ? )(1 ? )...(1 ? ) ? e (其中 n ? N * ,e 是自然对数 1? 2 2?3 3? 4 n(n ? 1)

的底数). 【知识点】利用导数研究函数的单调性;不等式恒成立问题;不等式的证明.B12 【答案】 【解析】 (1)函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1,??) .(2)

(??,0] ; (3)见解析.
解析: (1)当 a ? ?

1 1 2 时, f ( x ) ? ? x ? ln( x ? 1)( x ? ?1) 4 4

1 1 ( x ? 2)(x ? 1) f ?( x) ? ? x ? ?? ( x ? ?1) 2 x ?1 2( x ? 1)
由 f ?( x) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 x ? 1 ,

故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (1,??) . ……4 分 (2)当 x ? [0,??) 时,不等式 f ( x) ? x ? 0 恒成立,即 ax2 ? ln(x ? 1) ? x ? 0 恒成立. 设 g ( x) ? ax2 ? ln(x ? 1) ? x( x ? 0) ,只需 g ( x)max ? 0 即可.

1 x(2ax ? (2a ? 1)) ?1 ? x ?1 x ?1 ?x ?0, ⅰ) 当 a ? 0 时,g ?( x) ? 函数 g ( x) 在 [0,??) 上单调递减, 故 g ( x)max ? g (0) ? 0 x ?1 g ?( x) ? 2ax ?
成立. ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? 若

x(2ax ? (2a ? 1)) 1 ? 0 ,则 x ? ?1或 x ? 0 x ?1 2a

1 ? 1 ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0,??) 上单调递增,则函数 g ( x) 在 [0,??) 上无最大值,不满 2a 1 1 1 ? 1 ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0, ? 1) 上单调递减,在 ( ? 1,?? ) 上单调递增,则函数 2a 2a 2a

足条件. 若

g ( x) 在 [0,??) 上无最大值,不满足条件.
ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

x(2ax ? (2a ? 1)) ? 0 ,函数 g ( x) 在 [0,??) 上单调递减,故 x ?1

g ( x)max ? g (0) ? 0 成立.
综上:实数 a 的取值范围是 (??,0] . …………………………………9 分

2n 1 1 (3)由(2)知,当 a ? 0 时, ln(x ? 1) ? x ,且 n ?1 ? 2( n?1 ? n ) . n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1 ln(( 1? 2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? )?(1 ? n ?1 )) 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1) 2 4 8 2n ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln(1 ? n ?1 ) 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

? ln(1 ?

?

2 4 8 2n ? ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( n ?1 ? n ) 2 3 3 5 5 9 2 ?1 2 ?1 1 1 ? 2( ? n ) ? 1 . 2 2 ?1
所以, (1 ?

2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? )?(1 ? n ?1 ) ? e ……………14 分 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

【思路点拨】 (1) 当a ? ?

1 1 2 时,f ( x ) ? ? x ? ln( x ? 1)( x ? ?1) , 然后求导, 借助于 f ? ? x ? 4 4

的符号判断单调区间; ( 2 ) 当 x ? [0,??) 时 , 不 等 式 f ( x) ? x ? 0 恒 成 立 , 即

ax2 ? ln(x ? 1) ? x ? 0 恒成立. 设 g ( x) ? ax2 ? ln(x ? 1) ? x( x ? 0) ,只需 g ( x)max ? 0 即
可. g ?( x) ? 2ax ?

1 x(2ax ? (2a ? 1)) ?1 ? ,然后对 a 分类讨论即可; (3)借助于 a ? 0 x ?1 x ?1

时, ln(x ? 1) ? x ,且

2n 1 1 ? 2( n?1 ? n ) .证明即可。 n ?1 n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1


相关文档

四川省南充市高三数学第一次高考适应性考试试题理新人教A版
四川省南充市高三数学第一次高考适应性考试试题 文(含解析)新人教A版
四川省南充市高考数学第一次适应性考试试题 理(含解析)新人教A版
四川省南充市高三数学第一次高考适应性考试试题 理(含解析)新人教A版
四川省南充市高三数学第一次高考适应性考试试题 理 新人教A版
四川省南充市高三数学第一次高考适应性考试试题 理(扫描版)新人教A版
四川省南充市2015届高考数学第一次适应性考试试题 理
四川省南充市2014届高考数学第一次适应性考试试题 文
四川省南充市2015届高考数学第一次适应性考试试题 文
四川省南充市高考数学第三次适应性考试试题 文(扫描版)
电脑版