2014-2015学年高中数学(人教版必修四)课时训练第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图象_图文

第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 1.理解正切函数的性质,掌握正切函数的图象的 作法. 2.能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数 有关的基本问题. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 一、 正切函数的性质 ? ? ? π ?x?x≠kπ+ ,k∈Z 2 ? ? ? 1.正切函数的定义域和值域:定义域为 ? ? ? ? ? __________________,值域为________ . R 2 . 正 切 函 数 的 周 期 性 : y = tan x 的 周 期 是 ________( k∈Z,k≠0),最小正周期是________ kπ π . 3.正切函数的奇偶性与对称性:正切函数是 ________ 奇 函数,其图象关于原点________ 中心对称. ? π ? π ? ? k∈Z)内都是增函数. - + k π , + k π _____________( 2 ? 2 ? 栏 目 链 接 4.正切函数的单调性:正切函数在开区间 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 根据函数的周期性,我们推知:正弦函数在每个闭区间 ? π ? π ? - +2kπ, +2kπ?(k∈Z)上都是 增函数 __________________ ______ ,其函数值从- 1 增加到 2 ? 2 ? ?π ? 3π 栏 +2kπ, +2kπ?(k∈Z) 减函数 +1;在每个闭区间? _____________________ 上都是 ______ , 2 目 ?2 ? 其函数值从+1减小到-1.同样,余弦函数在每个闭区间[-π + 2kπ , 2kπ](k∈Z) 上都是 ________ ,其函数值从- 1 增加到 增函数 链 接 + 1 ;在每个闭区间 [2kπ , π + 2kπ](k∈Z) 上都是 ________ , 减函数 其函数值从+ 1减小到-1. www.gzjxw.net 基 础 梳 理 ? π π? 练习:正切函数 y=tan x 在区间?-4,4?上的值域 ? ? 为 . 栏 目 链 接 答案:[-1,1] www.gzjxw.net 思 考 应 用 1.能否说正切函数在整个定义域上是增函数? 解析:不能.正切函数在整个定义域上不具有单调性,因为 它的定义域不连续,所以,不能说它在整个定义域上是增函数, 正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数.举反例: x1 π 5π = ,x2= ,x1<x2,tan x1=tan x2 这与单调性的定义矛盾.对每 4 4 ? π π? 一个 k∈Z,在开区间?kπ-2,kπ+2?内,函数单调递增. ? ? 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 二、正切函数的图象 栏 目 链 接 平移 1.根据正切函数 y=tan x 的定义和周期,通过____________ 单 ? π π? 正切线 位圆中的________来作出它在区间?- , ?上的图象. ? 2 2? www.gzjxw.net 基 础 梳 理 ? π π? 2. 将正切函数 y=tan x 在区间?-2,2?上的图象向左、 右扩展, ? ? ? ? π ? ?的图象, x ≠ k π + , k ∈ Z 就可以得到正切函数 y=tan x 我们把它叫 2 ? ? π kπ+ k∈Z) 正切曲线 .正切曲线是被互相平行的直线 x= ________( 做__________ 2 π kπ+ 所隔开的无数多支曲线组成的.这些平行直线 x=________( 2 k∈Z) 渐近线 . 叫做正切曲线各支的________ 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基 础 梳 理 3.结合正切曲线的特征,类比正 弦、余弦函数的“五点法”作图,也可 三点两线作图法作出正切函数 y= 用__________ tan ? π π? x 在一个单调区间 ?-2,2? 上的 ? ? 简图. ? π ? 其中,三点为:?-4,-1?,(0,0), ? ? ?π ? π π ? ,1?.二线为:x=- ,x= .画图时, 2 2 ?4 ? 栏 目 链 接 π 注意图象不能与直线 x=kπ+ (k∈Z) 2 相交. www.gzjxw.net 思 考 应 用 2.你能求不等式 tan x≥ 3的解集吗? 分析:本题可利用图象直观解决. ? π π? 解析:作正切函数 y=tan x 在区间?-2,2?上的简图, ? ? 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 思 考 应 用 ? π π? 观察图象,且由正切函数 y=tan x 在区间?-2,2?上单 ? ? π 调递增,tan = 3. 3 ∵tan x≥ π 3,即 tan x≥tan , 3 栏 目 链 接 ? π π? ?π π? ∴在区间?-2,2?内,不等式 tan x≥ 3的解集?3,2?, ? ? ? ? 故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为 ? π π? ?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 3 2? ? www.gzjxw.net 自 测 自 评 ? π? 1.函数 y=tan?3x-4?的最小正周期是( ? ? ) π A. 6 π B. 3 π C. 2 π D. 4 栏 目 链 接 π π 解析: 因为 ω=3, 所以最小正周期 T= = , |ω| 3 故选 B. 答案:B www.gzjxw.net 自 测 自 评 2.下列命题正确的是( ) A.正切函数在定义域内是增函数 B.正弦函数在定义域内是增函数 C.函数 y=3tan x2的图象关于 y 轴对称 D.若 x 是第

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