【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:4-3平面向量的数量积

第四章 平面向量

第三节 平面向量的数量积

考纲导学 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角. 5.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

1. 已知向量 a=(1, k), b=(2,2), 且 a+b 与 a 共线, 那么 a· b 的值为( A.1 C .3 ) B.2 D.4

解析:依题意得 a+b=(3,k+2).由 a+b 与 a 共线,得 1×(k +2)-3×k=0,由此解得 k=1,a· b=2+2k=4,选 D.

答案:D

2.若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)· c= 30,则 x=( A.6 C .4 ) B.5 D.3

解析:由题意可得 8a-b=(6,3),又(8a-b)· c=30,c=(3,x), ∴18+3x=30?x=4.

答案:C

3.若向量 a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是( A.a· b=1 C.(a-b)⊥b B.|a|=|b| D.a∥b

)

解析:a· b=2,选项 A 错误;|a|=2,|b|= 2,选项 B 错误; (a-b)· b=(1,-1)· (1,1)=0,选项 C 正确,故选 C.

答案:C

4.若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c· (a+2b)=( A.4 C .2 B.3 D.0

)

解析:由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c,则 c· (a+2b)=c· a+2c· b=0.
答案:D

5.已知向量 a、b 的夹角为

?1 ? 45° ,且|a|=4,?2a+b?· (2a-3b) ? ?

=12,则|b|=__________;b 在 a 方向上的投影等于__________.
解析:a· b=|a||b|cos〈a,b〉 =4|b|cos45° =2 2|b|,
?1 ? 1 2 ? ? 又 2a+b · (2a-3b)=|a| + a· b-3|b|2 2 ? ?

=16+ 2|b|-3|b|2 =12,

2 解得|b|= 2或|b|=-3 2(舍去). b 在 a 上的投影为|b|cos〈a,b〉= 2cos45° =1.
答案: 2 1

1.平面向量的数量积的定义 → → (1)已知两个①__________a、b,过 O 点作OA=a,OB=b,则 ∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的②______. 很显然,当且仅当两非零向量 a、b 同方向时,θ=③______, 当且仅当 a、b 反方向时,θ=④______,特别地,0 与其他任何非 零向量之间不谈夹角这一问题. (2)如果 a, b 的夹角为 90° , 则称 a 与 b 垂直, 记作⑤__________.

(3)a,b 是两个非零向量,它们的夹角为 θ,则数|a|· |b|· cosθ 叫 做 a 与 b 的数量积.记作 a· b,即 a· b=⑥__________________. 规定 0· a=0. 当 a⊥b 时,θ=90° ,这时⑦______=0. (4)a· b 的几何意义 a· b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的⑧______. 2.向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量,则 a· e=e· a=⑨______.

(2)a⊥b?⑩__________且 a· b=0??______. (3)a· a=?______,|a|=?______. (4)cos〈a,b〉=?__________. (5)|a· b|?______|a||b|. 3.数量积的运算律 (1)交换律 a· b=?__________. (2)分配律(a+b)· c=?____________. (3)对 λ∈R,λ(a· b)=?__________=?__________.

4.数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则 (1)a· b=?__________. 21 __________. (2)a⊥b?○ 22 __________. (3)|a|=○ 23 ____________. (4)cos〈a,b〉=○

答案:①非零向量 ⑥|a|· |b|· cosθ =0 b· c ?(λa)· b ?a· (λb) 23 ○ a1b1+a2b2 2 2 2 a2 1+a2 b1+b2 ?a ⊥b

②夹角

③0° ④180° ⑤a⊥b ⑨|a|cos〈a,e〉 ⑩a· b ?≤ ?b· a ?a· c+

⑦a· b ⑧投影的乘积
2

? |a|

? a· a

a· b ? |a|· |b|

?a1b1+a2b2

21 a1b1+a2b2=0 ○ 22 ○

2 a2 1+a2

1.向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个数量, 这个数量的大小与两个向量的 长度及其夹角的余弦值有关,在运用向量的数量积解题时,一定要 注意两向量夹角的范围.

2.数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律, 但不满足向量间的结合律,即(a· b)c 不一定等于 a(b· c).这是由于 (a· b)c 表示一个与 c 共线的向量, 而 a(b· c)表示一个与 a 共线的向量, 而 c 与 a 不一定共线.

考点一 例 1

平面向量数量积的运算 (1)(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量 a,b 的夹

角为 60° ,c=ta+(1-t)b,若 b· c=0,则 t=__________. (2)(2014· 长春模拟)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB → → → → 边上的动点.则 DE · CB 的值为 __________ , DE · DC 的最大值为 __________.

解析:(1)由 c=ta+(1-t)b 得,b· c=ta· b+(1-t)b2=0,整理 1 得 t|a||b|cos60° +(1-t)|b| =0,化简得2t+1-t=0,所以 t=2.
2

(2)方法一:如图所示,以 AB,AD 所在的直线分别为 x,y 轴 建立直角坐标系,设 E(t,0),0≤t≤1,则 D(0,1),B(1,0),C(1,1), → → DE=(t,-1),CB=(0,-1), → → 所以DE· CB=1. → 又因为DC=(1,0), → → 所以DE· DC=t≤1.

→ → → → 方法二:选取{AB,AD}作为基底,设AE=tAB,0≤t≤1,则 → → → → → DE· CB=(tAB-AD)· (-AD) → → →2 =-tAB· AD+AD =0+1=1. → → → → → DE· DC=(tAB-AD)· AB=t≤1.

答案:(1)2

(2)1

1

【师说点拨】向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角 θ 时,可利用定义法求解,即 a· b= |a||b|cosθ. (2)当已知向量的坐标时, 可利用坐标法求解, 即若 a=(x1, y1), b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2.

变式探究 1

(1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件 )

(8a-b)· c=30,则 x=( A.6 C .4 B.5 D.3

π (2)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为3,若向量 b1=e1-2e2, b2=3e1+4e2,则 b1· b2=__________.

解析:(1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=30, 即 18+3x=30,解得 x=4.故选 C. (2)b1· b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2)
2 2 =3e1 -2e1· e2-8e2

π =3-2×1×1×cos -8=-6. 3

答案:(1)C

(2)-6

考点二 平面向量的垂直与夹角问题 例 2 (1)若|a|=2, |b|=4 且(a+b)⊥a, 则 a 与 b 的夹角是( 2π A. 3 4π C. 3 π B. 3 2π D.- 3

)

(2)设向量 a=(x-1,1),b=(-x+1,3),若 a⊥(a-b),则 x= __________. π (3)设两个向量 a,b,满足|a|=2,|b|=1,a 与 b 的夹角为3, 若向量 2ta+7b 与 a+tb 的夹角为钝角,求实数 t 的范围.

解析:(1)根据题意,由于|a|=2,|b|=4 且(a+b)⊥a,则有(a +b)· a=0?a2+b· a=0?4+b· a=0,所以 b· a=-4,那么可知 a 与 b 的夹角的余弦值为 4 1 2π b· a =- =- ,则 a 与 b 的夹角是 . |b||a| 8 2 3

(2)由题知 a-b=(x-1+x-1,1-3)=(2x-2,-2), 又因为 a⊥(a-b),所以 a· (a-b)=0, 所以(x-1)(2x-2)+1×(-2)=0,即 x2-2x=0,

所以 x=0 或 x=2. ?2ta+7b?· ?a+tb? (3)由向量 2ta+7b 与 a+tb 的夹角为钝角,得 |2ta+7b||a+tb| <0,即(2ta+7b)· (a+tb)<0, 1 化简即得 2t +15t+7<0,解得-7<t<- . 2
2

当夹角为 π 时,也有(2ta+7b)· (a+tb)<0, 但此时夹角不是钝角,

设 2ta+7b=λ(a+tb),λ<0, ?2t=λ, ? 可求得?7=λt, ?λ<0, ? 14 所以 t≠- , 2 所以所求实数 t
答案:(1)A
? 的范围是? ?-7,- ? ? 14? 14 1? ? ? ? ∪ - ,- ? ?. 2 ? 2 2 ? ? ?

?λ=- 14, ? 所以? 14 t=- 2 . ? ?

(2)0 或 2

(3)见解析

【师说点拨】平面向量数量积的两个应用 (1)求夹角大小:若 a,b 为非零向量,则由平面向量的数量积 a· b 公式得 cosθ= (夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解 |a||b| 决有关角度的问题. (2)确定夹角的范围: 数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角 为锐角,数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积 小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

变式探究 2

(1)(2014· 株洲模拟)若向量 a=(1,2), b=(1, -1), )

则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( π A.- 4 π C. 4 π B. 6 3π D. 4

(2)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a +b 与向量 ka-b 垂直,则 k=__________.

解析:(1)因为 2a+b=(3,3),a-b=(0,3), 设 2a+b 与 a-b 的夹角为 α, ?2a+b?· ?a-b? 9 2 所以 cosα= = = . |2a+b||a-b| 3 2· 3 2 π 又 α∈[0,π],故 α= . 4 (2)因为(a+b)⊥(ka-b), 所以(a+b)· (ka-b)=0,

即 ka2+(k-1)a· b-b2=0.(*) 又因为 a,b 为两个不共线的单位向量, 所以(*)式可化为 k-1=(1-k)a· b, 若 1-k≠0,则 a· b=-1,这与 a,b 不共线矛盾; 若 1-k=0,则 k-1=(1-k)a· b 恒成立. 综上可知,k=1 时符合题意.
答案:(1)C (2)1

考点三 平面向量的模的计算 例 3 (1)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足|c-a- b|=1,则|c|的最大值为( A. 2-1 C. 2+1 B. 2 D. 2+2 )

(2)设 e1,e2 为单位向量,非零向量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 π |x| e1,e2 的夹角为6,则|b|的最大值等于__________.

解析:(1)方法一:条件|c-a-b|=1 可以理解成如图的情况 而|a+b|= 2, 向量 c 的终点在单位圆上, 故|c|的最大值为 2+ 1. 方法二:由题意,得|a|=|b|=1,a· b=0,

所以|a+b|= 2, 因为|c-a-b|=1, 所以|c-a-b|2=c2-2c· (a+b)+(a+b)2=1. 设 c 与 a+b 的夹角为 θ, 则|c|2-2|c|× 2cosθ+2=1, 即|c|2+1=2 2|c|cosθ≤2 2|c|,|c|2-2 2|c|+1≤0, 解得 2-1≤|c|≤ 2+1. 故|c|的最大值为 2+1.

|x|2 x2 x2 (2)|b|2= = ?xe1+ye2?2 x2+y2+2xye1· e2 x2 = = 2 2 , π x +y + 3xy x2+y2+2xycos 6 |x| 当 x=0 时, =0; |b| |x|2 当 x≠0 时,|b|2= y2 y, 1+ 2+ 3 x x 1 x2

y |x|2 1 令 =t,则 2= 2 = x |b| t + 3t+1 ? ? |x| 所以|b|的最大值为 2.
答案:(1)C (2)2

1 ≤4, ? 1 3?2 t + ? ? +4 2 ? ?

【师说点拨】几何法求最值:利用向量加减法的平行四边形法 则或三角形法则,结合模的几何意义求模的最值或取值范围 代数法求最值: 利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或 函数求模的最值或取值范围.

变式探究 3

(1)(2014· 嘉兴模拟)已知平面向量 a, b 满足|a|=2, )

|b|=3,a· (a-2b)=0,则|a-b|=( A.2 C .4 B.3 D.6

(2)(2014· 北京模拟)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a- c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( A. 2-1 C. 2 B.1 D.2 )

解析:(1)因为|a|=2,|b|=3, 所以 a· (a-2b)=a2-2a· b=4-2a· b=0, 即 a· b=2, 所以|a-b|= ?a-b?2= a2-2a· b+b2 = 4-4+9=3.

(2)由向量 a,b,c 都是单位向量,可得 a2=1,b2=1,c2=1, 由 a· b=0 及(a-c)· (b-c)≤0,可以知道(a+b)· c≥c2=1,因为|a+b -c|2=a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c,所以有 |a+b- c|2=3-2(a· c +b· c)=3-2(a+b)· c,故|a+b-c|≤1.
答案:(1)B (2)B

?方法与技巧 1.向量的数量积的运算法则不具备结合律,但运算律和实数 运算律类似. 如(a+b)2=a2+2a· b+b2; (λa+μb)· (sa+tb)=λsa2+(λt +μs)a· b+μtb2(λ,μ,s,t∈R).

2.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a2,将模的运算转化 为向量的数量积的运算. 3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最 值问题常用的方法技巧. ?失误与防范 1. (1)0 与实数 0 的区别: 0a=0≠0, a+(-a)=0≠0, a· 0=0≠0; (2)0 的方向是任意的,并非没有方向,0 与任何向量平行,我们只 定义了非零向量的垂直关系.

2.a· b=0 不能推出 a=0 或 b=0,因为 a· b=0 时,有可能 a ⊥b. 3.一般地,(a· b)c≠(b· c)a 即乘法的结合律不成立.因 a· b 是一 个数量, 所以(a· b)c 表示一个与 c 共线的向量, 同理右边(b· c)a 表示 一个与 a 共线的向量,而 a 与 c 不一定共线,故一般情况下 (a· b)c≠(b· c)a. 4.a· b=a· c(a≠0)不能推出 b=c.即消去律不成立. → → 5.向量夹角的概念要领会,比如正三角形 ABC 中, 〈AB,BC〉 应为 120° ,而不是 60° .

1.(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a- b|= 6,则 a· b =( A.1 C .3 ) B.2 D.5

解析:因为|a+b|= 10,所以|a+b|2=10,即 a2+2a· b+b2= 10 ①.又因为|a-b|= 6,所以 a2-2a· b+b2=6 ②.由①-②得

4a· b=4,则 a· b=1.
答案:A

2.(2014· 山东卷)已知向量 a=(1, 3),b=(3,m),若向量 a, π b 的夹角为6,则实数 m=( A.2 3 C .0 B. 3 D.- 3 )

1×3+ 3m 3 解析:根据平面向量的夹角公式可得 2 = 2 ,即 3+ 2× 9+m 3m= 3× 9+m2,两边平方并化简得 6 3m=18,解得 m= 3, 经检验符合题意.
答案:B

3.(2014· 湖南卷)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0), → → → → B(0, 3),C(3,0),动点 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的取值 范围是( ) B.[ 19-1, 19+1] D.[ 7-1, 7+1]

A.[4,6] C.[2 3,2 7]

→ → → 解析:设 D(x,y),则(x-3) +y =1,OA+OB+OD=(x-1,
2 2

→ → → → → → 2 2 y+ 3),故 |OA+OB+OD|= ?x-1? +?y+ 3? , |OA+OB+ OD| 的最大值即为圆(x-3)2+y2=1 上的点到点(1, - 3)距离的最大值, 其最大值为圆(x-3)2+y2=1 的圆心到点(1,- 3)的距离加上圆的 半 径 , 即 ?3-1?2+?0+ 3?2 + 1 = 7 + 1 , 最 小 值 为

?3-1?2+?0+ 3?2-1= 7-1,故取值范围为[ 7-1, 7+1].
答案:D

4.(2014· 安徽卷)设 a,b 为非零向量,|b|=2|a|,两组向量 x1, x2,x3,x4 和 y1,y2,y3,y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成.若 x1· y1 +x2· y2+x3· y3+x4· y4 所有可能取值中的最小值为 4|a|2,则 a 与 b 的 夹角为( )

2π π A. 3 B.3 π C.6 D.0

解析:设 S=x1· y1+x2· y2+x3· y3+x4· y4,若 S 的表达式中有 0 个 a· b,则 S=2a2+2b2,记为 S1,若 S 的表达式中有 2 个 a· b,则 S= a2+b2+2a· b,记为 S2,若 S 的表达式中有 4 个 a· b,则 S=4a· b, 记为 S3.又|b|=2|a|,所以 S1-S3=2a2+2b2-4a· b=2(a-b)2>0,S1 -S2=a2+b2-2a· b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以 S3<S2 <S1, 故 Smin=S3=4a· b, 设 a, b 的夹角为 θ, 则 Smin=4a· b=8|a|2cosθ 1 π =4|a| ,即 cosθ= ,又 θ∈[0,π],所以 θ= . 2 3
2

答案:B

π 5.(2014· 陕西卷)设0<θ< 2 ,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(1, -cosθ),若a· b=0,则tanθ=__________.

解析:由题设可得 sin2θ+cosθ· (-cosθ)=0?2sinθ· cosθ-cos2θ =0,又
? π? sinθ 1 ? ? θ∈ 0,2 ,∴cosθ>0,∴2sinθ-cosθ=0?tanθ=cosθ=2. ? ?

1 答案:2

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