山东新高考论坛新课标数学文一轮教师备课练习3.8正弦定理、余弦定理的应用举例

第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例 [考情展望] 以实际问题为背景,考查利用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量 (高度、距离)有关的实际问题. 实际问题中的有关概念 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角, 在水平线下方的角叫俯角 (如图 3-8-1①). 图 3-8-1 2.方位角和方向角 (1)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为 α(如图 3 -8-1②). (2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30° 等. 3.坡度与坡比 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比. 4.视角 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图 3-8-2). 图 3-8-2 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题,注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求 等. 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α,β 之间的关系是( A.α>β B.α=β ) C.α+β=90° 【解析】 如图所示,由图可知 α=β. D.α+β=180° 【答案】 B 2.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图 3-8-3), 要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC=50 m,∠ABC=105° , ∠BCA=45° ,就可以计算出 A,B 两点的距离为( ) 图 3-8-3 B.50 3 m 25 2 C.25 2 m D. m 2 BC AB 【解析】 在△ABC 中,由正弦定理 = , sin 30° sin 45° A.50 2 m AB=50 2. 【答案】 A 图 3-8-4 3.如图 3-8-4 所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯 塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° , 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° , 则灯塔 A 与灯塔 B 的距离 为( ) A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km 【解析】 在△ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=120° , ∴AB2=a2+a2-2a2cos 120° =3a2,AB= 3a. 【答案】 B 4.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° ,60° ,则塔高为 ________米. 200 NC 【解析】 如图所示,山的高度 MN=200 米,塔高为 AB,CN=MB= ,AC= = 3 3 200 200 200 400 = .所以塔高 AB=200- = (米). 3 3 3 3· 3 【答案】 400 3 考向一 [065] 测量距离问题 要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离. 【思路点拨】 将题中距离、 角度转化到一个三角形中, 再利用正、 余弦定理解三角形. 【尝试解答】 如图所示,在△ACD 中, ∠ACD=120° ,∠CAD=∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° . ∴BC= 3sin 75° 6+ 2 = . sin 60° 2 6+ 2 ? 6+ 2?2 ? -2× 3× 2 ×cos 75° ? 2 ? 在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=( 3)2+? =3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km),∴A、B 之间的距离为 5 km. 规律方法 1 1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中,建立一个解三 角形的模型; 2.利用正、余弦定理解出所求的边和角,得出该数学模型的解. 对点训练 图 3-8-5 如图 3-8-5 所示,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点.现 位于 A 点北偏东 45° , B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救 援船到达 D 点需要多长时间? 【解】 由题意知 AB=5(3+ 3)海里, ∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° , DB AB 在△DAB 中,由正弦定理,得 = , sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin 45° ∴DB= = sin 105° sin∠ADB = 5 3? 3+1? = sin 45° cos 60° +cos 45° sin 60° 3+1 2 5?3+ 3?· sin 45° =10 3(海里), 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60° ,BC=20 3(海里). 在△DBC 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC 1 =300+1200-2×10 3×20 3× =900. 2 30 ∴CD=30(海里).则需要的时间 t= =1(小时). 30 考向二 [066] 测量高度问题 某人在塔的正东沿着南偏西 60° 的方向前进 40 米后,望见塔在东北方向,若沿 途测得塔顶的最大仰角为 30° ,求塔高. 【思路点拨】 依题意画图,某人在 C 处,AB 为塔高,他沿 CD 前进,CD=40 米, 此时∠DBF=45° ,从 C 到 D 沿途

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