1高一函数初步定义域、解析式(教师版)


函数初步
一、 教学目标
1. 理解映射、函数的概念 2. 了解求函数解析式的几种方法 3. 会求具体函数、抽象函数定义域

二、 教学重难点
重点:求函数解析式、定义域的方法 难点:复合函数解析式、抽象函数定义域问题

三、 基础知识必备
(一)映射的定义: 映射定义: A,B 是两个非空的集合,如果按照某种对应法则 f, 设 对于集合 A 中的任何一个元素, .. .... 在集合 B 中都有唯一元素与之对应, 这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射, 记作:f : A ? B (注: .. . A 中元素必须取完,B 中元素可以取完,也可以不取完,这种对应可以是一对一,也可以是多对一, 但不能是一对多;注意关键词)在映射 f : A ? B 中,集合 A 叫做映射的定义域,与 A 中元素 x 对应 的 B 中元素 y 叫 x 的象,记作: y ? f (x) ,x 叫做 y 的原象。 补充:映射有“三性”: ①“有序性”:映射是有方向的,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射; ②“存在性”:对于集合 A 中的任何一个元素,集合 B 中都存在元素和它对应; ③“唯一性”:对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中和它对应的元素是唯一的. (二)函数的概念: 1.函数的定义 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2. 映射与函数的关系 函数是映射,但映射不一定是函数。由映射的概念可知,函数本质上是定义在两个非空数集上 的一类特殊的映射:当 A、B 是两个非空数集,那么 A 到 B 的映射 f:A→B 就叫做 A 到 B 的函数,并 记作 y=f(x),其中 x∈A,y∈B.原象的集合 A 叫做函数的定义域,象的集合 C 叫做函数的值域,显 然 C?B. 3.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所 以,如果两个函数的定义域和对应关系完全—致,即称这两个函数相等(或为同一函数); ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致,而与表示自变量和函数值的字母 无关.
1

(三)函数的表示法 1.函数的三种表示方法: 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明,给自变量求函数值. 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势. 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值. 2.分段函数: 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括 起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. 3.对勾函数

b y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) x

四、 典型例题分析 考点一:映射与函数
(一)映射 例1. ① A ? R , B ? { y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ;
* 2

② A ? {x | x ? 2, x ? N } , B ? ? y | y ? 0, y ? N? , f : x ? y ? x ? 2 x ? 2 ; ③ A ? {x | x ? 0} , B ? { y | y ? R} , f : x ? y ? ? x . 上述三个对应_____是 A 到 B 的映射. 例2. 已知映射 f : A ? B ,其中 A ? B ? R ,对应法则 f : y ? ? x ? 2 x ,对于实数 k ? B ,在集
2

合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是 A. k ? 1 B. k ? 1

(

) C. k ? 1

D. k ? 1

练习: 1.已知 A ? a, b, c? , B ? 0,1? ,映射 f : A ? B .满足: f (a) f (b) ? f (c) ,则这样的映射 有( A. 0 )个 B. 2 C. 3 D. 4 点(1,2)的原象

?

?

2、给定映射 f ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) ,则点(1,2)在 f 下的象是 是 (二) 函数概念 例3. 下列各组函数是否表示同一个函数? (1)

(2)

(3) (4)
2

例4.

函数 A.

的图象与直线 B.

的公共点数目是( C. 或 D. 或

)

(三)复合函数与分段函数 例5. 设 f ( x) ? ?

?3x ? 1, x ? 0
2 ?x ,

x?0

, g ( x) ? ?

?2 ? x 2 , x ? 1 1 求 f [ g (3)], g[ f ( ? )] 的值 2 x ?1 ?2,

例6.

已知函数 f ( x) ? ? A. ?

?2, x ?[?1,1] ,若 f [ f ( x)] ? 2 ,则 x 的取值范围是( ? x, x ?[?1,1]
C. (??, ?1) ? (1, ??)

)

B.[-1,1]

D. ?2? ? [?1,1]

例7.

设函数 f ? x ?=| 2x+ | -| x-4 | . 解不等式 f ? x ?>2 ; 1

练习:1.已知 f ( x) ? ? f ( x ? 1) x ? 1 ,求 f (?2) ?

?2 x ? 1

x ?1

2. 已知函数 f ( x ) ? ? A.

? 2 x ? 1, x ? 1 ? 若 f ( f (0)) ? 4a ,则实数 a 等于( 2 ? x ? ax, x ? 1 ?
C. 2 D. 9



1 4 B. 2 5 考点二:函数的定义域
求函数的定义域( x 的取值范围)的方法

①如果 f (x) 为分式,其定义域是使分母不为 0 的实数集; ②如果 f (x) 是二次根式(偶次根式),其定义域使根号内的式子不小于 0 的实数集合; ③如果 f (x) 是由以上几个部分的数学式子构成的, 其定义域是使各部分式子都有意义的实数集

3

合; ④ f ( x) ? x 0 的定义域是 {x ? R | x ? 0}. ⑤实际问题中要考虑实际意义; (一)给出函数解析式,求其定义域 例8. ① f ( x) ? ③ f ( x) ?

1 ; x?2 1 x ?1 ? 2? x

② f ( x) ? 3x ? 2 ; ④ f ( x) ?

4 ? x2 ?1

练习:求下列函数的定义域

y?

x?2 ?3 ? 3

1 3x ? 7

例9.

求下列函数的定义域,并用区间法表示:

(1) f ( x) ?

x 2 ? 3x ? 4 x ?1 ? 2

(2) f (x) ?

1 1? 1 1 1? x

(3) f ( x ) ?

( x ? 1) 0 x ?x

例10. 已知函数 f ? x ? 的定义域是 ? 0,9? ,求函数 f x2 的定义域

(二)抽象函数的定义域:

? ?

例11. 已知函数 f ? 3x ? 2? 的定义域是 ? ??,3? ,求函数 f ( x) 的定义域。

例12. 已知函数 f ?1 ? 2x ? 的定义域是 ? ,5? ,求函数 f ? x 2 的定义域。 2
4

?1 ?

? ?

?

?

例13.

若函数 y ? f (x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的定义域。

1 4

1 4

练习:1. 已知 f ( x ? 1) = 1 ? x 2 ,则 f (2 x ? 1) 的定义域为( A. ( ,1]

) D. [ , ]

1 2

B. [ , )

1 3 2 2

C. [1, )

3 2

1 3 2 2

2.若函数 y ? f ( x ) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? 3. 已知函数 f ( x ) ? A. A ? B ? B (三)定义域为 R 例14.

f (2 x) 的定义域是__ x ?1


__。

1? x 的定义域为 A ,函数 y ? f ? f ? x ? ? 的定义域为 B ,则( ? ? 1? x
B. A ? B

?

C. A ? B

D . A? B ? B

函数 y ? mx2 ? 6mx? 9 的定义域为 R,求 m 的取值范围?

例15.

已知函数 f(x)=

3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( ax ? ax ? 3
3 2



A,a>

1 3

B.-12<a≤0

C.-12<a<0

D.a≤

1 3

考点三:函数解析式求法
(一)配凑法或换元法: 例16. (1) 、已知 f ? x ?

? ?

1? ? 1? ? ? ? x ? ? ,求函数 f ?x ? 的解析式。 x? ? x?
5

2

(2) 、已知 f ?

2 ? x ?1? x ?1 1 ? ,求 f ?x ? 的解析式。 ?? x x2 ? x ?

练习:已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 解:令 t ?

x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? (t ? 1) 2

? f ( x ? 1) ? x ? 2 x
? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? t 2 ? 1,

? f ( x) ? x 2 ? 1 ( x ? 1)

? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? x 2 ? 2x ( x ? 0)
(二)待定系数法求解析式:已知函数的类型,把函数的解析式设出来,将已知条件代入所设解析 式求 例17. 已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;

2 练习:已知 f ( x ) 二次实函数,且 f ( x ? 1) ? f ( x ?1) ? x +2 x +4,求 f ( x ) .

(三)方程组消元法求解析式:已知 f ?x ? 与 f ?g ? x ?? 满足关系式,要求 f ?x ? 时,可用 ? ? x ? 代替两 边的所有 x ,得到关于 f ?x ? 及 f ?g ? x ?? 的方程组,解之即可得 f ?x ? 例18. 已知 f ?x ? 满足 3 f ? x ? ? 2 f ? ? ? 4 x ,求函数 f ?x ? 的解析式

?1? ? x?

练习:设 f ( x)满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f (x)

1 x

6

解 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x 显然 x ? 0, 将 x 换成

1 x



1 ,得: x


1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? x x
f ( x) ? ? x 2 ? 3 3x

解① ②联立的方程组,得:

(四)赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变 量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 11.已知对一切 x, y ? R, f ?x ? y ? ? f ?x ? ? ?2 x ? y ? 1?y 都成立, f ?0? ? 1 , f ?x ? 的解析式。 且 求

练习:已知: f (0) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立,求 f (x) 解? 对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 恒成立, 不妨令 x ? 0 ,则有 f (? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) ? 1 ? y( y ? 1) ? y 2 ? y ? 1 再令 ? y ? x 得函数解析式为: f ( x) ? x ? x ? 1
2

(五)代入法:求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。 例 12.已知:函数 y ? x ? x与y ? g ( x) 的图象关于点 (?2,3) 对称,求 g (x) 的解析式
2

解:设 M ( x, y ) 为 y ? g (x) 上任一点,且 M ?( x?, y ?) 为 M ( x, y ) 关于点 (?2,3) 的对称点

? x? ? x ? 2 ? ?2 ? x? ? ? x ? 4 则? ,解得: ? , y? ? y ? y? ? 6 ? y ? ?3 ? 2
? 点 M ?( x?, y ?) 在 y ? x 2 ? x 上

? y ? ? x? 2 ? x?
把?

? x? ? ? x ? 4 代入得: ? y? ? 6 ? y

6 ? y ? (? x ? 4) 2 ? (? x ? 4)
整理得 y ? ? x ? 7 x ? 6
2

7

? g ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 6
当堂练习:1. 已知 f ( x ? 1) ? x ? 1 ,则 f ( x ) ? 。

2. 已知 f ( x) 为二次函数,且 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且 f(0)=1,图象在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,则 f ( x) ? 1 3. 已知 f(x)+2f( )=2x+1,则 f(x)= x 4. 若 3 f ? x ? 1? ? 2 f ?1 ? x ? ? 2x ,则 f ( x ) ?

. 。

5. 函数 f ( x ) 对一切实数 x, y 均有 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立,且 f (1) ? 0 . (1) 求 f (0) 的值; (2)求 f ( x ) 解析式;

6. 设 f ( x ) 为 R 上的函数,并且对任意的 x, y 都有 f [ x ? f ( y)] ? f [ f ( y)] ? xf ( y) ? f ( x) ? 1,求

f ( x)

课后作业
1. 下列各组函数中表示同一函数的是
2 (A) f ( x) ? x 与 g ( x) ? ( x )

(B) f ( x) ? x | x | 与 g ( x) ? ?

? x 2 ( x ? 0) ? ?? x 2 ( x ? 0 ) ?

(C) f ( x) ?| x | 与 g ( x) ? 2. 设 f ( x ) ? (A) x

3

x

3

x2 ?1 (D) f ( x) ? 与 g ( x) ? t ? 1(t ? 1) x ?1

1 ,则 f [ f ( x)] 的表达式为 1? x
(B)

1 (1 ? x) 2

(C) ? x

(D)

1 1? x
8

3. 已知 f ( x ? 1) ? x 2 ? 5x ? 4 ,则 f (x ) 等于 (A) x ? 5 x ? 3
2

(B) x ? 7 x ? 10
2

(C) x ? 7 x ? 10
2

(D) x ? 4 x ? 6
2

4. 求下列函数的定义域: (1) y ? | 2x ? 1 | ?5x ? 2 (2) y ?

1 x ?| x|
2

5. 设 f ( x) ? 2 x ? 3 , g ( x) ? 4 x ? 5 ,若 f [h( x)] ? g ( x) 则 h(x) ? _____ 6. 函数 f (x ) 满足条件 2 f ( x ) ? f ( ) ?

1 x

1 ,求 f (x ) 的解析式_____. x

7. 已知函数 y ? a ? ? x 2 ? ax ? b 的值域为 [4,7] ,求 a, b 的值

8. 函数

的定义域是[-1,4],求函数

的定义域。

9. 若函数

的定义域是 R,求 m 的取值范围.

10. 已知

,则 11. 如果函数 对任意实数 都有

。 ,求 的值。

9

12. 函数

的定义域是

,值域为

,求 m 的值范围。

13. 设

,求函数

的解析式及函数

的定义域。

14. 一次函数

满足

,求

的解析式。

15. 分别求出下列函数错误!未找到引用源。的解析式:

1) 3) f ( x ? 2) ? 2 x ? 3

2) 4) f ( ) ?

1 x

1 x ?1

10


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