新课标高二数学选修2-2导数单元测试题

新课标选修 2-2 高二数学理导数测试题
一.选择题 (1) 函数
f (x) ? x ? 3x
3 2

? 1 是减函数的区间为(

) D. (0,2) )
? 4x ? 5

A. ( 2 , ?? ) B. ( ?? , 2 ) (2)曲线 y A. y
3 2

C. ( ?? , 0 )

? x ? 3 x ? 1 在点(1,-1)处的切线方程为(

? 3x ? 4
2

B. y

? ?3x ? 2

C. y

? ?4 x ? 3

D. y

a

(3) 函数 y= a x +1 的图象与直线 y=x 相切,则 a =( A.
1 8

) D.1 = ( )

B.
f ( x ) ? x ? ax
3 2

1 4

C.

1 2

(4) 函数 A.2 (5) 在 y A.3 (6)函数

? 3 x ? 9 , 已知 f ( x ) 在 x ? ? 3 时取得极值,则 a

B.3
? x ? 8x
3

C.4
?
4

D.5 的点中,坐标为整数的点的个数( D.0 ) )

的图象上,其切线的倾斜角< B.2
3

C.1

f ( x ) ? a x ? x ? 1 有极值的充要条件是(

A. a ? 0 (7)函数 A. (8)函数

B. a ? 0
3

C. a ? 0

D. a ? 0 )

f (x) ? 3x ? 4 x
1 2
f (x)

( x ? ? 0 ,1 ? )的最大值是( -1 C.0 D.1

B.

= x ( x -1) x -2)…( x -100)在 x =0 处的导数值为( ( B、1002 C、200
? ? 4? 3?



A、0 (9)曲线 y
? 1 3

D、100! )

x ? x
3

在点 ? 1, ? 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( B.
2 9

A.

1 9

C.

1 3

D.

2 3

二.填空题 (1) .垂直于直线 2x+6y+1=0 且与曲线 y = x3+3x-5 相切的直线方程是 (2) .设 f ( x ) = x - 值范围为
3

.

1 2

x -2x+5,当 x ? [ ? 1, 2 ] 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数 m 的取

2

.
3 2 2

(3) .函数 y = f ( x ) = x +ax +bx+a ,在 x = 1 时,有极值 10,则 a = (4) .已知函数 (5) .已知函数
f ( x) ? 4 x ? bx ? ax ? 5 在 x ?
3 2

,b = ,b ?
王新敞
奎屯 新疆

.

3 2

, x ? ? 1 处有极值,那么 a ?

f ( x) ? x ? ax
3

在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是
1

王新敞
奎屯

新疆

(6) .已知函数 是 (7) .若函数
王新敞
奎屯 新疆

f ( x ) ? x ? 3 a x ? 3( a ? 2 ) x ? 1
3 2

既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围

f (x) ? x ? x ? mx ? 1
3 2

是 R 是的单调函数,则实数 m 的取值范围是

王新敞
奎屯

新疆

(8) .设点 P 是曲线 y 围是 .

? x ?
3

3x ?

2 3

上的任意一点, P 点处切线倾斜角为 ? ,则角 ? 的取值范

三.解答题 1.已知函数 为6x ?
f ( x ) ? x ? bx
3 2

? ax ? d

的图象过点 P(0,2),且在点 M ( ? 1,

f ( ? 1))

处的切线方程

y?7 ? 0

.(Ⅰ)求函数 y

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x ) 的单调区间. ? f ( x ) 的解析式;

2.已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? 3 x 在 x ? ? 1 处取得极值. (Ⅰ)讨论 f (1 ) 和 f ( ? 1) 是函数 f ( x ) 的极大值还是极小值; (Ⅱ)过点 A ( 0 , 16 ) 作曲线 y ? f ( x ) 的切线,求此切线方程.

3.已知函数 (1)当 a
? 2

f ( x) ? ax ?
3

3 2

(a ? 2) x ? 6 x ? 3
2

时,求函数

f (x)

极小值; (2)试讨论曲线 y

? f (x) 与 x

轴公共点的个数.

2

4.已知 x ? 1 是函数

f ( x ) ? m x ? 3( m ? 1) x ? n x ? 1 的一个极值点,其中 m , n ? R , m ? 0
3 2



(I)求 m 与 n 的关系式; (III)当 x ? ? ? 1,1 ? 时,函数 y 范围.

(II)求
? f (x)

f (x)

的单调区间;

的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值

5.设函数 f ( x ) ? 2 x 3 ? 3 a x 2 ? 3 b x ? 8 c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (Ⅰ)求 a、b 的值; (Ⅱ)若对于任意的 x ? [ 0, ,都有 f ( x ) ? c 2 成立,求 c 的取值范围. 3]

6.已知

f ( x ) ? ax

3

? bx

2

? cx

在区间[0,1]上是增函数,在区间 ( ?? , 0 ), (1, ?? ) 上是减函数,又

1 3 f ?( ) ? . 2 2

(Ⅰ)求

f (x)

的解析式;(Ⅱ)若在区间 [ 0 , m ] (m>0)上恒有

f (x)

≤x 成立,求 m 的取值范围.

3

7.设函数

f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 )为 奇 函 数 , 其 图 象 在 点 ( 1 ,f
3

处 (1) ) 的切线与直线

x ? 6 y ? 7 ? 0垂直,导函数 f '( x )

的最小值为 ? 1 2 .
f (x)

(Ⅰ)求 a , b , c 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数

在 [ ? 1, 3] 上的最大值和最小值.

4

参考解答 一.BBDDD CDDA 2、m>7 8、 [ 0 ,
?
2

二.1、y=3x-5
( ? ? , ? 1) ? ( 2, ? ? )

3、4
2? 3

-11
,? )

4、 ? 1 8, ? 3

5、 ( ? ? , 0 )

6、 ?

?1 ?3

, ?? )

7、

]?[

三 . 1 . 解 :( Ⅰ ) 由
f ( x ) ? x ? bx
3 2

f (x)

的 图 象 经 过 P ( 0 , 2 ), 知 d=2 , 所 以 处的切线方程是 6 x ?
y?7 ? 0

2 ? cx ? 2 , f ? ( x ) ? 3 x ? 2 bx ? c . 由在 M ( ? 1, f ( ? 1))

知 ? 6 ? f ( ? 1) ? 7 ? 0 , 即 f ( ? 1) ? 1, f ? ( ? 1) ? 6 . ? ? 所 求 的 解 析
令 3x
2

?3 ? 2b ? c ? 6,

? 2 b ? c ? 3, 即? 解得 b ? c ? ? 3 . ? ? 1 ? b ? c ? 2 ? 1 . ?b ? c ? 0,

故 ) 当 故




2

f (x) ? x ? 3x
3

2

? 3 x ? 2.
x1 ? 1 ?


2 , x2 ? 1 ?

2
2.

2 f ?( x ) ? 3 x ? 6 x ? 3 .

? 6 x ? 3 ? 0,即 x

? 2 x ? 1 ? 0.
1?

解得

x ?1?

2,或 x ? 1 ?
3 2

2时 , f ? ( x ) ? 0 ;



2 ? x ?1?

2时 , f ? ( x ) ? 0 . 2 , ?? )

f (x) ? x ? 3x

? 3 x ? 2 在 ( ?? ,1 ?

在 2 ) 内是增函数, (1 ?

2 ,1 ?

在 2 ) 内是减函数, (1 ?



是增函数. 2. (Ⅰ)解:

f ? ( x ) ? 3 ax

2

? 2 bx ? 3 ,依题意, f ? (1) ? f ? ( ? 1) ? 0 ,即

?3a ? 2b ? 3 ? 0, 解得 a ? 1, b ? 0 ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0 .

.

∴ f ( x ) ? x 3 ? 3 x , f ? ( x ) ? 3 x 2 ? 3 ? 3 ( x ? 1)( x ? 1) . 令 f ? ( x ) ? 0 ,得 x ? ? 1, x ? 1 . 若 x ? ( ?? , ? 1) ? (1, ? ? ) ,则 f ? ( x ) ? 0 , 故 f ( x ) 在 ( ?? , ? 1) 上是增函数, f ( x ) 在 (1, ? ? ) 上是增函数. 若 x ? ( ? 1, 1) ,则 f ? ( x ) ? 0 ,故 f ( x ) 在 ( ? 1, 1) 上是减函数. 所以, f ( ? 1) ? 2 是极大值; f (1) ? ? 2 是极小值. (Ⅱ)解:曲线方程为 y ? x 3 ? 3 x ,点 A ( 0 , 16 ) 不在曲线上. 设切点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则点 M 的坐标满足 y 0 ? x 03 ? 3 x 0 . 因
2 f ? ( x 0 ) ? 3 ( x 0 ? 1)

,故切线的方程为 y

? y 0 ? 3 ( x 0 ? 1)( x ? x 0 )
2

注意到点 A(0,16)在切线上,有 16

? ( x 0 ? 3 x 0 ) ? 3 ( x 0 ? 1)( 0 ? x 0 )
3 2

化简得 x 03 ? ? 8 ,解得 x 0 ? ? 2 . 所以,切点为 M ( ? 2 , ? 2 ) ,切线方程为 9 x ? 3.解: (1)
f ( x ) ? 3 a x ? 3( a ? 2 ) x ? 6 ? 3 a ( x ?
' 2

y ? 16 ? 0

.
f (1) ? ? a 2

2 a

)( x ? 1), f ( x )

极小值为

(2)①若 a ? 0 ,则

f ( x ) ? ? 3( x ? 1)

2

,?

f (x)

的图像与 x 轴只有一个交点;

5

②若 a ? 0 ,
? f (x)

? f (x)

极大值为

f (1) ? ?

a 2

? 0

,?

f (x)

的极小值为

f(

2 a

) ? 0



的图像与 x 轴有三个交点;
? a ? 2

③若 0



f (x)
'

的图像与 x 轴只有一个交点;
2

④若 a ? 2 ,则

f ( x ) ? 6 ( x ? 1) ? 0
f (x)

,?

f (x)

的图像与 x 轴只有一个交点; ,?
f (x)

⑤若 a ? 2 ,由(1)知 一个交点; 综上知,若 a 4.解(I)
? 0, f ( x )

的极大值为

2 1 3 2 3 f ( ) ? ?4( ? ) ? ? 0 a a 4 4

的图像与 x 轴只有

的图像与 x 轴只有一个交点;若 a ? 0 , f ( x ) 的图像与 x 轴有三个交点. 因为 x ? 1 是函数
f (x)

2 f ? ( x ) ? 3 m x ? 6 ( m ? 1) x ? n

的一个极值点,

所以

f ? (1) ? 0

,即 3 m

? 6 ( m ? 1) ? n ? 0

,所以 n ? 3 m ? 6 = 3 m ( x ? 1) ? x ? ? 1 ?
? ? ? ? 2 ?? ?? m ??

(II)由(I)知,

2 f ? ( x ) ? 3 m x ? 6 ( m ? 1) x ? 3 m ? 6

当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ?

2 m

,当 x 变化时,

f (x)



f ? ( x ) 的变化如下表:

x

2 ? ? ? ? ? ,1 ? ? m ? ?

1?

2 m

2 ? ? ,1 ? ?1 ? m ? ?

1 0 极大值
2 ? ? m ?

? 1, ? ? ?
?0

f ?( x )

?0

0 极小值
?0

?0

f (x)

调调递减 故有上表知,当 m 在 (1 ?
2 m

单调递增 在 ? ? ? ,1 ?
? ?

单调递减

时,

f (x)

单调递减,

,1) 单调递增,在 (1, ? ? ) 上单调递减.
f ?( x ) ? 3 m

(III)由已知得 又m
?0

,即 m x 2
2 m

? 2 ( m ? 1) x ? 2 ? 0
? 0

所以 x 2
2

?

2 m 1

( m ? 1) x ? )x ? 2 m

即 x2

?

2 m

( m ? 1) x ?

2 m

? 0 , x ? ? ? 1,1 ? ①

设 g (x) ?

x ? 2 (1 ?

,其函数开口向上,由题意知①式恒成立,

m

2 2 ? ? ? 0 ? g ( ? 1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 所以 ? m m ? g (1) ? 0 ??1 ? 0 ?

解之得
6

?

4 3

? m 4 3

又m ? 0
? m ? 0

所以 ?

即 m 的取值范围为 ? ?
?

?

? ,0 ? 3 ? 4

5.解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 6 x 2 ? 6 a x ? 3 b , 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 即?
? 6 ? 6 a ? 3 b ? 0, ? 2 4 ? 1 2 a ? 3 b ? 0.

f ? (1) ? 0



f ?( 2 ) ? 0



解得 a ? ? 3 , b ? 4 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
2

f ( x ) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? 8c
3 2



f ? ( x ) ? 6 x ? 1 8 x ? 1 2 ? 6 ( x ? 1)( x ? 2 ) .

当 x ? ( 0, 时, f ? ( x ) ? 0 ; 1) 当 x ? (1, ) 时, f ? ( x ) ? 0 ; 2 当 x ? ( 2, 时, f ? ( x ) ? 0 . 3) 所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值
3 则当 x ? ? 0,? 时,
f (x)

f (1) ? 5 ? 8 c

,又

f (0 ) ? 8 c



f (3) ? 9 ? 8 c



的最大值为

f (3) ? 9 ? 8 c
2



3 因为对于任意的 x ? ? 0,? ,有

f (x) ? c

恒成立,

所以 9 ? 8c ? c 2 , 解得 c ? ? 1 或 c ? 9 , 因此 c 的取值范围为 ( ? ? , 1) ? (9, ? ) . ? ? 6.解: (Ⅰ)
2 f ?( x ) ? 3 a x ? 2 b x ? c

,由已知

f ? (0 ) ? f ? (1) ? 0 ,

? c ? 0, ? c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ? 3 a ? 2 b ? c ? 0, ? b ? ? a. ? 2
2 ? f ?( x ) ? 3 a x ? 3 a x

,?

3 ? 1 ? 3a 3a f ?? ? ? ? ? 4 2 2 ?2?
? 3x ? x ≤ 0
2

,? a ? ? 2 ,?

f ( x) ? ?2 x ? 3x
3

2



(Ⅱ)令

f (x) ≤ x

,即 ? 2 x 3 ,? 0 ≤



? x ( 2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0

x≤

1 2

或x≥1.
? m≤ 1 2



f (x) ≤ x

在区间 ? 0, m ? 上恒成立,? 0

7.(Ⅰ)∵ f ( x ) 为奇函数,

∴ f (? x) ? ? f ( x) 即 ? ax3 ? bx ? c ? ? ax 3 ? bx ? c ∴c ? 0 ∵ f '( x ) ? 3 a x 2 ? b 的最小值为 ? 1 2 ∴ b ? ?12 又直线 x ? 6 y ? 7 因此,
? 0

的斜率为

1 6

f '(1) ? 3 a ? b ? ? 6
7

∴ a ? 2 , b ? ?12 , c ? 0 . (Ⅱ) f ( x ) ? 2 x 3 ? 1 2 x .
f ' ( x ?)
2

6? x

1 2 ?
2)

x6 ( ?

x ?,列表如下: 2 ) ( 2 ) (? 2, 2)

x
f '( x ) f (x)

(?? , ?

?

2

2

(

2 , ?? )

?
?

0

?

0

?
?

极大 ? 所以函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( ? ? , ? ∵ ∴
f (x)

极小
2)

和(

2 , ?? )

f ( ? 1) ? 1 0



f ( 2 ) ? ?8

2



f (3) ? 1 8

在 [ ? 1, 3] 上的最大值是

f (3) ? 1 8 ,最小值是 f (

2 ) ? ?8

2

8


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