湖北省荆州中学2015-2016学年高二数学5月月考试题 文

湖北省荆州中学 2016 年 5 月月考高二数学(文)试题

(考试时间:120 分钟 总分:150 分)

参考公式:随机变量 K 2 ?

n(ad ? bc)2

(其中 n ? a ? b ? c ? d )

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

临界值表

P(K 2 ? k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005

0.001

k

0.455 0.708 1.323 2.072 0.706 3. 841 5.024 6.635 7.879 10.828

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求。)

1.复数 2 ? 3i ( i 为虚数单位)的虚部是(



i

A. ?2

B.2

C. ? 3

D. 3

2.关于 x 的不等式 ax2 ? ax ?1 ? 0 恒成立的一个必要不充分条件是( )

A. 0 ? a ? 4

B. 0 ? a ? 4

3.下列推理是归纳推理的是( )

C. 0 ? a ? 4

D. a ? 4 或 a ? 0

A.由 a1=1,an ? 3n ?1 ,求出 s1, s2 , s3 ,猜出数列{an} 的前 n 项和的表达式

B.由于 f (x) ? x sin x 满足 f (?x) ? f (x) 对 ?x?R 都成立,推断 f (x) ? x sin x 为偶函数

C.由圆 x2

?

y2

?

r2 的面积 S

? ? r2 ,推断椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的面积 S

? ?ab

D.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质

4.已知命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 2 ;命题 q : ?x ?[0, ? ],使 sin x ? cos x ?

x

2

真命题的是( )

A. p ? q B. p ? ?q C. ?p ? ?q

D. ?p ? q

2 ,则下列命题中

5.若如图所示的程序框图输出的 S 是126 ,则条件①可为( )

A. n ? 5?

B. n ? 6? C. n ? 7 ?

D. n ? 8?

6. 先 后 抛 掷 两 枚 均 匀 的 正 方 体 骰 子 ( 它 们 的 六 个 面 分 别 标 有 点 数
儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

1、2、3、4、5、6 )骰子朝上的面的点数分别为 x、y ,则 log2x y ? 1的概率为( )

A. 1

B. 5

C. 1

D. 1

6

36

12

2

7.要证: a2 ? b2 ?1? a2b2 ? 0 ,只需证明( )

A. 2ab ?1? a2b2 ? 0

B. a2 ? b2 ?1? a4 ? b4 ? 0 2

C. (a ? b)2 ?1? a2b2 ? 0 2

D. (a2 ?1)(b2 ?1) ? 0

8.椭圆的四个顶点 A, B, C, D 构成四边形为菱形,若菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆离心率

为( )

A. 3 5 2

B. 3 ? 5 8

C. 5 ?1 2

D. 5 ? 1 4

9.已知曲线 f (x) ? ex ? 1 与直线 y ? kx 有且仅有一个公共点,则实数 k 的最大值是(



ex

A. ?1

B. 0

C.1

D. 2

10.若不等式 ? x ? a?2 ?( x ?ln a)2 ? m对任意 x ? R, a?? 0, ??? 恒成立,则实数 m 的取值范围是

()

A.

? ??

??,

1 2

? ??

? B. ??? ??,

2? 2 ???

? ? C. ??, 2

D. ???, 2?

11.已知椭圆 x2 a2

? y2 b2

? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ,F1F2

?

10 ,

P 是 y 轴正半轴上一点,PF1 交椭圆于点 A ,若 AF2 ? PF1 ,且 ?APF2 的内切

圆半径为 ,则椭圆的离心率是( )

A. 5 4

B. 5 3

C. 5 10

D. 15 4

12.定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x1 ? x2 ,都有 x1 f (x1) ? x2 f (x2 ) ? x1 f (x2 ) ? x2 f (x1) ,则称

f (x) 为“ H 函数”,给出下列函数:① y ? ?x3 ? x ?1 ;② y ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ;③ y ? ex ? x ;



f

(x)

?

ln

x

?

1 x3

,其中是“

H

函数”的个数为(



A.1

B.2

C.3

D.4

第Ⅱ卷(共 90 分)

2儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元).

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

t

70

^

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 6.5x ?17.5 ,则表中 t 的值为



14. 若抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线错误!未找到引用源。的一个焦点,则错误!未找到

引用源。



15.设 f '(x) 是函数 f (x) 的导函数,且 f ' (x) ? 2 f (x) , (x ? R) , f (1) ? e ( e 为自然对 2

数的底数),则不等式 f (ln x) ? x2 的解集为

.

16.观察下列等式:

① cos 2? ? 2cos2 ? ?1

② cos 4? ? 8cos4 ? ? 8cos2 ? ?1

③ cos 6? ? 32cos6 ? ? 48cos4 ? ?18cos2 ? ?1

④ cos8? ?128cos8 ? ? 256cos6 ? ?160cos4 ? ? 32cos2 ? ?1

⑤ cos10? ? m cos10 ? ?1280 cos8 ? ?1120 cos6 ? ? n cos4 ? ? p cos2 ? ?1

可以推测, m ? n ? p ? __

___.

三、解答题 (本大题共 6 小题 ,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分 12 分)已知命题 p : x2 ? 2x ? a ? 0 在 R 上恒成立,命题 q : ?x0 ? R, x02 ? 2ax0

?2 ? a ? 0 , 若 p 或 q 为真, ?p 为真,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)设 n ? N * 且 sin x ? cosx ? ?1,请归纳猜测 sin n x ? cosn x 的值.(先观察

n ?1,2,3,4 时的值,归纳猜测 sin n x ? cosn x 的值,不必证明.)

19.(本小题满分 12 分)某校调查高二学生就读文理科与性别之间的关系,高二年段共有学生 400 人,

其中选择理科同学有 240 人,男女学生人数比例为 2:1,其余选择文科,男女学生人数比例为 1:1.

(Ⅰ)根据以上数据完成下面的 2×2 列联表: (Ⅱ)能否有 99.9%的把握认为该校高二年段选报文理科与 性别之间有关系?

男生 女生 合计

理科

文科

合计

3儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

20.(本小题满分 12 分)已知定点C ? ?1, 0? 及椭圆 x2 ? 3y2 ? 5 ,过点C 的动直线与椭圆相交于 A, B 两
点.
(Ⅰ)若线 段 AB 中点的横坐标是 ? 1 ,求直线 AB 的方程; 2
(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? a ln x ? 2 (a ? R) .
x ?1 (1)当 a ? 1 时,求 f (x) 在 x ?[1,??) 最小值;

(2)若 f (x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围;

(3)求证: ln(n ? 1) ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ( n? N* ).

357

2n ?1

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做第

一个题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图,AB 是⊙ O O 的直径,C, F 是⊙ O 上的两点,OC ? AB ,过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB

的延长线于点 D 连结 CF 交 AB 于点 E .

C

(Ⅰ)求证: DE2 ? DB DA (Ⅱ)若 DB ? 2, DF ? 4 ,试求 CE 的长.

A OE BD

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 F
在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C1 的极

坐标方程为 r = 8

2 cos(q-

3p 4

)

,曲线

C2

的参数方程为 ì??í???

x y

= =

8 cos q, 3sin q

(q

为参数).

(Ⅰ)将曲线 C1 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线 C2 的参数方程化为普通方程;

(Ⅱ)若

P

为 C2

上的动点,求点

P

到直线 l

:

ì??í???

x y

= =

3+ 2t, - 2+ t

(t

为参数)的距离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

已知 f (x) = x- 2 - x- a .

(Ⅰ)当 a = - 5时,解不等式 f (x) < 1;

(Ⅱ)若 f (x) ? x - 1 的解集包含[1, 2] ,求实数 a 的取值范围. 4
4儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

参考答案 一.选择题 1-----6 ACADBC 7----12 DCDABC
10. 解 : 答 案 A 解 : 不 等 式 ? x ? a?2 ? (x ? ln a)2 ? m 对 任 意 x ? R, a ??0, ??? 恒 成 立 , 即

m ? [? x ? a?2 ? (x ? ln a)2]最小值 对任意 x ? R, a ??0, ??? 恒成立.令 f (x) ? ? x ? a?2 ? (x ? ln a)2 ,

则 f (x) ? ? x ? a?2 ? (x ? ln a)2 ? 2x2 ? 2(a ? ln a)x ? a2 ? ln2 a , 当 x ? a ? ln a 时 , f (x) 最 小 为
2

(a ? l na )2 . 所 以 m ? (a ? l an 2 )对 a ??0, ??? 恒 成 立 . 令 u(a) ? (a ? ln a)2 (a ? 0) ,

2

2

2

u '(a) ? (a ?1)(a ? ln a) ,由于 0 ? a ? 1时, a ?1 ? 0, a ? ln a ? 0; a ?1时, a ?1 ? 0, a ? ln a ? 0 , a

即 a ?1时, u(a) ? (a ? ln a)2 取得最小 1 ,故选 A .

2

2

12. 解 :答案 C ∵ x1 f ? x1 ? ? x2 f ? x2 ? ? x1 f ? x2 ? ? x2 f ? x1 ? ,∴ ? x1 ? x2 ? ?? f ?x1 ? ? f ?x2 ??? ? 0 ; 即 x1 ? x2 ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,所以“ H 函数”是增函数;①∵ y ? ? x3 ? x ? 1,∴ y ' ? ?3 x2 ?1 ,

∴ y ? ? x3 ? x ? 1存在递减区间;②∵

y ? 3x ? 2?sin x ? cos x? ,? y ' ? 3 ? 2?cos x ? sin x? ? 3 ? 2

2

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

?

3

?

2

2 ? 0 ,∴

y

? 3x ? 2 ?sin x ? cos x? 在 R 上递增;③ y ? e x

?x

在 R 上递增,显然成立;④

f

? x? ? ln x ?

1 x3



增,显然成立.

二. 填空题 13. 50 14. 2 2

15 (0, e )

16 962

15.解 :【构造函数】令 g(x) ?

f (x) e2x , g'(x) ?

f '(x) ? e2x ? 2e2x ? f (x)

(e2x )2

?

f '(x) ? 2 f (x)

e2x

? 0,

∴ g(x)

R

1

上增,又 e2ln x

? eln x2

? x2 ,∴ g(1 ) ?

f( ) 2 ? 1, 不等式 ?

f (ln x) ?1 ? g(ln x) ? g(1) ,

2

2? 1

e2ln x

2

e2

ln x ? 1 ,故 x ? (0, e ) . 2
16.解:因为 2=21,8=23,32=25,…,128=27 所以 m=29=512;
观察可得 n=-400,p=50,所以 m-n+p=962.故答案为:962

5儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

三. 解答题

17.解:若 P 是真命题.则△=4﹣4a≤0∴a≥1; …(3 分)

若 q 为真命题,则方程 x2+2ax+2﹣a=0 有实根,

∴△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,即,a≥1 或 a≤﹣2,…(6 分)

依题意得, p 假 q 真…(9 分) a 的取值范围为 a≤﹣2.…(12 分)

18. 解:当 n ? N? 时,可能有 sinn x ? cosn x ? (?1)n 成立

当 n ?1 时 , sin x ? cos x ? ?1

当 n ? 2 时,有 sin2 x ? cos2 x ? 1……2分

当 n ? 3时,有 sin3 x ? cos3 x ? (sin x ? cos x)(sin2 x ? cos2 x ? sin x cos x) ……4 分

而 sin x ? cos x ? ?1∴1? 2sin xcos x ?1 , sin xcos x ? 0 .∴sin3 x ? cos3 x ? ?1……8 分 当 n ? 4 时,有 sin4 x ? cos4 x ? (sin2 x ? cos2 x)2 ? 2sin2 x cos2 x ? 1……10 分

由以上可以猜测,当 n ? N? 时,可能有 sinn x ? cosn x ? (?1)n 成立……12 分

19. 解:(Ⅰ)
男生 女生 合计

理科 160 80 240

文科 80 80 160

合计 240 160 400

(Ⅱ)假设 H0 :高二学生就读文理科与性别没有关系,根据列联表: ……… 6 分

K 2 ? 400 ? ?160 ? 80 ? 80 ? 80?2 ? 100 ? 11.111,因为 11.111>10.828,所以在犯错误的概率不超

240 ?160 ? 240 ?160

9

过 0.001 的前提下,认为该校高二学生就读文理科与性别之间有关系. ……… 12 分

20. 解:(Ⅰ)直线 AB 的方程为 x ? 3y ? 1 ? 0 或 x ? 3y ? 1 ? 0 … …… 4 分

(Ⅱ)解:假设在 x 轴上存在点 M ? m, 0? ,使 MA ? MB 为常数.

①当直线

AB 与 x 轴不垂直时,由(Ⅰ)知 x1

?

x2

?

6k 2

?

3k 2

?

, 1

x1 x2

?

3k 2 3k 2

?5 ?1

(3),所以

MA? MB ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? y1 y2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? k2 ? x1 ? 1?? x2 ? 1?
? ? ? ? ? ? ? k2 ? 1 x1x2 ? k2 ? m x1 ? x2 ? k2 ? m2 .将(3)代入,整理得
6儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

? ? MA?

MB

?

?6m ? 1? k 2
3k 2 ? 1

?

5

?

m2

?

? ??

2m

?

1? 3 ??

3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? 2m ? 14 3 ? m2

? ? ? m2 ? 2m ? 1 ? 6m ? 14 . 3 3 3k 2 ? 1

注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数,从而有 6m ? 14 ? 0.m ? ? 7 ,此时 MA ? MB ? 4 .…… 8 分

3

9

②当直线

AB



x

轴垂直时,此时点

A,

B

的坐标分别为

? ?

?1,

?

2 3

? ? ?

,

? ? ?

?1,

?

2 3

? ? ?

.当

m

?

?

7 3

时,

亦有

MA ?

MB

?

4 9

,综上,在

x

轴上存在定点 M

? ??

?

7 3

,

0

? ??

,使

MA ?

MB

为常数.

……… 12 分

21.解:(1) f (x) ? ln x ? 2 ,定义域为 (0,??) . ? f '(x) ? 1 ? 2 ? x2 ?1 ? 0 ,

x ?1

x (x ?1)2 x(x ?1)2

?h(x) 在 (0,??) 上是增函数. f (x)min ? f (1) ? 1 . ……… 4 分

(2)

因为 h' (x)

?

a x

?

2 (x ?1)2

?

ax2

? 2(a ?1)x ? a x(x ?1)2

因为若

f

(x) 存在单调递减区间,所以 h' (x)

?

0

有正数解.即 ax2 ? 2(a ?1)x ? a ? 0 有 x ? 0 的解 当 a ? 0 时,明显成立 . ②当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2(a ?1)x ? a 开口 向下的抛物 线, ax2 ? 2(a ?1)x ? a ? 0 总有 x ? 0 的解;

③当 a ? 0 时, y ? ax2 ? 2(a ?1)x ? a 开口向上的抛物线,即方程 ax2 ? 2(a ?1)x ? a ? 0 有正根.

因为 x1x2 ? 1 ? 0 ,所以方程 ax2 ? 2(a ?1)x ? a ? 0 有两正根. 当 x ? 1时, f (x) ? f (1) ? 1;

?? ? 0 ??x1 ? x2

?

,解得 0 ? 0

a

?

1 2



综合①②③知: a ? 1 . ……… 8 分 2

(3)根据(Ⅰ)的结论,当 x ?1时, ln x ? 2 ? 1 ,即 ln x ? x ?1 .

x ?1

x ?1

令 x ? k ? 1 ,则有 ln k ?1 ? 1 ,

k

k 2k ?1

? ? ? n ln k ? 1 ? n 1 .

k ?1

k

k ?1 2k ? 1

7儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

? ? ln(n ? 1) ? n ln k ? 1 ,?ln(n ?1) ? 1 ? 1 ? ? ? 1 .

k ?1

k

35

2n ?1

22 解:(Ⅰ)证明:连结 OF.

因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°.

……… 12 分 C

所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC.

A

OE BD

因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. F
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE.

因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF2=DB?DA.

所以 DE2=DB?DA.

……………… 5 分

(Ⅱ)解:?DF2=DB?DA,DB=2,DF=4. ?DA= 8, 从而 AB=6, 则 OC ? 3 .

又由(1)可知,DE=DF=4, ?BE=2,OE=1.

从而 在 Rt?COE 中, CE ? CO2 ? OE2 ? 10 .

………………10 分

23 解:(Ⅰ) 由 r = 8 2 cos(q - 3p ) 得 r = - 8cosq + 8sin q , 4
所以 r 2 = - 8r cos q + 8r sin q ,故曲线 C1 的直角坐标方程为 x2 + y2 = - 8x + 8y ,

即 (x + 4)2 + ( y - 4)2 = 32 , ……………………………………………………… 3 分

由 ì??í???

x y

= =

8cos q, 3sin q

消去参数 q

得 C2

的普通方程为

x2 64

+

y2 9

= 1.

………………… 5 分

(Ⅱ)设 P(8cos q,3sin q) ,直线 l 的普通方程为 x - 2y - 7 = 0 ,…………………… 7 分

故点 P 到直线 l 的距离为

d = 5 8cos q - 6sin q - 7 = 5 10 cos(q + j ) - 7 (其中 cosj = 4 ,sin j = 3 ),

5

5

5

5

因此当

cos(?

?

?)

?

7 10

时,

dmin

=

0 ,故点 P 到直线 l 的距离的最小值 0.………

10 分

24 解:(Ⅰ) 当 a = - 5时,不等式 f (x) < 1化为 x- 2 - x + 5 < 1,

当 x ? 5 时,- (x - 2) + (x + 5) < 1,无解;

当- 5 < x ? 2 时,- (x - 2)- (x + 5) < 1,解得 x > - 2 ,又- 5 < x ? 2 ,

所以- 2 < x ? 2 ; 当 x > 2 时, (x - 2) - (x + 5) ? 1,恒成立,又 x > 2 ,所以 x > 2 . 因此,当 a = - 5时,解不等式 f (x) < 1的解集为{x | x > - 2}.

(Ⅱ) f (x) ? x - 1 ? x 2 - x - a + x - 1 ? 0 .

4

4

8儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

当 x ? [1, 2]时,- (x - 2)- x - a + x - 1 ? 0 ,即 x - a ? 7 ,

4

4

所以 x ? a 7 或 x ? a 7 ,因为 f (x) ? x - 1 的解集包含[1, 2] ,

4

4

4

于是 a + 7 ? 1 或 a - 7 ? 2 ,故 a ? 3 或 a ? 15 .

4

4

4

4

所以,实数 a 的取值范围为 (- ? , 3] [15 ,+ ? ) . 44

9儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

10 儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

11儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

12 儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

13 儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定


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