三角函数解题技巧和公式(已整理)经典法则

Abstract: B ased on the compreh ensive analysis on the plas tic part’s tructure service requirement, mounding introduced

浅论关于三角函数的几种解题技巧
本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累了一些解 题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下: 一、关于 sin ? ? cos?与sin ? cos? (或 sin 2? ) 的关系的推广应用:
2 1 、 由 于 ( s?i? c n o ?)2 s ? s i2 ? n? c o ?s? 2 s i? c n o ?? s 1 ? 2 s i? c n o ? s故 知 道

( s ?i? n c o ? )s ,必可推出 sin ? cos? (或 sin 2? ) ,例如:

例1

已知 sin ? ? cos? ?

3 , 求 sin 3 ? ? cos3 ? 。 3

分析:由于 sin 3 ? ? cos3 ? ? (sin? ? cos? )(sin2 ? ? sin ? cos? ? cos2 ? )

? (sin? ? cos? )[(sin? ? cos? ) 2 ? 3sin? cos? ]
其中, sin? ? cos ? 已知,只要求出 sin ? cos ? 即可,此题是典型的知 sin ? -cos ? ,求 sin ? cos ? 的题型。 解:∵ (sin? ? cos? ) 2 ? 1 ? 2 sin? cos? 故: 1 ? 2 sin ? cos? ? (
3 2 1 1 ) ? ? sin ? cos? ? 3 3 3

sin 3 ? ? cos3 ? ? (sin? ? cos? )[(sin? ? cos? ) 2 ? 3sin ? cos? ]
? 3 3 1 3 1 4 [( ) 2 ? 3 ? ] ? ? ? 3 3 3 3 3 3 9

2、关于 tg ? +ctg ? 与 sin ? ±cos ? ,sin ? cos ? 的关系应用: 由于 tg ? +ctg ? =
sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? ? ? cos? sin ? sin ? cos? sin ? cos?

故:tg ? +ctg ? , sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? 三者中知其一可推出其余式子的值。 例 2 若 sin ? +cos ? =m2,且 tg ? +ctg ? =n,则 m2 n 的关系为( ) 。

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A.m2=n

B.m2=

2 ?1 n

C. m 2 ?

2 n

D. n ?

2 m2

分析:观察 sin ? +cos ? 与 sin ? cos ? 的关系: sin ? cos ? = 而: tg? ? ctg ? ? 故:
(sin? ? cos? ) 2 ? 1 m 2 ? 1 ? 2 2

1 ?n sin ? cos ?

m2 ?1 1 2 ? ? m 2 ? ? 1 ,选 B。 2 n n

已知:tg ? +ctg ? =4,则 sin2 ? 的值为( ) 。 1 1 1 1 A. B. ? C. D. ? 2 4 2 4 1 1 ? 4 ? sin ? cos ? ? 分析:tg ? +ctg ? = sin ? cos ? 4 1 故: sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? sin 2? ? 。 答案选 A。 2 例3 例4 已知:tg ? +ctg ? =2,求 sin 4 ? ? cos4 ?

分析: 由上面例子已知, 只要 sin 4 ? ? cos4 ? 能化出含 sin ? ±cos ? 或 sin ? cos ? 的式子, 则即可根据已知 tg ? +ctg ? 进行计算。由于 tg ? +ctg ? =
sin ? cos ? ? 1 ?2? sin ? cos ?

1 ,此题只要将 sin 4 ? ? cos4 ? 化成含 sin ? cos ? 的式子即可: 2

解: sin 4 ? ? cos4 ? = sin 4 ? ? cos4 ? +2 sin2 ? cos2 ? -2 sin2 ? cos2 ? =(sin2 ? +cos2 ? )- 2 sin2 ? cos2 ? =1-2 (sin ? cos ? )2 1 =1- 2 ? ( ) 2 2 1 =1 ? 2 1 = 2 通过以上例子,可以得出以下结论:由于 sin ? ? cos ? ,sin ? cos ? 及 tg ? +ctg ? 三者之 间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但 有一点要注意的;如果通过已知 sin ? cos ? ,求含 sin ? ? cos ? 的式子,必须讨论其象限才能 得出其结果的正、负号。这是由于( sin ? ? cos ? )2=1±2sin ? cos ? ,要进行开方运算才能 求出 sin ? ? cos ? 二、关于“托底”方法的应用: 在三角函数的化简计算或证明题中, 往往需要把式子添加分母, 这常用在需把含 tg ?(或
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2

数学

ctg ? )与含 sin ? (或 cos ? )的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底” 法。方法如下: sin ? ? 3 cos ? 例 5 已知:tg ? =3,求 的值。 2 sin ? ? cos ? sin ? 分析:由于 tg? ? ,带有分母 cos ? ,因此,可把原式分子、分母各项除以 cos ? , cos ? “造出”tg ? ,即托出底:cos ? ; ? 解:由于 tg ? =3 ? ? ? k? ? ? cos ? ? 0 2 sin ? cos? ? 3? cos? ? tg? ? 3 ? 3 ? 3 ? 0 故,原式= cos? sin ? cos? 2tg? ? 1 2 ? 3 ? 1 2? ? cos? cos? 已知:ctg ? = -3,求 sin ? cos ? -cos2 ? =? cos ? cos ? 分析:由于 ctg ? ? ,故必将式子化成含有 的形式,而此题与例 4 有所不同, sin ? sin ? 例6 式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 及托底法托出其 分母,然后再分子、分母分别除以 sin ? ,造出 ctg ? :

sin ? cos? ? cos2 ? 解: sin ? ? cos ? ? 1 ? sin ? cos? ? cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ?
2 2 2

分子, 分母同除以 sin 2 ?

cos? cos? 2 ?( ) 2 sin ? sin ? ? ctg? ? ctg ? cos? 2 1 ? ctg 2? 1? ( ) sin ?

? 3 ? (?3) 2 6 ? ?? 2 5 1 ? (?3)
例 7 (95 年全国成人高考理、工科数学试卷) ? ? ? ? 设 0 ? x ? ,0 ? y ? , 且 sin x sin y ? sin( ? x) sin( ? y ) 2 2 3 6 求: (ctgx ?
3 )(ctgy ? 3 ) 的值 3

分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法” ,由 ? ? 于 0 ? x ? ,0 ? y ? , 故 sin x ? 0, sin y ? 0 , 在等式两边同除以 sin x sin y , 托出分母 sin x sin y 2 2 为底,得: 解:由已知等式两边同除以 sin x sin y 得:

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3

sin( ? x) sin( ? y ) sin cos? cos sin x sin cos y ? cos sin y 3 6 3 3 6 6 ?1? ? ?1 sin x sin y sin x sin y

?

?

?

?

?

?

1 3 cos x ? sin x cos y ? 3 sin y ? ? ?1 4 sin x sin y 1 ? ( 3ctgx ? 1)(ctgy ? 3 ) ? 1 4 3 3 ? (ctgx ? )(ctgy ? 3 ) ? 1 4 3 3 4 ? (ctgx ? )(ctgy ? 3 ) ? 3 3 3 “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。 sin ? cos ? 由于 tg? ? , ctg ? ? ,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互 cos ? sin ? 化需“托底” ,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化, ?
达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种:一种利用 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ,把

sin 2 ? ? cos2 ? 作为分母,并不改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又
或者它们的积,产生分母。 三、关于形如: a cos x ? b sin x 的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用: 可以从公式 sin A cos x ? cos A sin x ? sin(A ? x) 中得到启示: 式子 a cos x ? b sin x 与上述公式 有点相似,如果把 a,b 部分变成含 sinA,cosA 的式子,则形如 a cos x ? b sin x 的式子都可以 变成含 sin( A ? x) 的式子,由于-1≤ sin( A ? x) ≤1, 所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把 a 当成 sinA,b 当成 cosA,如式子: 3 cos x ? 4 sin x 中,不能设 sinA=3,cosA=4,考虑:-1≤sinA≤1,-1≤cosA ≤1,可以如下处理式子:
? ? a b a cos x ? b sin x ? a 2 ? b 2 ? cos x ? sin x ? ? 2 ? 2 a2 ? b2 ? a ?b ?

由于 (

a a ?b
2 2

)2 ? (

b a ?b
2 2

) 2 ? 1。 b a2 ? b2

故可设: sin A ?

a a2 ? b2

,则 cos A ? ? 1 ? sin A ,即: cos A ? ?

∴ a cos x ? b sin x ? a 2 ? b 2 (sin A cos x ? cos A sin x) ? a 2 ? b 2 sin( A ? x) 无论 A ? x 取何值,-1≤sin(A±x)≤1,

? a 2 ? b 2 ≤ a 2 ? b 2 sin(A ? x) ≤ a 2 ? b 2
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4

数学

即: ? a 2 ? b 2 ≤ a cos x ? b sin x ≤ a 2 ? b 2 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用: 例 1(98 年全国成人高考数学考试卷) 求:函数 y ? 3 cos2 x ? sin x cos x 的最大值为(AAAA A. 1 ?
3 2



B. 3 ? 1

C. 1 ?

3 2

D. 3 ? 1

1 1 2 ? 2 s i nx cosx ? s i n2 x , 再 想 办 法 把 c o s x 变 成 含 cs o2 x 的 式 子 : 2 2 co s2 x ? 1 co s2 x ? 2 co s2 x ? 1 ? co s2 x ? 2 cos 2 x ? 1 1 ? sin 2 x 于是: y ? 3 ? 2 2

分 析 : s i nx cos ?

?

3 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2 3 1 3 cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 2

?(

由于这里: a ?

3 1 3 1 , b ? ,则 a2 ? b2 ? ( )2 ? ( )2 ? 1 2 2 2 2

∴ y ? 1? (

3 1 3 cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 2 2

设: sin A ?

3 3 1 ? 2 ? , 则 cos A ? 1 2 2 a2 ? b2 a
3 2

∴ y ? sin A cos 2 x ? cos A sin 2 x ?
3 2

? sin( A ? 2 x) ?

无论 A-2x 取何值,都有-1≤sin(A-2x)≤1,故 ? 1 ?
3 ,即答案选 A。 2

3 3 ≤ y ≤1 ? 2 2

∴ y 的最大值为 1 ?

例 2 (96 年全国成人高考理工科数学试卷)
5

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在△ABC 中,已知:AB=2,BC=1,CA= 3 ,分别在边 AB、BC、CA 上任取点 D、E、F,使 △DEF 为正三角形,记∠FEC=∠α ,问:sinα 取何值时,△EFD 的边长最短?并求此最短边 长。 分析:首先,由于 BC 2 ? CA2 ? 12 ? ( 3) 2 ? 4 ? AB2 ,可知△ABC 为 Rt△,其中 AB 为斜
BC 1 ? , 故A ? 30? ,则∠B= AB 2 90°—∠A=60°,由于本题要计算△DEF 的最短边长,故必要设正△DEF 的边长为 l ,且要列 出有关 l 为未知数的方程,对 l 进行求解。观察△BDE,已知:∠B=60°,DE= l ,再想办法找 出另两个量,即可根据正弦定理列出等式,从而产生关于 l 的方程。在图中,由于 EC= l ·cos α ,则 BE=BC-EC=1- l ·cosα 。 而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α +∠DEF+∠1=180° ? ∠BDE=∠α ∠B=60°,∠DEF=60° ∴在△BDE 中,根据正弦定理: BF DE 1 ? l ? cos ? l ? ? ? sin ?BDE sin ?B sin ? sin 60?

边,所对角∠C 为直角,又由于 sin A ?

?

3 3 3 (1 ? l ? cos? ) ? l ? sin ? ? ? l ? cos? ? l ? sin ? 2 2 2
3 2 3 cos? ? sin ? 2

?l ?

在这里,要使 l 有最小值,必须分母:

3 cos? ? sin ? 有 最 大 值 , 观 察 : 2

3 3 3 7 cos? ? sin ? , a ? , b ? 1 ? a 2 ? b 2 ? ( ) 2 ? 12 ? 2 2 2 2

3 7 21 2 7 cos? ? sin ? ? ( cos? ? sin ? ) 2 2 7 7 21 2 7 ,则 cos A ? 7 7

设: sin A ?

故:

3 7 cos? ? sin ? ? (sin A cos? ? cos A sin ? ) 2 2 ? 7 sin( A ? ? ) 2

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6

数学



3 7 。 cos? ? sin ? 的最大值为 2 2

3 21 即: l 的最小值为: 2 ? 7 7 2

而 sin( A ? ? ) 取最大值为 1 时, A ? ? ? 2k? ? ∴ sin ? ? sin(2k? ?

?
2

? ? ? 2k? ?

?
2

?A

?
2

? A) ? cos A ?

2 7 7

即: sin ? ?

2 7 21 时,△DEF 的边长最短,最短边长为 。 7 7

从以上例子可知,形如 a cos x ? b sin x 适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与 式子的加、 减是无关, 与 a 2 ? b 2 的最值有关; 其中最大值为 a 2 ? b 2 , 最小值为 ? a 2 ? b 2 。 在计算三角函数的极值应用题时,只要找出形如 a cos x ? b sin x 的关系式,即能根据题意,求 出相关的极值。

三角函数知识点解题方法总结 一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间(-90?,90?)的公式. 1.sin(kπ +α )=(-1)ksinα (k∈Z);2. cos(kπ +α )=(-1)kcosα (k∈Z); 3. tan(kπ +α )=(-1)ktanα (k∈Z);4. cot(kπ +α )=(-1)kcotα (k∈Z). 二、见“sinα ±cosα ”问题,运用三角“八卦图” 1.sinα +cosα >0(或<0)óα 的终边在直线 y+x=0 的上方(或下方); 2. sinα -cosα >0(或<0)óα 的终边在直线 y-x=0 的上方(或下方); 3.|sinα |>|cosα |óα 的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内; 4.|sinα |<|cosα |óα 的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内. 三、见“知 1 求 5”问题,造 Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5, 12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。 四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。
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7

五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知 tanα ,求 sinα 与 cosα 的齐次式,有些整式 情形还可以视其分母为 1,转化为 sin2α +cos2α . 六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式: 1.sin(α +β )sin(α -β )= sin2α -sin2β ;2. cos(α +β )cos(α -β )= cos2α -sin2β . 七、见“sinα ±cosα 与 sinα cosα ”问题,起用平方法则: (sinα ±cosα )2=1±2sinα cosα =1±sin2α ,故 1.若 sinα +cosα =t,(且 t2≤2),则 2sinα cosα =t2-1=sin2α ; 2.若 sinα -cosα =t,(且 t2≤2),则 2sinα cosα =1-t2=sin2α . 八、见“tanα +tanβ 与 tanα tanβ ”问题,启用变形公式: tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ).思考:tanα -tanβ =??? 九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0) 1.函数 y=Asin(wx+φ )和函数 y=Acos(wx+φ )的图象, 关于过最值点且平行于 y 轴的直线 分别成轴对称; 2.函数 y=Asin(wx+φ )和函数 y=Acos(wx+φ )的图象,关于其中间零点分别成中心对称; 3.同样,利用图象也可以得到函数 y=Atan(wx+φ )和函数 y=Acot(wx+φ )的对称性质。 十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式: 1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)2=(a2+b2)sin2(x+φ )≤(a2+b2); 3.asinx+bcosx=c 有解的充要条件是 a2+b2≥c2. 十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化. 1.cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1. 2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等

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数学

角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotBcot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式
sin^2(α/2)=(1 - cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1 - cosα)/(1+cosα)

和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
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sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α

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