高中数学3.3.1 几何概型 名师公开课市级获奖课件(人教A版必修三)_图文

3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 几何概型 1.定义 长度 面积 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的______(_____ 或_____) 体积 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称 为几何概型. 2.特点 无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_____个; 无限 等可能性:每个基本事件出现的可能性_____. 相等 3.概率公式 P(A)= 构成事件A的区域长度 ? 面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) . 思考:(1)几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系 吗? (2)概率为0的事件是否一定是不可能事件? (3)概率为1的事件是否一定会发生? 提示:(1)没有.几何概型的概率只与构成事件的区域的长度 (面积或体积)有关,而与构成事件的区域形状无关 . (2)不一定.设Ω={(x,y)|x2+y2≤4},A={(x,y)|x2+y2=4}.Ω为 圆形区域,而A为圆周,向区域Ω内投点,则点落在A上的概 率P(A)= =0,而事件A是可能发生的. A的面积 0 ? (2)中,设点落在圆内部为事件B,则P(B) (3)不一定.如思考 Ω的面积 4π = 能落在圆周上 圆内部面积 .4π =1,而点落在圆内部并不一定发生,点也可 Ω的面积 ? 4π 【知识点拨】 几何概型与古典概型的异同点 类型 异同 不同点(基本事 件的个数) 相同点(基本事 件发生的等可 能性) 古典概型 几何概型 一次试验的所有可能 一次试验的所有可能出 出现的结果(基本事 件)有有限个 现的结果(基本事件)有 无限多个 每一个试验结果(即基本事件)发生的可能性 大小相等 类型 一 与长度有关的几何概型问题 【典型例题】 1.把一根均匀的绳子随机地按任意点剪成两段,则“其中一段 长度大于或等于另一段长度的2倍”的概率为( A. B. C. D. ) 1 2 2 3 1 3 1 4 2.(2012·辽宁高考)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作 一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于 32cm2的概率为( ) A. 1 4 2 1 【解题探究】 ? 6 5 3 3 1.长度型几何概型有何特点 2.求长度型几何概型的概率的关键是什么 ? B. C. D. 探究提示: 1.基本事件的结果构成的区域为限定长度的区间内的点 ,所求 事件包含的基本事件是该区间的子集 . 2.长度型几何概型的求解关键一是求出所有基本事件对应的 线段长度(或区间长度),二是找准并求出所求事件包含的基本 事件对应的线段长度(或区间长度). 【解析】1.选B.如图 ,均匀的绳子AB随机 地按任意点剪成两段,若要其中一段长度大于或等于另一段 长度的2倍,则剪断点应该在线段AC和线段DB上(其中C,D是线 段AB的三等分点),设事件A为“其中一段长度大于或等于另 一段长度的2倍”,则P(A)= 故选B. , 线段AC的长度 ? 线段DB的长度 2 ? 线段AB的长度 3 2.选C.设其中一段AC长为x cm,则另一段BC长为(12-x)cm, 其中0<x<12cm. 由题意x(12-x)<32 0<x<4或8<x<12,则点C的选取的长度为 4+4=8(cm),故概率为 ? 8 2 ? 12 3 . 【拓展提升】 1.与长度有关的几何概型问题的计算公式 如果试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示,则其 概率的计算公式为: P(A)= . 构成事件A的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度 2.与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤 (1)找到几何区域D,这时区域D可能是一条线段或几条线段或 曲线段,并计算区域D的长度. (2)找到事件A发生时对应的区域d,确定d的边界点是问题的关 键. (3)利用几何概型概率公式求概率. 【变式训练】(2013·湛江高一检测)在三角形ABC中, ∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,使△ABD为钝角 三角形的概率为( ) A. 1 2 B. C. D. 1 3 2 5 2 3 【解析】选A.由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发 生包含的事件对应的是长度为6的一条线段,满足条件的事件 是组成钝角三角形,包括两种情况: 第一种,∠ADB为钝角,这种情况的边界是∠ADB=90°的时候, 此时BD=1, 所以这种情况下,满足要求0<BD<1. 第二种,∠BAD为钝角,这种情况的边界是∠BAD=90°的时候, 此时BD=4, 所以这种情况下,满足要求4<BD<6. 综合两种情况,若△ABD为钝角三角形,则0<BD<1或4<BD<6. 所以概率P= . 3 1 ? 6 2 类型 二 与面积有关的几何概型问题 【典型例题】 1.(2012·湖北高考)如图,在圆心角为直角 的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半 圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴 影部分的概率是( ) A.1C. B. 2 ? 2 ? D. 1 1 2 ? 1 ? ? 2.正方形ABCD的边长为2,在其内部取点P,则事件“△PAB, △PBC,△PCD,△PDA的面积均大于 2 ”的概率为 . 3 【解题探究】1.解决与面积有关的几何概型问题的关键是什 么? 2.当图形形状不规则时,如何求图形面积? 探究提示: 1.解题关键是:(1)分清总的基本事件所覆盖的图形与所求事 件包含的基本事件覆盖的图形.(2)分别求出两种图形的面积. 2.当图形形状不规则时,可用割补法将图形变为规则图形后再 计算面积. 【解析】1.选A.设扇形的半径为r,则扇形 OAB的面积为 1 πr2. 4 连接OC,把下面的阴影部分平均分成了 2部 分(如图),然后利用割

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