【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 几何证明选讲 第讲 相似三角形的判定及有关性质习题 选修--课件

2017 高考数学一轮复习 几何证明选讲 第 1 讲 相似三角形的判定及 有关性质习题 选修 4-1
A 组 基础巩固一、选择题 1.如图,已知点 A、D 在直线 BC 上的射影分别为 B、C,点 E 为线段 AD 的中点,则 BE 与 CE 的大小关系为 导学号 25402760 ( A.BE>CE B.BE<CE C.BE=CE D.无法确定 [答案] C [解析] 过点 E 作 EF⊥BC 于 F,则 AB∥EF∥CD. 因为 E 为 AD 的中点,所以 F 为 BC 的中点. 所以 EF 是 BC 的中垂线,则 BE=CE. 2 .如图, E 是 ? ABCD 的边 AB 延长线上的一点,且 DC ∶ BE = 3 ∶ 2 ,则 AD ∶ BF = 导学号 25402761 ( A.5∶3 B.5∶2 C.3∶2 D.2∶1 [答案] B [解析] 由题可得△BEF∽△CDF, ∴ ) )

DC DF 3 AD DE DF 5 = = ,∴ = = +1= . BE EF 2 BF EF EF 2

3. 如图所示, 在?ABCD 中, BC=24, E、 F 为 BD 的三等分点, 则 BM-DN= 导学号 25402762 ( )

A.6 C.2 [答案] A

B.3 D.4

[解析] ∵E、F 为 BD 的三等分点,四边形 ABCD 为平行四边形,∴M 为 BC 的中点.连
1

CF 交 AD 于 P,则 P 为 AD 的中点,由△BCF∽△DPF 及 M 为 BC 中点知,N 为 DP 的中点,∴BM
-DN=12-6=6,故选 A. 4 .如图, DE ∥ BC , DF ∥ AC , AD = 4 cm , BD = 8 cm , DE = 5 cm ,则线段 BF 的长为 导学号 25402763 ( )

A.5 cm C.9 cm [答案] D [解析] ∵DE∥BC,DF∥AC, ∴四边形 DECF 是平行四边形. ∴FC=DE=5 cm.∵DF∥AC,∴ = 即

B.8 cm D.10 cm

BF BD . FC DA

BF 8
5

= ,∴BF=10 cm. 4

5 . 在 Rt △ ABC 中 , ∠ CAB = 90° , AD ⊥ BC 于 D , AB ∶ AC = 3 ∶ 2 , 则 CD ∶ BD = 导学号 25402764 ( A.3∶2 C.9∶4 [答案] D [解析] 射影定理得 AB =BD·BC.
2

) B.2∶3 D.4∶9

AC2=DC·BC.


CD·BC AC2 4 = = ,即 CD∶BD=4∶9. BD·BC AB2 9

6.(2016·梅州联考)如图所示,在矩形 ABCD 中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠使点

B 落在 AD 边的中点 E 处,则折痕 FG 的长为 导学号 25402765 (

)

A.13 C. 65 6

63 B. 5 21 D. 2
2

[答案] C [解析] 过 A 作 AH∥FG 交 DG 于 H, 则四边形 AFGH 为平行四边形. ∴AH=FG. ∵折叠后 B 点与 E 点重合,折痕为 FG, ∴B 与 E 关于 FG 对称. ∴BE⊥FG,∴BE⊥AH. ∴∠ABE=∠DAH,∴Rt△ABE∽Rt△DAH. ∴

BE AH = . AB AD

1 ∵AB=12,AD=10,AE= AD=5, 2 ∴BE= 12 +5 =13. ∴FG=AH=
2 2

BE·AD 65 = . AB 6

二、填空题 7 .如图,在△ ABC 中, DE ∥ BC , EF ∥ CD ,若 BC = 3 , DE = 2 , DF = 1 ,则 AB 的长为 ________. 导学号 25402766

[答案] [解析]

9 2

AD DE 2 DF CE 1 9 = = , = = .∵BC=3,DE=2,DF=1,解得 AB= . AB BC 3 AD AC 3 2

8.如图,在 Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,CD=6,且 AD∶BD=3∶2,则斜边 AB 上的中线 CE 的长为________. 导学号 25402767

[答案]

5 6 2
2

[解析] ∵CD =BD·AD, 设 BD=2k,则 AD=3k, ∴36=6k ,∴k= 6,∴AB=5k=5 6.
3
2

1 5 6 ∴CE= AB= . 2 2 9.(2011·广东)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E,F 分别为 AD,BC 上的点, 且 EF=3, EF∥AB, 则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________. 导学号 25402768

[答案] 7∶5 [解析] (1)在梯形 ABCD 中,过 C 作 CG∥AD 交 AB 于 G,交 EF 于 H,如图.

则 HF=1,GB=2.又 EF∥AB,

HF CF 1 即 HF∥GB,∴ = = , GB CB 2
∴F 为 CB 的中点,∴EF 为梯形 ABCD 的中位线. 设梯形 EFCD 的高为 h,则梯形 ABCD 的高为 2h.

S 梯形 ABCD= S 梯形 EFCD=

?AB+CD?·2h ?4+2?×2h = =6h, 2 2 ?CD+EF?·h ?2+3?h 5h = = . 2 2 2

所以 S 梯形 ABCD∶S 梯形 EFCD=12∶5,

S 梯形 ABFE∶S 梯形 EFCD=7∶5.
10.(2015·广东梅州联考)如图,在△ABC 中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,过 B 作

CA 的垂线,交 CA 的延长线于 E,交 DA 的延长线于 F,则 AF=________. 导学号 25402769

[答案]

4 3 3

[解析] 设 AE=x, ∵∠BAC=120°,∴∠EAB=60°.
4



AE x 1 = = , BE 3x 3

在 Rt△AEF 与 Rt△BEC 中, ∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C, ∴△AEF∽△BEC,∴ = . ∴AF=4× 1 4 3 = . 3 3

AF AE BC BE

三、解答题 11.如图所示,AD、BE 是△ABC 的两条高,DF⊥AB,垂足为 F,直线 FD 交 BE 于点 G,交

AC 的延长线于 H,求证:DF2=GF·HF. 导学号 25402770

[证明] 在△AFH 与△GFB 中, 因为∠H+∠BAC=90°, ∠GBF+∠BAC=90°, 所以∠H=∠GBF. 因为∠AFH=∠GFB=90°,所以△AFH∽△GFB. 所以 =

HF AF ,故 AF·BF=GF·HF. BF GF

因为在 Rt△ABD 中,FD⊥AB, 由射影定理,得 DF =AF·BF. 故 DF =GF·HF. 12.如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,DF⊥AC 于 F,DE⊥AB 于 E,求证:
2 2

AD3=BC·BE·CF. 导学号 25402771

[证明] 在 Rt△ABC 中,因为 AD⊥BC, 所以 AD =BD·DC,且 AD·BC=AB·AC. 在 Rt△ABD 和 RtADC 中, 因为 DE⊥AB,DF⊥AC,
5
2

由射影定理,得 BD =BE·BA,DC =CF·AC. 所以 BD ·DC =BE·BA·CF·AC =BE·CF·AD·BC=AD . 所以 AD =BC·BE·CF. B 组 能力提升 1.如图,AD 是△ABC 的中线,E 是 CA 边的三等分点,BE 交 AD 于点 F,则 AF∶FD 为 导学号 25402772 ( )
3 4 2 2

2

2

A.2∶1 C.4∶1 [答案] C

B.3∶1 D.5∶1

[解析] 要求 AF∶FD 的比, 需要添加平行线寻找与之相等的比. 注意到 D 是 BC 的中点, 1 1 可过 D 作 DG∥AC 交 BE 于 G, 则 DG= EC.又 AE=2EC, 故 AF∶FD=AE∶DG=2EC∶ EC=4∶1. 2 2 2.如图,M 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点,直线 l 过点 M 分别交 AD、AC 于点 E、F, 交 CB 的延长线于点 N.若 AE=2,AD=6,则 =________. 导学号 25402773

AF AC

[答案]

1 5

[解析] 因为 AD∥BC,所以△AEF∽△CNF,所以 = , 所以

AF AE CF CN

AF

AF+CF AE+CN



AE

.

因为 M 为 AB 的中点,所以 = 所以 AE=BN,所以 =

AE AM =1, BN BM

AF AF AE AE = = . AC AF+CF AE+BN+BC 2AE+BC AF 2 1 = . AC 2×2+6 5

因为 AE=2,BC=AD=6,所以 =

3.如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为点 D,且 AD=2,AC=2 5,则圆 O 的内接 正方形的面积为________. 导学号 25402774
6

[答案] 50 [解析] 由题意可得△ADC∽△ACB,由相似三角形中对应边成比例可得 =

AB AC ,即 AB= AC AD

AC2 ?2 5?2 2 2 2 = =10.设圆 O 的内接正方形的边长为 x,则由勾股定理得 x +x =AB =100,所 AD 2
以圆 O 的内接正方形的面积为 x =50. 4.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上,
2

AE= AC,BD= AB,且 CF= BC. 导学号 25402775

1 3

1 3

1 3

求证:(1)EF⊥BC; (2)∠ADE=∠EBC. [证明] 设 AB=AC=3a, 则 AE=BD=a,CF= 2a. (1) =

CE 2a 2 CF 2a 2 = , = = . CB 3 2a 3 CA 3a 3

又∠C 为公共角,故△BAC∽△EFC, 由∠BAC=90°得∠EFC=90°,故 EF⊥BC. (2)由(1)得 EF= ·AB= 2a, 故

FC AC

AE a 2 AD 2a 2 = = , = = , EF 2 BF 2 2a 2 2a AE AD = , EF BF



∴△ADE∽△FBE, 所以∠ADE=∠EBC. 5.(2015·东北三省三校第一次联合模拟)如图,PA、PB 是圆 O 的两条切线,A、B 是切 点,C 是劣弧 AB(不包括端点)上一点,直线 PC 交圆 O 于另一点 D,Q 在弦 CD 上,且∠DAQ=

7

∠PBC. 导学号 25402776

求证:(1) = ; (2)△ADQ∽△DBQ. [证明] (1)因为 PB 是切线,所以∠PBC=∠BDC,又∠BPC=∠DPB, 所以△PBC∽△PDB,所以 = 又因为 PA=PB,所以 =

BD BC AD AC

BD PD AD PD ,同理 = . BC PB AC PA

BD AD BD BC ,即 = . BC AC AD AC

(2)连接 AB.因为∠BAC=∠PBC=∠DAQ,∠ABC=∠ADQ, 所以△ABC∽△ADQ,即 =

BC DQ BD DQ ,故 = . AC AQ AD AQ

又因为∠DAQ=∠PBC=∠BDQ,所以△ADQ∽△DBQ.

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