2019届高三数学高考备考《极坐标与参数方程》专题复习建议

2019 届高三数学高考备考《极坐标与参数方程》专题复习建议 极坐标与参数方程为高考选考内容之一,主要考查直线与圆的极坐标方程,考查直线、圆、椭圆的参 数方程,考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化, 考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立,考查参数方程与极坐标方程的直接应用,如极坐标系 下两点间距离的求解等,交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性 质等。 高考对极坐标与参数方程的题量、考查难度都相对稳定。一道解答题,位于 22 题,满分 10 分;考查 难度定位中等偏易,是考生容易突破的一道题目。试题分设两问,第一问考查内容多为“互化”,第二问 考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中 ? ,? 的几何意义解决问题,内容涉及距离、 面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说,本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后,均 可用解析几何的相关知识加以解决,但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查。 随着新课标的实施,2018 年考查了圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识。考查运算求解 能力,考查数形结合思想、划归与转化思想等,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算。 近 5 年本部分内容考查情况如下: 年份 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 题序 23 23 23 22 22 考查内容 参数方程与普通方程的互化 直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化 直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程 与普通方程的互化 参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系 一、存在的问题及原因分析 (一)对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位 【例 1】直线 l 的参数方程为 ? 间的距离是 A. t1 B. 2 t1 C. 2 t1 D. ?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之 ?y ? b ?t 2 t1 2 【解析】∵ l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则 P 1 (a ? t1 , b ? t1 ) , ∴P 1P 2 ? (a ? t1 ? a)2 ? (b ? t1 ? b) 2 ? 2t 2 ? 2 t1 ,故选 C. l 上的点 P1 对应的参数是 t1 【评析】 易错选为 A.为什么错?因为所给的直线 l 的参数方程不是标准式, 1 ? 2t ?x ? a ? ? 2 并没有参数的几何意义.化成标准式 ? ,也可以看出答案为 C. 2 t ?y ? b ? ? 2 ? 【 例 2 】 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? ? ? x ? ?2 ? t , (t为参数 ) . 直 线 与 曲 线 ? ? y ? 2 ? 3t C : ( y ? 2)2 ? x2 ? 1交于 A, B 两点.求 | AB | 的长; 1 ? x ? ?2 ? t ' ? ? 2 ? ? x ? ?2 ? t (t为参数) 化为标准的参数方程 ? 【解析】把直线 l 的参数方程 ? ( t ' 为参数) ? ? y ? 2 ? 3t ? y ? 2 ? 3 t' ? 2 ? 代 入 曲 线 C: ? y ? 2 ?2 ? x 2 ? 1, 整 理 得 t '2 ?4t '?10 ? 0 , 所 以 t1 '?t 2 ' ? ?4, t1 ' t 2 ' ? ?10 , 所 以 AB ? t1 '?t 2 ' ? (t1 '?t 2 ' ) 2 ? 4t1 ' t 2 ' ? 2 14 . 【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清,由点 A, B 对应的参数分别 为 t1 , t2 错误得到 | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 14 . 当直线的参数方程非标准式时,其参数并不具有距离 ? x ? x0 ? at 的几何意义,只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时,| t | 才表示距离.一般地,直线 ? (t ? y ? y0 ? bt 表示参数),当 a 2 ? b 2 ? 1 时, | t | 表示点 p( x, y ) 到点 P(x0 , y0 ) 的距离. ? x ? 1+t cos ? , 【例 3】在直角坐标系 xOy ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 是参数).在以 O 为极点, x 轴正 ? y ? t sin ?. 半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C : ? ? 4cos? ,若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,设 P(1, 0),且 PA ? PB ? 1 ,求直线 l 的倾斜角. ? x ? 1 ? t cos? 【解析】直线 l 为经过点 P (1, 0) 倾斜角为 ? 的直线,由 ? 代入 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,整理得 ? y ? t sin ? 2 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 , ? ? (2cos ? ) ? 12 ? 0 , 设 A , B 对 应 的 参 数 分 别 为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ? 2cos ? , t1 ? t2 ? ?3 ? 0 , 所以 t1 , t 2 异号, 则 || PA | ? | PB ||?| t1 ? t2 |?| 2cos ? |? 1 ,所以 cos ? ? ? ,又 ? ? [0, π) 所 以直线 l 倾斜角 ? ? 1 2 π 2π . 或 3 3 【评析】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数 t 的几何意义认识不到位所致, | t | 表示距离, t 是包含符号的,由于本题中, A , B 在 P 点的两侧, t1 ,t2 异号,故 || PA |

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