2015-2016学年高中数学 1.1第2课时 余弦定理练习 新人教A版必修5


2015-2016 学年高中数学 1.1 第 2 课时 余弦定理练习 新人 A 教版必 修5

一、选择题 1.在△ABC 中,a=3,b= 7,c=2,那么 B 等于( A.30° C.60° [答案] C B.45° D.120° )

a2+c2-b2 9+4-7 1 [解析] cosB= = = , 2ac 12 2
∴B=60°. 2.在△ABC 中,已知 a=1,b=2,C=60°,则边 c 等于( A. 3 C.3 [答案] A [ 解析 ] 由余弦定理,得 c = a + b - 2abcosC = 1 + 4 -2×1×2×cos60°= 1 + 4 -
2 2 2

)

B. 2 D.4

1 2×1×2× =3, 2 ∴c= 3. 3.在△ABC 中,若 a<b<c,且 c <a +b ,则△ABC 为( A.直角三角形 C.钝角三角形 [答案] B [解析] ∵c <a +b ,∴∠C 为锐角. ∵a<b<c,∴∠C 为最大角,∴△ABC 为锐角三角形. π 4.在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=( 4 A. 10 10 B. D. 10 5 5 5 )
2 2 2 2 2 2

)

B.锐角三角形 D.不存在

3 10 C. 10 [答案] C

[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理.

1

π 2 2 2 由余弦定理,得 AC =AB +BC -2AB×BC·cos 4 =2+9-2× 2×3× 2 =5.∴AC= 5. 2

由正弦定理,得 = , sinB sinA

AC

BC

∴sinA=

BCsinB = AC



2 2 3 10 = . 10 5
2 2 2

5.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3ac,则角

B 的值为(
π A. 6

) π B. 3 π 2π D. 或 3 3

π 5π C. 或 6 6 [答案] D [解析] 依题意得, ∴sinB=

a2+c2-b2 3 ·tanB= , 2ac 2

3 π 2π ,∴B= 或 B= ,选 D. 2 3 3 )

6.如果等腰三角形的周长是底边边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( 5 A. 18 C. 3 2 3 B. 4 7 D. 8

[答案] D [解析] 设等腰三角形的底边边长为 x,则两腰长为 2x(如图), 由余弦定理得 4x +4x -x 7 cosA= = , 2·2x·2x 8 故选 D. 二、填空题 7.(2015·天津理,13)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 1 的面积为 3 15 ,b-c=2,cos A=- , 则 a 的值为______. 4 [答案] 8
2 2 2

2

[解析] 因为 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos A= 1 15 又 S△ABC= bcsin A= bc=3 15, 2 8 ∴bc=24,解方程组?
? ?b-c=2, ? ?bc=24

2

15 , 4

得 b=6,c=4,由余弦定理得 a =b +c -2bccos A

2

2

2

? 1? 2 2 =6 +4 -2×6×4×?- ?=64,所以 a=8. ? 4?
8.在△ABC 中,若 a=5,b=3,C=120°,则 sinA=________. [答案] 5 3 14
2 2 2

[解析] ∵c =a +b -2abcosC =5 +3 -2×5×3×cos120°=49, ∴c=7.
2 2

a c asinC 5 3 故由 = ,得 sinA= = . sinA sinC c 14
三、解答题 1 9.在△ABC 中,已知 sinC= ,a=2 3,b=2,求边 c. 2 1 [解析] ∵sinC= ,且 0<C<π , 2 π 5π ∴C 为 或 . 6 6 π 3 当 C= 时,cosC= , 6 2 此时,c =a +b -2abcosC=4,即 c=2. 5π 3 当 C= 时,cosC=- , 6 2 此时,c =a +b -2abcosC=28,即 c=2 7. 10.(2015·新课标Ⅱ文,17)△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. sinB (1)求 ; sinC (2)若∠BAC=60°,求∠B. [解析] (1)由正弦定理得 = , = ,因为 AD 平分∠BAC,BD sinB sin∠BAD sinC sin∠CAD sinB DC 1 =2DC,所以 = = . sinC BD 2
3
2 2 2 2 2 2

AD

BD

AD

DC

(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B), ∠BAC=60°, 所以 sinC=sin(∠BAC+∠B)= 1 3 cosB+ sinB,由(1)知 2sinB=sinC,所以 tanB= ,∠B=30°. 2 3

3 2

一、选择题 11.在△ABC 中,若 AB= 3-1,BC= 3+1,AC= 6,则 B 的度数为( A.30° C.60° [答案] C [解析] ∵cosB=
2

)

B.45° D.120°

AB2+BC2-AC2 2AB·BC
2 2



? 3-1? +? 3+1? -? 6? 2? 3-1?? 3+1?

1 = ,∴B=60°. 2 )

→ → 12.在△ABC 中,已知 AB=3,AC=2,BC= 10,则AB·AC等于( 3 A.- 2 2 C. 3 [答案] D 2 B.- 3 3 D. 2

→ → → → → → [解析] ∵AB·AC=|AB|·|AC|·cos<AB,AC>,由向量模的定义和余弦定理可以得出 → → → → AB +AC -BC 1 |AB|=3,|AC|=2,cos<AB,AC>= = . 2AB·AC 4 1 3 → → 故AB·AC=3×2× = . 4 2 13.在△ABC 中,已知 AB=3,BC= 13,AC=4,则边 AC 上的高为( 3 2 A. 2 3 C. 2 [答案] B [解析] 如图,在△ABC 中,BD 为 AC 边上的高,且 AB=3,BC= 13,AC=4.∵cosA 3 3 B. 2 D.3 3 )
2 2 2

4

3 +4 -? 13? 1 = = , 2×3×4 2

2

2

2

∴sinA=

3 . 2 3 3 3 = . 2 2

故 BD=AB·sinA=3×

14.△ABC 的三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,设向量 p=(a+c,b),q= (b-a,c-a),若 p∥q,则 C 的大小为( π A. 6 π C. 2 [答案] B [解析] ∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q, ∴(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, 即 a +b -c =ab. 由余弦定理,得
2 2 2

) π B. 3 2π D. 3

a2+b2-c2 ab 1 cosC= = = , 2ab 2ab 2
π ∵0<C<π ,∴C= . 3 二、填空题 15. 在△ABC 中, 已知 sinA?sinB?sinC=4?5?6, 则 cosA?cosB?cosC=________. [答案] 12?9?2 [解析] 4?5?6, 令 a=4k,b=5k,c=6k(k>0), 由余弦定理得 25k +36k -16k 3 cosA= = , 2×5k×6k 4
2 2 2

由正弦定理,得

a
sinA



b
sinB



c
sinC

, 得 a?b?c = sinA?sinB?sinC =

5

9 1 同理可得 cosB= ,cosC= , 16 8 3 9 1 故 cosA?cosB?cosC= ? ? =12?9?2. 4 16 8 16.(2015·广东理,11)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 3,sin

B= ,C= ,则 b=________.
[答案] 1 1 π 5π π π [解析] 因为 sin B= 且 B∈(0,π ),所以 B= 或 B= ,又 C= ,所以 B= , 2 6 6 6 6

1 2

π 6

A=π -B-C=

2π a b 3 b ,又 a= 3,由正弦定理得 = 即 = ,解得 b=1. 3 sin A sin B 2π π sin sin 3 6

三、解答题 1 17.△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=2,c=3,cosB= . 4 (1)求边 b 的值; (2)求 sinC 的值.

[解析] (1)由余弦定理,得 b =a +c -2accosB 1 =4+9-2×2×3× =10, 4 ∴b= 10. 1 15 (2)∵cosB= ,∴sinB= . 4 4 15 3× 4 csinB 3 6 由正弦定理,得 sinC= = = . b 8 10 7 18.设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 a+c=6,b=2,cosB= . 9 (1)求 a、c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. [解析] (1)由余弦定理,得 b =a +c -2accosB,b =(a+c) -2ac(1+cosB), 7 又已知 a+c=6,b=2,cosB= ,∴ac=9. 9 由 a+c=6,ac=9,解得 a=3,c=3.
2 2 2 2 2

2

2

2

6

7 (2)在△ABC 中,∵cosB= , 9 ∴sinB= 1-cos B=
2

4 2 . 9

由正弦定理,得 sinA=

asinB 2 2 = , b 3

1 2 ∵a=c,∴A 为锐角,∴cosA= 1-sin A= . 3 10 2 ∴sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB= . 27

7


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