甘肃省民乐一中2014-2015学年高三第一次诊断考试数学(理)试卷

民乐一中 2014——2015 学年高三年级第一次诊断考试 数学试卷(理科)
命题人:赵思博 林志军

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? ?2}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 CU ( A A. {x | ?2 ? x ? 1} 2.函数 f ( x) ? A. (? ,??) B. {x | x ? 1} C. {x | ?2 ? x ? 1} )

B) ? (



D. {x | x ? ?2}

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是(
B. (? ,1)

1 3

1 3

C. ( ? , ) )

1 1 3 3

D. (??,? )

1 3

3.“ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的( A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ) D. y ? lg | x |

4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( A. y ?

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1
2

5.函数 f ( x ) ? log 2 x ? A. (0,1) 6.设函数 f ( x) ? ? A.[-1,2]

1 的一个零点落在下列哪个区间( x
B. (1,2) C. (2,3)

) D. (3,4) )

?21? x , ( x ? 1) ?1 ? log 2 x, ( x ? 1)
B.[0,2]

,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是( C.[0,+ ? ]

D.[1,+ ? ] )

7.函数 f ( x) ? log3 x 在区间 ?a, b? 上的值域为 ?0,1? ,则 b ? a 的最小值为( A.2 B.1 C.

1 3

D.

2 3

高三第一次诊断考试数学试卷(理科) ·第 1 页· 共 1 页

?a x , (x ? 1) ? 8.已知 f (x ) ? ? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 ( a (4 ? ) x ? 2, ( x ? 1) ? ? 2
A.(1,+∞) B.(1,8) C.(4,8) D.[4,8)

)

9. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在 (??,0] 上是增函数 , a ? f ?log4 7? , b ? f (log1 3) ,
2

,d c ? f (2 2 ) ,则 a, b, c的大小关系是(
A. c ? a ? b B. c ? b ? a )

) C. b ? c ? a D. a ? b ? c

10.函数 y ? 2 x ? x 2 的图象大致是(

11.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 f (1) ? 1, f ?(1) ? 1, 则 f ( x) ? x 的解集是( A. (0,1) 12.函数 y ? ( A. 2 ) B. 4 C. 6 D. 8 B. ( ? 1,0) ? (0,1) C. (1,??)



D. (??,?1) ? (1,??)

1 的图像与函数 y ? 2 sin ?x (?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 x ?1

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 切于点 (1,3) , 则 b 的值为
3

。 。 。 。

14. 已知幂函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x
2

?5m?3

在 (0,??) 上是增函数, 则m?

15. 若函数 y ? loga ( x2 ? ax ? 2) 在区间 ? ??,1? 上为减函数, 则 a 的取值范围是 16. 当 x ?[?2,1] 时, 不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立, 则实数 a 的取值范围是
3 2

高三第一次诊断考试数学试卷(理科) ·第 2 页· 共 2 页

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤, 写在答题纸的相应位置. 17. (本小题满分 12 分)已知 c ? 0 ,设命题 p :函数 y ? c x 为减函数.命题 q :当 x ? ? ,2? 2 时,函数 f ( x ) ? x ? 围.

?1 ? ? ?

1 1 ? 恒成立.如果“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 c 的取值范 x c

18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : ?8 ? x ? 4 ,命题 q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) 。若

? p 是 ? q 的 必 要 而 不 充 分 条 件 ,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)已知函数 y ? ? x ? ax ?
2

a 1 ? 在区间 ?0,1? 上的最大值是 2,求实数 a 4 2

的值.

20. (本小题满分 12 分)函数 f ? x ? ? (1)确定函数 f ?x ? 的解析式;

ax ? b ?1? 2 是定义在 ?? 1,1?上的奇函数,且 f ? ? ? . 2 1? x ?2? 5

(2)用定义法证明函数 f ?x ? 在 ?? 1,1?上是增函数; (3)解不等式 f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 0 .

21. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ?

(1)求函数 y ? f ? x ? 的单调区间;
2

1 ? ln x . x

(2)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? 2 x ? k 有实数解,求实数 k 的取值范围; (3)当 n ? N * , n ? 2 时,求证: nf (n) ? 2 ?

1 1 1 . ? ? ??? ? 2 3 n ?1

高三第一次诊断考试数学试卷(理科) ·第 3 页· 共 3 页

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22 .(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,

F A

BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在
BA 的延长线上.
(1)若

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB
2

D

B

(2)若 EF

? FA ? FB ,证明: EF // CD .

E

C

23. (本小题满分 10 分) 选修 4—4:坐标系与参数方程 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ( ? 为参数) , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ? y ? 10 sin ? ?

? ? 2 cos? ? 6 sin ? .
(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

? ,求 a 的值.

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民乐一中 2014——2015 学年高三年级第一次诊断考试 数学试卷(理科)答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 B 15. 6 C 7 D 8 D 9 B 16. 10 A 11 C 12 D

二、填空题: 13. 3 14. -1 三、解答题: 17. 解:由命题 p 为真知,0<c<1, 1 5 由命题 q 为真知,2≤x+ ≤ , x 2 1 1 要使此式恒成立,需 <2,即 c> , c 2

2?a?3

? 6 ? a ? ?2

……………………6 分

若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题, 则 p、q 中必有一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ; 2 当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1. 1 ? ? 综上可知,c 的取值范围是?c|0<c≤2或c≥1?.
? ?

……………………12 分

18. 解 : 记 A ? ?x | ?8 ? x ? 4? 由 x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) , 得

? 1 ? m ? x ? ?1 ? m
……………………5 分

记 B ? ?x | ?1 ? m ? x ? ?1 ? m, m ? 0? ∵ ?p 是 ?q 的 必 要 不 充 分 条 件 ,

? ?1? m ? 4 ? ∴ p 是 q 的 充 分 不 必 要 条 件 , 即 A ? B ,又 m ? 0 , 则 只 需 ?? 1 ? m ? ?8 ? ? m?0 ?
解 得 m ? 7 , 故 所 求 实 数 m 的 取 值 范 围 是 [7,??) 19. a ? ?6或a ? .……………………12 分

10 3

a a a2 a 1 f ( x ) ? ?( x ? ) 2 ? ? ? ,对称轴 x ? 2 2 4 4 2
高三第一次诊断考试数学试卷(理科) ·第 5 页· 共 5 页

(1)

a 1 a ? 0 即 a ? 0 时, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递减, f ( x) max ? f (0) ? ? ? ? 2 4 2 2
……………4 分

此时可得 a ? ?6 (2) 0 ?

a a a2 a 1 ? 1 即 0 ? a ? 2 时, f ( x) max ? f ( ) ? ? ? ?2 2 2 4 4 2
……………8 分

此时可得 a ? ?2 或 a ? 3 ,与 0 ? a ? 2 矛盾,舍去。 (3)

a a 1 ? 1 即 a ? 2 时, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递增, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a ? ? ? 2 4 2 2 10 此时可得 a ? 3 10 综上所述: a ? ?6或a ? ……………12 分 3 ax ? b 20. 20(12 分).解: (1)由已知 f ? x ? ? 是定义在 ?? 1,1?上的奇函数, 1? x2 0?b ? 0, ? b ? 0 . ? f ?0? ? 0 ,即 1? 0

?1? 2 又? f ? ? ? ,即 ?2? 5
? f ?x ? ? x . 1? x2

1 a 2 2 ? ,? a ? 1 . 2 5 ?1? 1? ? ? ?2?
………………….4 分

(2) 证明:对于任意的 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,且 x1 ? x 2 ,则
2 x1 x2 x1 1 ? x 2 ? x 2 1 ? x12 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ? ? ? 2 2 1 ? x12 1 ? x 2 1 ? x12 1 ? x 2

?

?

?x1 ? x2 ? ? x1 x2 ?x2 ? x1 ? ?x1 ? x2 ??1 ? x1 x2 ?

?

?

??

?

?

?

?1 ? x ??1 ? x ?
2 1 2 2

?

?1 ? x ??1 ? x ?
2 1 2 2

? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,
2 ? x1 ? x2 ? 0, 1 ? x12 1 ? x2 ? 0,

?

??

?

? x1 x2 ? 1,?1 ? x1 x2 ? 0 .

? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 ,即 f ?x1 ? ? f ?x2 ? .
高三第一次诊断考试数学试卷(理科) ·第 6 页· 共 6 页

∴函数

f ?x ? ?

x 1 ? x 2 在 ?? 1,1?上是增函数.

……….8 分

(3) 由已知及(2)知, f ?x ? 是奇函数且在 ?? 1,1?上递增,

f ?x ? 1? ? f ? x ? ? 0 ? f ? x ? 1? ? ? f ?x ? ? f ? x ? 1? ? f ?? x ? ? ? ?? 1 ? x ? 1 ? 1 ? 0 ? x ? 2 1 ? ? ? ? ? 1 ? x ? 1 ? ?? 1 ? x ? 1 ? 0 ? x ? 2 ? x ?1 ? ?x ? x?1 ? ? 2 ? ?
? 1? ? 0, ? ? 2?.

∴不等式的解集为

………………….12 分

21 解:(1)

1 ? x ? (1 ? ln x) ln x 1 ? ln x x ? ,∴ ? f ( x) ? ?? 2 f ( x) ? 2 x x x
∴当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ; ∴函数 f ( x) 在区间(0,1)上为增函数;在区间 (1, ??) 为减函数 ………… 4 分

(2)由(1)得 f ( x) 的极大值为 f (1) ? 1 ,令 g ( x) ? x ? 2 x ? k ,
2

所以当 x ? 1 时,函数 g ( x) 取得最小值 g (1) ? k ? 1 , 又因为方程 f ( x) ? x ? 2 x ? k 有实数解,那么 k ? 1 ? 1 , 即 k ? 2 ,
2

所以实数 k 的取值范围是: k ? 2 . (3) 函数 f ( x) 在区间 (1, ??) 为减函数,而 1 ? ∴ ? f (1 ? ) ? f (1) ? 1

………… 8 分

1 ? 1(n ? N *, n ? 2) , n

1 n

∴ ?1 ? ln(1 ? ) ? 1 ?

1 n

1 n

,



ln(n ? 1) ? ln n ?

1 n

? ln n ? ln 2 ? ln1 ? ln 3 ? ln 2 ? ??? ? ln n ? ln( n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? 2 3 n ?1

高三第一次诊断考试数学试卷(理科) ·第 7 页· 共 7 页

1 1 1 ,而 n ? f (n) ? 1 ? ln n , ? ? ??? ? 2 3 n ?1 1 1 1 ∴nf (n) ? 2 ? ? ? ??? ? 结论成立. ? 2 3 n ?1 22. 证明: (1)? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,
即 1 ? ln n ? 2 ? 又? ?CED ? ?AEB , ? ?CED ∽ ?AEB ,

………… 12 分

?

EC ED DC ? ? , EA EB AB EC 1 ED 1 DC 6 ? , ? ,? . ? EB 3 EA 2 AB 6
2

?

………5 分

(2)? EF

? FA ? FB ,?

EF FB ? , FA FE

又? ?EFA ? ?BFE , ? ?FAE ∽ ?FEB , ? ?F E A? ?E B F, 又? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,

? ?FEA ? ?EDC ,? EF // CD
.………10 分

23.解: (1)由 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? 得 ? y ? 10 sin ? ?
2 2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10

∴ 曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2) ? y ? 10 ∵? ? 2 cos? ? 6 sin ?
2 2 2 2

∴? ? 2? cos? ? 6? sin ?
2 2 2 2

∵? ? x ? y , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ∴x ? y ? 2x ? 6 y ,即 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 10 ∴ 曲线 C 2 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 10
2 2

……………………5 分

(2)∵ 圆 C1 的圆心为 (?2,0) ,圆 C 2 的圆心为 (1,3) ∴ C1C 2 ? ∴ 两圆相交 设相交弦长为 d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 C1C2 ∴( ) ? (
2

(?2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 ? 2 10

d 2

3 2 2 ) ? ( 10) 2 2

∴d ?

22

……………………10 分

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24..解: . (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 . 由此可得 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 ?x | x ? 3或x ? ?1 ? ( 2) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组

x ? 3 或 x ? ?1 .

.………………5 分

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4
a 2

?x ? a ? ? a 或 x?? ? ? 2
a = ?1, 2
.………………10 分

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 故a ? 2

?,

由题设可得 ?

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