高二数学会考复习练习卷16

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1.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA 、 、 两两垂直,且 PA ? 3, PB ? 2, PC ? 1 .设 M PB PC 是底面 ABC 内一点,定义 f ( M ) ? ( m , n , p ) ,其中 m 、n 、 p 分别是三棱 锥 M ? PAB 、 三棱锥 M ? PBC 、三棱锥 M ? PCA 的体积.若 1 1 a f ( M ) ? ( , x , y ) ,且 ? ? 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为 2 x y ____1____.
A
1 1 解:由 f ( M ) ? ( , x , y ) ,得 x ? y ? 2 2

P

C M B

1 x

?

a y

? 2(

1 x

?

a y

)( x ? y ) ? 2(1 ? a ? 2 a ) ? 8

所以得, a ? 1

2. 已知函数 f ( x ) ? ( x ? 3 x ? 3) ? e 定义域为 ?? 2 , t ? ( t ? ? 2 ),设 f ( ? 2 ) ? m , f (t ) ? n .
2 x

(Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 ?? 2 , t ? 上为单调函数; (Ⅱ)求证: n ? m ; (Ⅲ)求证:对于任意的 t ? ? 2 ,总存在 x 0 ? ( ? 2 , t ) ,满足 样的 x 0 的个数.
f ( x0 ) e
x0 '

?

2 3

( t ? 1) ,并确定这
2

解: (1)易知: t ? 0 (2)若 t ? 0 时,由(1)得, f ( ? 2 ) ? f ( t ), 即 m ? n 若 t ? ( 0 ,1) 时,由 f (1) ? 3 ,而 f ( ? 2 ) ? 又有
13 e
2

13 e
2

?m

? e , f ( t ) ? f (1) ,所以 n ? e ?

13 e
2

?m 13 e
2

若 t ? [1, ?? ) ,同样 f ( t ) ? n ? f (1) ? e ?

?m

综上得, n ? m (3)当 ? 2 ? t ? 1 时,一个;当 1 ? t ? 4 时,两个;当 t ? 4 时,一个。 (不是很确定)

参考:(Ⅰ)解:因为 2 x x x f ?( x ) ? ( x ? 3 x ? 3) ? e ? (2 x ? 3) ? e ? x ( x ? 1) ? e …………………………………(2 分) 由 f ?( x ) ? 0 ? x ? 1或 x ? 0 ;由 f ?( x ) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ( ?? , 0), (1, ?? ) 上递增, 在 (0,1) 上递 减 …………………………………………………………………………………………(4 分) 欲 f ( x ) 在 ?? 2 , t ? 上为单调函数,则
? 2 ? t ? 0 ………………………………………………………(5 分) (Ⅱ)证:因为 f ( x ) 在 ( ?? , 0), (1, ?? ) 上递增,在 (0,1) 上递减,所以 f ( x ) 在 x ? 1 处取得

极小值 e (7 分)
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? e ,所以 f ( x ) 在 ? ? 2, ?? ? 上的最小值为 2 e f ( ? 2) …………………………………(9 分)

又 f ( ? 2) ?

13

从而当 t ? ? 2 时, f ( ? 2) ? f (t ) ,即 m ? n …………………………………………………………(10 分) (Ⅲ)证:因为
2

f ( x0 ) e
x0

'

? x 0 ? x 0 ,所以
2

f ( x0 ) e
x0

'

?

2 3

( t ? 1) 即为 x 0 ? x 0 ?
2

2

2 3 2

( t ? 1) ,
2

3 3 在 ( ? 2, t ) 上有解,并讨论解的个 数……………………………………………………………………(12 分) 因为 2 2 2 1 2 2 g ( ? 2) ? 6 ? ( t ? 1) ? ? ( t ? 2)( t ? 4) , g ( t ) ? t ( t ? 1) ? ( t ? 1) ? ( t ? 2)( t ? 1) , 3 3 3 3 所以 ①当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时, g ( ? 2) ? g ( t ) ? 0 ,所以 g ( x ) ? 0 在 ( ? 2, t ) 上有解,且只有一 解 ……(13 分) 2 2 ②当 1 ? t ? 4 时, g ( ? 2) ? 0且 g ( t ) ? 0 ,但由于 g (0) ? ? ( t ? 1) ? 0 , 3 所以 g ( x ) ? 0 在 ( ? 2, t ) 上有解,且有两 解 …………………………………………………………(14 分)

令 g ( x) ? x ? x ?

2

( t ? 1) ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) ? x ? x ?
2 2

( t ? 1) =0
2

③当 t ? 1 时, g ( x ) ? x ? x ? 0 ? x ? 0或 x ? 1 ,所以 g ( x ) ? 0 在 ( ? 2, t ) 上有且只有一 解;
2

当 t ? 4 时, g ( x ) ? x ? x ? 6 ? 0 ? x ? ? 2或 x ? 3 ,
2

所以 g ( x ) ? 0 在 ( ? 2, 4) 上也有且只有一 解…………………………………………………………(15 分) 综上所述, 对于任意的 t ? ? 2 ,总存在 x 0 ? ( ? 2 , t ) ,满足
f ( x0 )
x0 '

e 3 且当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时,有唯一的 x 0 适合题意;当 1 ? t ? 4 时,有两个 x 0 适合题

?

2

( t ? 1) ,
2

意…………(16 分)

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