数列教学中数学思想方法的挖掘与渗透

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 数列教学中数学思想方法的挖掘与渗透 作者:周文汇 来源:《中学教学参考· 理科版》2016 年第 06 期 [摘 要] 数列作为高中数学的重要内容,在高考中占有很大的比重.教师在教学数列知识 时,要认真挖掘与渗透数列中的数学思想方法,并以这些数学思想方法为指导,引导学生分 析、解决数列问题,从而达到事半功倍的教学效果. [关键词] 高考数学 数列 数学思想方法 [中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058(2016)17 0057 数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识.数学方法是数学思想的具体化形式.实 际上,这两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题,所以通常被混称为数学思想 方法.常见的四大数学思想方法有函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合.数学思想方 法是数学学习和研究的核心和灵魂.数列中蕴涵了许多重要的数学思想方法,在数列教学中注 重数学思想方法的挖掘与渗透具有十分重要的意义. 一、函数与方程思想 1.函数思想 数列是一类特殊的函数,数列中的好多问题都可以转化为函数问题.函数思想是用联系和 变化的观点考查数学对象.以函数的观点认识、理解数列,是解决数列问题的有效方法. 【例 1】 (2013· 全国卷Ⅱ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0, S15=25,则 nSn 的最小值为 . 解析: 设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 很容易求得 Sn=-3n+ n(n-1) 2 ×2 3 = 1 3 n2- 10 3 n . 令 f(n)=nSn,则 f(n)= 1 3 n3- 10 3 n2. 然后,利用导数判断函数的单调性,可知当 n= 20 3 时,f(n)取最小值,而 n∈ N+ ,f (6)=-48,f(7)=-49,所以当 n=7 时,f(n)min=-49. 2.方程思想 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 等差、等比数列共涉及五个基本量.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、 求和公式及性质构造方程(组),是解决数列问题的基本方法. 【例 2】 (2015· 安徽,理 14)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数 列{an}的前 n 项和等于 . 解析: 由题意得 a1+a4=9 a2· a3=a1· a4=8 ,解得: a1=1a4=8 或 a1=8a4=1 . 而数列{an}是递增的等比数列,所以 a1=1a4=8 ,即 q3= a4 a1 =8 ,所以 q=2,可求得数列前 n 项和为 Sn=2n-1. 二、分类讨论的思想 对于复杂的问题,我们一般无法一次性解决,常需分类讨论,化整为零,各个击破.数列 中蕴含着丰富的需要分类讨论的问题,如对等比数列中公比的讨论. 【例 3】 (2015· 山东,理 18)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn=3n+3. (1)求{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解析: (1)an= 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 3,n=13n-1,n>1 . (2)因为 anbn=log3an, 当 n>1 时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n ,所以 Tn=b1+b2+b3+…+bn= 1 3 +[1×3-1+2× 3-2+…+(n-1)31-n], 所以 3Tn=1+[1× 30+2× 3-1+…+(n-1)32-n], 两式相减,得 2Tn= 2 3 +[30+3-1+…+32-n(n-1)· 31-n]= 2 3 + 1-31-n 1-3-1 -(n-1)· 31-n = 13 6 6n+3 2× 3n . 所以 Tn= 13 12 - 6n+3 4× 3n . 经检验,当 n=1 时,T1=b1= 1 3 满足 Tn= 13 12 - 6n+3 4× 3n . 综上可得:Tn= 13 12 - 6n+3 4× 3n . 三、转化与化归思想 将研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象,将其变为熟悉的或者已经解决过 的数学模式.或者从整体着眼,通过问题的整体形式、整体结构或其他整体处理后,达到解题 的目的. 【例 4】 (2014· 全国卷Ⅱ,理 17)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. (1)证明{an+ 1 2 }是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)证明: 1 a1 + 1 a2 +…+ 1 an < 3 2 . 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 解析: (1)由 an+1=3an+1,得 an+1+ 1 2 =3(an+ 1 2 ). 又 a1+ 1 2 = 3 2 ,所以数列{an+ 1 2 }是首项为 3 2 ,公比为 3 的等比数列, 所以 an+ 1 2 = 32× 3n-1= 3n 2 , 所以 an= 3n-1 2 . (2)略. (责任编辑 钟伟芳)

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