三台县芦溪中学2011级高二上第一学月月考题


三台县芦溪中学 2011 级高二(上)第一学月月考 数 学 试 题

命题人:邓少奎
本试卷分试题卷和答题卷两部分。第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 全卷满分 100 分。考试时间:100 分钟。答案写在答题卷上。

第 1 卷(选择题)
一、选择题(本题有 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分) 1. “ ”是“ 且 ”的 ( )

A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

2、若 a、 b、 c ? R 且 a ? b ,则下列不等式中一定成立的是( A. a ? b ? b ? c
x ?4
2

B. ac ? bc

C.

c

2

a?b

?0

D. ( a ? b ) c 2 ? 0

3.不等式

x ?1

≤0

的解集是(



A. ( ? ? , ? 2 ] ? ( ? 1, 2 ) C. ( ? ? , ? 2 ] ? [ ? 1, 2 )

B. [ ? 2, ? 1] ? [2, ? ? ) D. ( ? ? , ? 2 ] ? ( ? 1, 2 ] )
a?b 2 ? ab ?b

4、已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式成立的是( A. a ?
a?b ? ab ? b ?b ? ab

B. a ? b ? D. a ?
1 2

C. a ?

2 a?b 2

ab ?

a?b 2

5、已知 0 ? a ? 1 , x ? lo g a 2 ? lo g a 3 , y ? 则( ) B. z ? y ? x

lo g a 5

, z ? lo g a 2 1 ? lo g a 3 ,

A. x ? y ? z

C. y ? x ? z

D. z ? x ? y

高一数学月考试卷第 1 页(共 8 页)

6、不等式 3 x ? 1 ? 2 x ? 3 的解集( A. ? B. R
? ?


1 3 ? x? 2? ? 5?

C. ? x ?

D. ? x ? 4 ? x ?
?

?

2? ? 5?

7. 若 x ? 0, y ? 0, 且 x ? y ? 5, 则 lg x ? lg y 的最大值是 A、 lg 5 8、不等式 x ? 1 ? B、 2 ? 4 lg 2
2 x

( D、不存在

)

C、 lg )

5 2

的解集是(

A. { x x ? ? 2 或 x ? 1} C. { x ? 2 ? x ? 1} 9、函数 f ( x ) ?
8x x ?2
2

B. { x x ? ? 2 且 x ? 0} D. { x ? 2 ? x ? 0 或 x ? 1}

( x ? 0)

( 8 3

) 8 3

A、当 x ? 2 时,取得最小值 C、当 x ?

B、当 x ? 2 时,取得最大值 D、当 x ?

2

时,取得最小值 2 2
?
2 ?? ? ? ?

2

时,取得最大值 2 2 ( )

10、若角 ? , ? 满足 ?
A

?
2

,则 ? ? ? 的取值范围是
C (?

( ?? , ? )

B ( ?? ,0 )

3? 2

,

?
2

)

D (0, ? )

11、设 M ? ( a ? 1)( a 2 ? 是( )

a 2

? 1), N ? ( a ?

1 2

)( a ? a ? 1)
2

,则 M 与 N 的大小关系

A. M ? N

B. M ? N
1 a?b ?

C. M ? N
1 b?c ? k a?c

D.不确定 恒成立的最大的正整数 k D、5 成立,则

12.(文科)若 a ? b ? c ,则使 为( ) A、2
2

B、3
?1

C、4
1 2

(理科)若函数 f ( x ) ? lo g a 实数 a 的取值范围是( A、 0 ? a ? 1 C、 ? 2 ? a ? ? 1 或 1 ? a ?

( 2 x ? 1) 在区间 ( ?

, 0 ) 内恒有 f ( x ) ? 0

) B、 a ? 1
2

D、 a ?

2

或a ? ? 2

高一数学月考试卷第 2 页(共 8 页)

第Ⅱ卷 (主观题) (满分 52 分)
二、填空题(本题有 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分) 13.不等式 2
x ?2 x?4
2

?

1 2

的解集为



14. 已知集合 A ? ?x | x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ? 0 ?,B= ?x | x 2 ? ax ? b ? 0 ? ,且
A ? B ? ?x | x ? 2 ? 0 ? ,且 A ? B ? ?x | 1 ? x ? 3? ,那么 a ? b ? ___;

15. 不等式 lo g 2 ( x 2 ? 4 ) ? 3 的解集是 16.(文科) 若函数 f(x) =
2
x ? 2 ax ? a
2


? 1 的定义域为 R, a 则
1 x ? 2 y

的取值范围为_____.

(理科)已知 x , y ? R ? 且 x+y=4,求
4 x+y=4 得, ?

的最小值。某学生给出如下解法:由
1 x ? 2 y ? 2 2 xy

2

xy

①, 即

1 xy

?

1 2

②, 又因为

③, 由②③得

1 x

?

2 y

?

2

④ , 即 所 求 最 小 值 为

2

⑤ 。 请 指 出 这 位 同 学 错 误 的 原 因

___________________________。 三、解答题(本题有 4 个小题,每小题 10 分,共 40 分) 17.(本题满分 10 分)已知 a ? 0, b ? 0 ,比较
a 3 ? 2 3 b与 1 3 a ? 2 3 b

的大小

18. (本题满分 10 分)设 a、 b ? R ? 且 a ? b ? 3, 求证 1 ? a ? 1 ? b ? 1 0

高一数学月考试卷第 3 页(共 8 页)

19、(本题满分 10 分)围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一 面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上 要留一个宽度为 2m 的进出口, 如图所示, 已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙 的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位: 元), 修建此矩形场地围墙 的总费用为 y(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

2

20、(本题满分 10 分) (文科)已知函数 f ( x ) ?
f ( x ) ? x ? 12 ? 0

x

2

ax ? b

( a、 b 为常数)且方程

有两个实根为 x1 ? 3, x 2 ? 4.

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式; (理)解关于 x 的不等式:
( m ? 1) x ? 2
2

f (x) ?

( k ? 1) x ? k 2? x

.

mx ?1

? x (其 中 m ? 0 )

高一数学月考试卷第 4 页(共 8 页)

三台县芦溪中学 2011 级高二(上)第一学月月考数学答案
1、选 A【解析】易得 a ? b 且 c ? d 时必有 a ? c ? b ? d .若 a ? c ? b ? d 时,则可能有
a ? d且c ? b 。

2、选 D

略解:∵ a、 b、 c ? R 且 a ? b
x ?4
2

∴ ( a ? b ) ? 0, c 2 ? 0 ? ( a ? b ) c 2 ? 0 或 ?1 ? x ? 2

3、选 D 略解:

? ( x ? 2 )( x ? 2 )( x ? 1) ? 0 ≤0? ? ? x ? ?2 x ?1 ?x ?1 ? 0

4、选 A 略解:∵ a ? b ? 0 易知 ∴
ab ? b ?
2

a?b 2 a ?

?

ab ?


ab ? b 1 2

∵ ab ? b 2 ? b ( a ? b ) ? 0

ab ? b



a?b 2

5、选 C 略解: x ? lo g a 2 ? lo g a 3 ? lo g a 6 , y ?
z ? lo g a 2 1 ? lo g a 3 ? lo g a 7

lo g a 5 ? lo g a

5



,∵ 0 ? a ? 1 , 5 ? 6 ? 7 ∴ y?x?z

∴ lo g a 5 ? lo g a 6 ? lo g a 7 6、选 B

略解:由 3 x ? 1 ? 2 x ? 3 得
2 5 ? x? R x? y 2 ) ?
2

3 x ? 1 ? 2 x ? 3 或 3 x ? 1 ? ? ( 2 x ? 3) ? x ? ? 4 或 x ?

7、选 B

略解:∵ x ? 0, y ? 0
x? y 2
2

x? y ?5

∴ xy ? (
100 16

25 4

又 lg x ? lg y ? lg ( xy ) ? lg ( 8、选 D 解略: x ? 1 ? 9、 D 略解:f ( x ) ? 选
2 x
8x

) ? lg

25 4

? lg

? 2 ? 4 lg 2

?

x ? x?2
2

? 0 ? x ( x ? 2 )( x ? 1) ? 0 ? ? 2 ? x ? 0 或 x >1
8 2 2

x
? 8 x? 2 x ? ( x ? 0) ? 2 2

x ?2
2

当且仅当 x ?

2 x

即x ?

2

时,取得最大值 2 2 10、选 B 略解:∵ ?
?
2 ?? ? ? ?

?
2

∴?

?
2

?? ?

?
2

,?

?
2

? ? ?

?
2

高一数学月考试卷第 5 页(共 8 页)

??

?
2

? ?? ?

?
2

,? ? ? ? 0

? ?? ? ? ? ? ? 0
2

略 解 : M ? N ? ( a ? 1)( a ?

a 2

? 1) ? ( a ?
2

1 2

)( a ? a ? 1)
2 2

11、选 A

? a ( a ? 1) ?
2

a

2

? ( a ? 1) ?
2

a 2

? a ( a ? 1) ? a ?

1 2

( a ? 1) ?
2

1 2

a

2 ? 1 2 ?0

?M ? N

12、(文)选 C 解:∵ a ? b ? c
且a ? c ? a ? b ? b ? c

∴ a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0

又 ∴

a?c a?b

b?c a?b a?c a?c k ? ? ?k ? 4 a?b b?c

?

a?c

?

a?b?b?c

?

a?b?b?c b?c

? 2?

b?c a?b

?

a?b b?c

? 2?2? 4

故 k 的最大整数为 4
1 ? 0 ? 2 x ?1 ?1

12、 (理)选 C 解:∵ x ? ( ? , 0)
2

∵ f ( x ) ? lo g a

2

?1

( 2 x ? 1) 在区
2

间 (?

1 2

, 0)

内恒有 f ( x ) ? 0 成立
x ?2 x?4
2

∴ 0 ? a2 ?1 ? 1
? 2
?1 2

? ? 2 ? a ? ? 1 或1 ? a ?

13、 [ ? 3,1] 2

?

1 2

? 2

x ?2 x?4

2

? x ? 2 x ? 4 ? ?1 ? ?3 ? x ? 1

14、-5 解:集合 A ? ? x
x ? 2 x ? x ? 2 ? 0 ? ? x ( x ? 2 )( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? ? ? x ? 2 ? x ? ? 1或 x ? 1?
3 2

?

∵ A ? B ? ?x | x ? 2 ? 0 ?

A ? B ? ?x | 1 ? x ? 3?

∴ B ? ? x ? 1 ? x ? 3?

故-1,3 是方程 x 2 ? a x ? b ? 0 的两根,∴ -1+3=- a 且-1×3= b ∴
a ? ?2 b ? ? , 3 ∴ a ? b ? ?5

15、 [ ? 2 3 , ? 2 ) ? ( 2, 2 3 ]
?x2 ? 4 ? 0 2 3 lo g 2 ( x ? 4 ) ? 3 ? lo g 2 2 ? ? 2 ? ?2 3 ? x ? ?2 略解: ?x ? 4 ? 8

或2 ? x ? 2 3
2

16、 (文)[ ? 1, 0 ] 略解:由题意得 2 x ∵x? R
? ? ( 2a ) ? 4 ? (a ?
2

2

? 2 ax ? a

?1 ? 0

即2x

2

? 2 ax ? a

? 1 ? x ? 2ax ? a ? 0 , 0

)? 0

? ? a ?1 ?

高一数学月考试卷第 6 页(共 8 页)

(理)两个等号不能同时取到
y ? 2x

略解:②中 x ? y 时取等号;

③中

1 x

?

2 y



时取等号

17、解:∵ a ? 0, b ? 0 ∴ (
a 3
2 9

?

2 3

b) ? (
2

1 3

a ?

2 3

b) ?
2

a 3

?

2 3 a 3

b?(

1 9

a?

4 9

b?

4 9

ab ) ?

2 9

(a ? 2 ab ? b)

?

( a ?

b) ? 0
2



(

?

2 3

b) ? (
2

1 3

a ?

2 3

b)

2



a 3

?

2

b 3

?

1 3

a

?

2 3

b

18、证法一: (综合法) ∵(
1? a ? 1 ? b ) ? 2 ? a ? b ? 2 (1 ? a ) ? (1 ? b ) ? 5 ? (1 ? a ? 1 ? b ) ? 1 0
2

∴ 1 ? a ? 1 ? b ? 10 证法二: (分析法)∵ a、 b ? R ? 且 a ? b ? 3, ∴欲证 1 ? a ? 1 ? b ? 1 0 即证 2 ? a ? b ? 2 只需证 (
1? a ? 1 ? b ) ? 10
2

(1 ? a ) ? (1 ? b ) ? 1 0

即证 2

(1 ? a ) ? (1 ? b ) ? 5

只需证 4 (1 ? a ) ? (1 ? b ) ? 即证 4 (1 ? a ? b ? a b ) ? ∵ ab ?
( a?b 2
2

25

只需证 4 (1 ? a ) ? (1 ? b ) ? 只需证 4 a b ? 9 即证 a b

25
? 9 4

25
9

) ?( ) ? 2 4
2

3

成立

∴ 1 ? a ? 1 ? b ? 1 0 成立

19、解: (1)如图,设矩形的另一边长为 a m 则
y

=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
360 x
高一数学月考试卷第 7 页(共 8 页)

由已知 xa=360,得 a=

,

所以 y=225x+

360 x

2

? 360( x ? 0)

.

(II)? x ? 0,? 2 2 5 x ?
2

360 x

2

? 2 225 ? 360

2

? 10800

? y ? 225 x ?

360 x

? 360 ? 10440

.当且仅当 225x=

360 x

2

时,等号成立.

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. . 20、 (文科)解: (1)将 x 1 ? 3 , x 2 ? 4 分别代入方程
? 9 ? ?9 ? 3a ? b ? 解得 ? ? 16 ? ?8 ? 4a ? b ?

x

2

ax ? b

? x ? 12 ? 0 得

2 ?a ? ?1 x , 所 以 f (x) ? ( x ? 2 ). ? 2?x ?b ? 2

(2)不等式即为

x

2

2? x 2? x 即 ( x ? 2 )( x ? 1)( x ? k ) ? 0 .

?

( k ? 1) x ? k

, 可化为

x ? ( k ? 1) x ? k
2

2? x

? 0

①当 1 ? k ? 2 , 解集为 x ? (1, k ) ? ( 2 , ?? ). ②当 k ? 2时 , 不等式为 ( x ? 2 ) ( x ? 1) ? 0 解集为 x ? (1, 2 ) ? ( 2 , ?? );
2

③ 当 k ? 2时 , 解集为 x ? (1, 2 ) ? ( k , ?? ) .
( m ? 1) x ? 2
2

(理科) 解:

mx ?1
1 m

? x?

mx ? x ? 2 ? mx ? x
2 2 2

mx ?1

?0?

x ?x?2
2

mx ?1

?0

? ( x ? 1)( x ? 2 )( x ?

) ? 0(m ? 0) 1 m

∵m ? 0 ①当 0 ? ②当
③当
1 m 1 m 1 m



比较 2 与
1 2 1 2

的大小,由 2 ?

1 m

?

2m ? 1 m

得解

? 2即 m ?

时,解集为 { x ? 1 ? x ?

1 m

或 x ? 2} ;

? 2即 m ?

时,解集为 { x x ? ? 1且 x ? 2} ;
1 2

? 2即 0 ? m ?

时,解集为 { x ? 1 ? x ? 2 或 x ?

1 m

}.

高一数学月考试卷第 8 页(共 8 页)


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