2010年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷(含答案)

2010 年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建预赛试卷
一.填空题:(每小题 6 分,共 60 分)

1? x ? 1) 的定义域为__________________. x+3 1 2.在 ?ABC 中,若 sin A + cos A = ? ,则 cos 2 A = _________________. 3 n +1 * 3.在数列 {a n } 中,已知 a1 = 2 , an +1 ? 2an = 2 ( n ∈ N ) ,则使 a n > 10 成立的最小正整数 n 的值为_____________. 4.已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,对任意 x ∈ R 均有 f ( x + 2) = f ( x ) ,且 x ∈ (0,1) 时, 3 P f ( x) = x 2 ,则 f (? ) + f (1) = ________________. 2 5.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, ?PAB 为 A 等边三角形, O 为 AB 边中点,且 PO ⊥ 平面 ABCD ,则二面角 D P ? AC ? D 的余弦值为_____________. O 2 3 6.已知集合 A = {x | x = a 0 + a1 × 7 + a 2 × 7 + a3 × 7 } ,其中
1.用区间表示函数 f ( x ) = ln(

a i ∈ {0,1,2,3,4,5,6} , i = 0,1,2,3 ,且 a 3 ≠ 0 .若正整数 m, n ∈ A , 且 m + n = 2010 , m > n ,则符合条件的正整数 m 有_____________个. 7.函数 f ( x ) = sin 2 k x + cos 2 k x ( k ∈ N* ) 的最小值_________________.
8.将方程 x 3 ? 3[ x ] = 4 的实数解从小到大排列得 x1 , x 2 , L , x k , 则 x1 + x 2 + x3 + L + x k 的值为____________.( [ x ] 表示不超过的最大整数)
3 3 3 3

B

C

9.若正整数 m 使得对任意一组满足 a1 a 2 a3 a 4 = 1 的正数 a1 , a 2 , a 3 , a 4 都有

a1 + a 2 + a 3 + a 4 ≥
m m m m

1 1 1 1 + + + 成立,则正整数 m 的最小值为_________. a1 a 2 a 3 a 4

E ξ =____. 二.解答题:(每小题 20 分,满分 100 分) 11.当实数 a 为何值时,关于 x 的方程 ax = ln x 无解、一解、两解?

10.如图,记从“田字型”网格(由 4 个边长为 1 的正方形构成)的 9 个交点中任取 3 个点构成的三角形面积为 ξ (当所取的三点共线时, ξ =0),则 ξ 的数学期望

12.已知函数 f ( x) = x x ? 2a ,试求 f (x ) 在区间 [0,1] 上的最大值 g (a ) .

1

13.如图,在锐角 ?ABC 中, AB = AC , ∠ACB 的平分线交 AB 于点 D ,过 ?ABC 的外心 O 作 CD 的垂线交 AC 于点 E ,过点 E 作 AB 的平行线交 CD 于点 F . (1)求证: C , E , O, F 四点共圆; (2)求证: A, O, F 三点共线; (3)求证: EA = EF .
E D O F C A

B

x2 y2 14.已知双曲线 C : 2 ? 2 = 1 ( a > 0, b > 0) 的离心率为 2,过点 P (0, m) ( m > 0) 斜率 a b uuu r uuu uuu uuu r r r 为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A, B 两点,且 AP = 3PB , OA ? OB = 3 .
(1)求双曲线 C 的方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴上是否存在定点

M 使得 ∠QFM = 2∠QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

15.数列 {a n } 中,已知 a1 = 2 ,且对一切正整数 n 都有 a n +1 = a1 a 2 a 3 L a n + 1 . 求证:

1 1 1 1 1 1 1 1 + + +L+ ≥ + + + L + n 对一切正整数 n 均成立. a1 a 2 a 3 an 2 4 8 2

2

2010 年福建省高中数学竞赛暨全国高中数学联赛福建预赛 简易答案
1. (?3, ?1) 6.662 2.

17 9 1 7. k ?1 2

3.3 8.15

4.

1 4

5. ? 10.

7 7

9.3

5 6

11.当 a >

1 1 1 时,无解;当 a = 或 a ≤ 0 时,仅有一解;当 0 < a < 时,两解. e e e

?1 ? 2a, a ≤ 2 ? 1, ? 2 ? 12. g ( a ) = ?a , 2 ? 1 < a ≤ 1, ?2a ? 1, a > 1. ? ?
13.(1) ∠OEF = ∠OCF ? C , E , O, F 四点共圆; (2) ∠AOE = 180o ? ∠EOF ? A, O, F 三点共线; (3) ∠OFE = ∠OCE = ∠EAO ? EA = EF . 14.(1) x ?
2

y2 = 1 ;(2)存在定点为 (?1, 0) . 3

15.先证明

1 1 1 1 n + +L + = 1? ;则原不等式等价于 a1 a2 L an ≥ 2 . a1 a2 an a1 a2 L an
2

又 an +1 ? an = ( an ? 1) ≥ 0 ,故 an +1 ≥ an ≥ L ≥ a1 = 2 ,证闭.

3


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