2015步步高理科数学第十二章12.3


数学

R A(理)

§12.3 几何概型
第十二章 概率、随机变量及其分布

基础知识·自主学习
要点梳理
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度 ( 面积 或 体积 )成比例, 则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为 几何概型 . 2.几何概型中,事件 A 的概率的计算公式
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要点梳理
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3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有 无限多个 ; (2)等可能性:每个结果的发生具有 等可能性 . 4.随机模拟方法
(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个 试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特 卡罗方法.这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生 某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义; ②统计代表某意义的随机数的个数 M 和总的随机数个数 N; M ③计算频率 fn(A)= N 作为所求概率的近似值.
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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √ (2) √ (3) √ (4) √

解析

B
2 3 1 3 2 5

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题型分类·深度剖析
题型一 与长度、角度有关的几何概型
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (1)在区间[-1,1]上随机取 π 一个数 x,求 cos x 的值介于 2 1 0 到 之间的概率. 2 (2) 如 图 所 示,在△ABC 中 , ∠B = 60°, ∠C = 45° ,高 AD= 3,在∠BAC 内 作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率.
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题型分类·深度剖析
题型一 与长度、角度有关的几何概型
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (1)在区间[-1,1]上随机取 π 一个数 x,求 cos x 的值介于 2 1 0 到 之间的概率. 2 (2) 如 图 所 示,在△ABC 中 , ∠B = 60°, ∠C = 45° ,高 AD= 3,在∠BAC 内 作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率.
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寻找所考查对象活动的 范围.

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题型分类·深度剖析
题型一 与长度、角度有关的几何概型
思维升华 解析 【例 1】 (1)在区间[-1,1]上随机取 思维启迪 π π 一个数 x,求 cos x 的值介于 解 (1)由函数 y=cos x 的图 2 2 1 象知, 0 到 之间的概率. 2

(2) 如 图 所 示,在△ABC 中 , ∠B = 60°, ∠C = 45° ,高 AD= 3,在∠BAC 内 作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率.
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2 2 当-1<x<-3或3<x<1 时,
π 1 0<cos 2x<2.
由概率的几何概型知:
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题型一 与长度、角度有关的几何概型
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 (1)在区间[-1,1]上随机取 π 一个数 x,求 cos x 的值介于 2 1 0 到 之间的概率. 2 (2) 如 图 所 示,在△ABC 中 , ∠B = 60°, ∠C = 45° ,高 AD= 3,在∠BAC 内 作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率.
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π 1 cos x 的值介于 0 到 之间的概 2 2 2 3 1 率为 = . 2 3
(2) 因为 ∠B = 60° , ∠C = 45° , 所以∠BAC=75° ,
在 Rt△ABD 中,AD= 3, ∠B=60° ,
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题型分类·深度剖析
题型一 与长度、角度有关的几何概型
思维启迪
所以 BD=

【例 1】 (1)在区间[-1,1]上随机取 π 一个数 x,求 cos x 的值介于 2 1 0 到 之间的概率. 2 (2) 如 图 所 示,在△ABC 中 , ∠B = 60°, ∠C = 45° ,高 AD= 3,在∠BAC 内 作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率.
基础知识 题型分类

解析

思维升华

AD =1, tan 60°

∠BAD=30° .

记事件 N 为“在∠BAC 内作射 线 AM 交 BC 于 点 M , 使 BM<1”,
则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生.

由几何概型的概率公式, 30° 2 得 P(N)=75° =5.
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题型一 与长度、角度有关的几何概型
思维升华 解析 【例 1】 (1)在区间[-1,1]上随机取 思维启迪 π 一个数 x,求 cos x 的值介于 解答几何概型问题的关键在于弄 2 清题中的考查对象和对象的活动 1 0 到 之间的概率. 2 范围.当考查对象为点,点的活 (2) 如 图 所 动范围在线段上时,用线段长度

示,在△ABC 中 , ∠B = 60°, ∠C = 45° ,高 AD= 3,在∠BAC 内 作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率.
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比计算;当考查对象为线时,一 般用角度比计算.事实上,当半 径一定时,由于弧长之比等于其 所对应的圆心角的度数之比,所 以角度之比实际上是所对的弧长 (曲线长)之比.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若在例 1(2)中“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 3-1 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”则结果为________ . 2 (2)在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径 的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________.

解析 (1)由∠B=60° ,∠C=45° ,AD= 3得,
AD BD=tan B=1,DC=AD= 3, 3-1 1 则 BM<1 的概率为 P= = 2 . 3+1

(2)记事件 A 为“弦长超过圆内接等边三角形的边长”,
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)若在例 1(2)中“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 3-1 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”则结果为________ . 2 (2)在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂直于直径 1 的弦,则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________ . 2

如图, 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一 点 F 作垂直于直径的弦,

当弦为 CD 时, 就是等边三角形的边长(此时 F 为 OE 中点), 弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF, 1 2×2 1 由几何概型公式得:P(A)= 2 =2.
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题型二 与面积、体积有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2 】 (1)(2012· 北京)设不等式组 ? ?0≤x≤2, ? 表示的平面区域为 D, 在 ? 0 ≤ y ≤ 2 ? 区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是( π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 )

(2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆 心,在这个圆柱内随机取一点 P,则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ________.
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题型分类·深度剖析
题型二 与面积、体积有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2 】 (1)(2012· 北京)设不等式组 ? ?0≤x≤2, ? 表示的平面区域为 D, 在 ? 0 ≤ y ≤ 2 ? 区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是( π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 )

平面区域内的几何概型,一 般用面积求概率,空间区域 内的几何概型,一般用体积 求概率.

(2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆 心,在这个圆柱内随机取一点 P,则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ________.
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题型分类·深度剖析
题型二 与面积、体积有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2 】 (1)(2012· 北京)设不等式组 ? ?0≤x≤2, ? 表示的平面区域为 D, 在 ? 0 ≤ y ≤ 2 ? 区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是( π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 )

(1) 根据题意作出满足条件的几 何图形求解.
如图所示,

(2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆 心,在这个圆柱内随机取一点 P,则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ________.
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正方形 OABC 及其内部为不等式 组表示的区域 D,
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题型分类·深度剖析
题型二 与面积、体积有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2 】 (1)(2012· 北京)设不等式组 ? ?0≤x≤2, ? 表示的平面区域为 D, 在 ? 0 ≤ y ≤ 2 ? 区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是( π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 )

且区域 D 的面积为 4, 而阴影部 分表示的是区域 D 内到坐标原 点的距离大于 2 的区域. 易知该 阴影部分的面积为 4-π. 4-π 因此满足条件的概率是 4 ,所
以选 D.

(2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆 心,在这个圆柱内随机取一点 P,则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 ________.
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(2)先求点 P 到点 O 的距离小于 或等于 1 的概率,圆柱的体积 V 圆柱=π×12×2=2π,
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题型分类·深度剖析
题型二 与面积、体积有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2 】 (1)(2012· 北京)设不等式组 ? ?0≤x≤2, ? 表示的平面区域为 D, 在 ? 0 ≤ y ≤ 2 ?

以 O 为球心, 1 为半径且在圆柱 1 4 内部的半球的体积 V 半球= × 2 3 区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 2 3 标原点的距离大于 2 的概率是( ) π×1 = π. 3 π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 则点 P 到点 O 的距离小于或等于 2 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 3π 1 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆 1 的概率为2π=3,
心,在这个圆柱内随机取一点 P,则

故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概 1 2 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 率为 1-3=3.
________.
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题型分类·深度剖析
题型二 与面积、体积有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2 】 (1)(2012· 北京)设不等式组 ? ?0≤x≤2, ? 表示的平面区域为 D, 在 ? 0 ≤ y ≤ 2 ?

以 O 为球心, 1 为半径且在圆柱 1 4 内部的半球的体积 V 半球= × 2 3 区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 2 3 标原点的距离大于 2 的概率是( D ) π×1 = π. 3 π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 则点 P 到点 O 的距离小于或等于 2 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 π 3 1 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆 1 的概率为2π=3,
心,在这个圆柱内随机取一点 P,则

故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概 1 2 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 率为 1 - = . 2 3 3 ________ . 3
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题型分类·深度剖析
题型二 与面积、体积有关的几何概型
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2 】 (1)(2012· 北京)设不等式组 ? ?0≤x≤2, ? 表示的平面区域为 D, 在 ? 0 ≤ y ≤ 2 ? 区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 标原点的距离大于 2 的概率是( D ) π-2 4-π π π A. B. C. D. 4 2 6 4 (2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆 心,在这个圆柱内随机取一点 P,则 点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为
2 ________ . 3

求解几何概型的概率问题,一 定要正确确定试验的全部结 果构成的区域,从而正确选择 合理的测度,进而利用概率公 式求解.

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题型分类

思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为 a,b,则函数 ( ) f(x)=x2+2ax-b2+π2 有零点的概率为 π π A.1- B.1- 8 4 π 3π C.1- D.1- 2 4

(2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P, 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________.

解析 (1)由函数 f(x)=x2+2ax-b2+π2 有零点,
可得 Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,整理得 a2+b2≥π2,

如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点, 试验的全部结果构成的区域为
Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π},

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思想方法

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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为 a,b,则函数 ( ) f(x)=x2+2ax-b2+π2 有零点的概率为 π π A.1- B.1- 8 4 π 3π C.1- D.1- 2 4

(2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P, 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________.

其面积 SΩ=(2π)2=4π2. 事件 A 表示函数 f(x)有零点,
所构成的区域为 M={(a,b)|a2+b2≥π2},
即图中阴影部分,其面积为 SM=4π2-π3,
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)在区间[-π,π]内随机取出两个数分别记为 a,b,则函数 ( B ) f(x)=x2+2ax-b2+π2 有零点的概率为 π π A.1- B.1- 8 4 π 3π C.1- D.1- 2 4

(2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P, 则点 P 到点 O 的距离大于 1
π 1-12 . 的概率为________

2 3 π SM 4π -π 故 P(A)= S = 4π2 =1-4,所以选 B. Ω

1 4 2 (2)V 正=23=8,V 半球=2×3π×13=3π,

V半球 2π π π = =12,∴P=1-12. V正 8×3
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题型三 生活中的几何概型问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】甲、乙两船驶向一个不能 同时停泊两艘船的码头,它们 在一昼夜内到达该码头的时刻 是等可能的.如果甲船停泊时 间为 1 h, 乙船停泊时间为 2 h, 求它们中的任意一艘都不需要 等待码头空出的概率.
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题型分类·深度剖析
题型三 生活中的几何概型问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】甲、乙两船驶向一个不能 同时停泊两艘船的码头,它们 当基本事件受两个连续变量控 在一昼夜内到达该码头的时刻 制时,一般是把两个连续变量 是等可能的.如果甲船停泊时 分别作为一个点的横坐标和纵 间为 1 h, 乙船停泊时间为 2 h, 坐标,这样基本事件就构成了 求它们中的任意一艘都不需要 平面上的一个区域,即可借助 等待码头空出的概率.
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平面区域解决.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 生活中的几何概型问题
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【例 3】甲、乙两船驶向一个不能



这是一个几何概型问题.设

同时停泊两艘船的码头,它们 甲、乙两艘船到达码头的时刻分 在一昼夜内到达该码头的时刻 别为 x 与 y, A 为“两船都不需要等待码头空 是等可能的.如果甲船停泊时 出”,则 0≤x≤24,0≤y≤24, 间为 1 h, 乙船停泊时间为 2 h, 要使两船都不需要等待码头空 求它们中的任意一艘都不需要 等待码头空出的概率.
基础知识 题型分类

出,当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上, 即 y-x≥1 或 x-y≥2.
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题型分类·深度剖析
题型三 生活中的几何概型问题
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【例 3】甲、乙两船驶向一个不能

故所求事件构成集合 A={(x, y)|y

同时停泊两艘船的码头,它们 -x≥1 或 x-y≥2,x∈[0,24], 在一昼夜内到达该码头的时刻 y∈[0,24]}. A 为图中阴影部分,全部结果构 是等可能的.如果甲船停泊时 成集合 Ω 为边长是 24 的正方形 间为 1 h, 乙船停泊时间为 2 h, 及其内部. 求它们中的任意一艘都不需要 等待码头空出的概率.
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题型分类·深度剖析
题型三 生活中的几何概型问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】甲、乙两船驶向一个不能
A的面积 同时停泊两艘船的码头,它们 所 求概 率为 P(A) = = Ω的面积

在一昼夜内到达该码头的时刻

1 1 2 ?24-1? × +?24-2? × 2 2 是等可能的.如果甲船停泊时 242
2

间为 1 h, 乙船停泊时间为 2 h,
506.5 1 013 求它们中的任意一艘都不需要 = 576 =1 152.

等待码头空出的概率.
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题型三 生活中的几何概型问题
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】甲、乙两船驶向一个不能 同时停泊两艘船的码头,它们 在一昼夜内到达该码头的时刻 是等可能的.如果甲船停泊时

生活中的几何概型度量区域的 构造方法:
(1)审题:通过阅读题目,提炼相 关信息.
(2)建模:利用相关信息的特征,

间为 1 h, 乙船停泊时间为 2 h, 建立概率模型. 求它们中的任意一艘都不需要 (3)解模:求解建立的数学模型. 等待码头空出的概率.
基础知识 题型分类

(4)结论:将解出的数学模型的解 转化为题目要求的结论.
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题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 张先生订了一份报纸,送报人在早上 6:30-7:30 之

间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上 7:00-8:00
7 之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是________ . 8

解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间,以纵坐标 y 表示张先生离家时间, 建立平面直角坐标系,因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能 的,所以符合几何概型的条件.
根据题意只要点落到阴影部分, 就表示张先生在 离开家前能得到报纸,

1 1 1 1×1-2×2×2 7 即所求事件 A 发生,所以 P(A)= =8. 1×1

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列16 混淆长度型与面积型几何概型致误

典例:(12 分)在长度为 1 的线段上任取两点,将线段分成三段, 试求这三条线段能构成三角形的概率.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

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易错警示系列16 混淆长度型与面积型几何概型致误

典例:(12 分)在长度为 1 的线段上任取两点,将线段分成三段, 试求这三条线段能构成三角形的概率.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

不能正确理解题意,无法找出准确的几何度量来计算 概率.

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易错警示系列16 混淆长度型与面积型几何概型致误

典例:(12 分)在长度为 1 的线段上任取两点,将线段分成三段, 试求这三条线段能构成三角形的概率.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

解 设 x、y 表示三段长度中的任意两个.
因为是长度,所以应有 0<x<1,0<y<1,0<x+y<1,

即(x,y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形 内的点,如图所示.

4分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列16 混淆长度型与面积型几何概型致误

典例:(12 分)在长度为 1 的线段上任取两点,将线段分成三段, 试求这三条线段能构成三角形的概率.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

x+y>1-x-y, ? ? 要形成三角形,由构成三角形的条件知?1-x-y>x-y, ? ?1-x-y>y-x,

1 1 1 所以 x<2,y<2,且 x+y>2,故图中阴影部分符合构成三角形的条件.

1 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的4, 1 故这三条线段能构成三角形的概率为4.
基础知识 题型分类 思想方法

8分

12分

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列16 混淆长度型与面积型几何概型致误

典例:(12 分)在长度为 1 的线段上任取两点,将线段分成三段, 试求这三条线段能构成三角形的概率.
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

解决几何概型问题时,还有以下两点容易造成失分,在备考时要 高度关注:
(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;
(2)利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致 错误.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

1. 区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事 件的个数是有限个还是无限多个.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
2.转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将 试验结果和点对应,然后利用几何概型概率公式. (1)一般地,一个连续变量可建立与长度有关的几何概 型,只需把这个变量放在坐标轴上即可; (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述,则可用这 两个变量的有序实数对来表示它的基本事件,然后利 用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何 概型; (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述,则可 用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件,利用 空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

方 法 与 技 巧

思想方法·感悟提高

失 误 与 防 范

1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键;

2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事 件之内不影响所求结果.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.“抖空竹”是中国的传统杂技,表演者在两根直径约 8~12 毫 米的杆上系一根长度为 1 m 的绳子,并在绳子上放一空竹,则 空竹与两端距离都大于 0.2 m 的概率为 1 3 2 A. B. C. 2 5 5 ( B ) 2 D. 3

解析

与两端都大于 0.2 m 即空竹的运行范围为(1-0.2-0.2)m=

0.6 m,
记“空竹与两端距离都大于 0.2 m”为事件 A, 1-0.2-0.2 3 则所求概率满足几何概型,即 P(A)= =5. 1
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.(2012· 辽宁)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩 形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为 1 1 A. B. 6 3 ( C ) 2 C. 3 D. 4 5

解析 根据题意求出矩形面积为 20 cm2 时的各边长,再求概率.
设 AC=x,则 BC=12-x,所以 x(12-x)=20, 解得 x=2 或 x=10.
12-2-2 2 故 P= 12 =3.
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3.如图所示, 在边长为 1 的正方形 OABC 中 任取一点 P, 则点 P 恰好取自阴影部分的概率 为 A. 1 4 B. 1 5 C. 1 6 ( C ) 1 D. 7
3

2 2 1 2 1 1 ( x ? x )0 解析 ∵S 阴影=?0( x-x)dx= 3 2
2 1 1 =3-2=6,又 S 正方形 OABC=1,

1 6 1 ∴由几何概型知,P 恰好取自阴影部分的概率为1=6.
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4.已知△ABC 中,∠ABC=60° ,AB=2,BC=6,在 BC 上任取 一点 D,则使△ABD 为钝角三角形的概率为 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 ( C )

解析

如图,当 BE=1 时,∠AEB 为直角,

则点 D 在线段 BE(不包含 B、 E 点)上时, △ABD 为钝角三角形;

当 BF=4 时,∠BAF 为直角,则点 D 在线段 CF(不包含 C、 F 点)上时,△ABD 为钝角三角形. 1+2 1 所以△ABD 为钝角三角形的概率为 6 =2.
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5.(2012· 湖北)如图, 在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是 ( 2 A.1- π 1 1 B. - 2 π 2 C. π ) 1 D. π

解析

设分别以 OA,OB 为直径的两个

半圆交于点 C,OA 的中点为 D,

如图,连接 OC,DC.
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5.(2012· 湖北)如图, 在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是 ( 2 A.1- π 1 1 B. - 2 π 2 C. π ) 1 D. π

不妨令 OA=OB=2,

则 OD=DA=DC=1. π 1 在以 OA 为直径的半圆中, 空白部分面积 S1=4+2×1×1 ?π 1 ? -?4-2×1×1?=1, ? ?
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5.(2012· 湖北)如图, 在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆.在扇形 OAB 内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是 ( A ) 2 A.1- π 1 1 B. - 2 π 2 C. π 1 D. π

所以整体图形中空白部分面积 S2=2.
1 又因为 S 扇形 OAB=4×π×22=π,所以阴影部分面积为 S3=π-2. π-2 2 所以 P= π =1-π.
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6.在长为 10 cm 的线段 AB 上任取一点 G,以 AG 为半径作圆,

1 5 . 则圆的面积介于 36π cm2 到 64π cm2 的概率是________

解析

如图, 以 AG 为半径作圆, 圆面积介于 36π~64π cm2,

则 AG 的长度应介于 6~8 cm 之间.

2 1 ∴所求概率 P(A)=10=5.
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7.(2013· 湖北)在区间[-2,4]上随机地取一个数 x,若 x 满足 5 3 |x|≤m 的概率为 ,则 m=________. 6
解析 由|x|≤m,得-m≤x≤m.

2m 5 当 m≤2 时,由题意得 6 =6,解得 m=2.5,矛盾,舍去. m-?-2? 5 当 2<m<4 时,由题意得 =6,解得 m=3. 6
即 m 的值为 3.
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x2 8. 在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数, 记为 m 和 n, 则方程 2 m 1 y2 2 + 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率是________ . n
解析 x2 y2 ∵方程m2+n2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n.

如图,由题意知,在矩形 ABCD 内任取 一点 Q(m,n),
点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的 概率, 易知直线 m=n 恰好将矩形平分,
1 ∴所求的概率为 P=2.
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9.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位 1 圆内投掷一点, 若此点到圆心的距离大于 , 则周末去看电 2 1 影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在家 4
13 看书.则小波周末不 在家看书的概率为________ . 16 .
2

12 π×1 -π×?2? 3 解析 ∵去看电影的概率 P1= = 4, π×12 12 π×?4? 1 去打篮球的概率 P2= = , π×12 16

3 1 13 ∴不在家看书的概率为 P=4+16=16.
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10.已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个 面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第 二次出现的点数,求满足 a· b=-1 的概率; (2)若 x, y 在连续区间[1,6]上取值, 求满足 a· b<0 的概率.

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(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的

基本事件总数为 6×6=36(个);
由 a· b=-1 有-2x+y=-1,
所以满足 a· b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共 3 个;

3 1 故满足 a· b=-1 的概率为36=12.

(2)若 x,y 在连续区间[1,6] 上取值,则全部基本事件的结果为 Ω ={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6};
满足 a· b<0 的基本事件的结果为
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A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且-2x+y<0};

画出图形如图,
矩形的面积为 S 矩形=25,

1 阴影部分的面积为 S 阴影=25-2×2×4=21,

21 故满足 a· b<0 的概率为25.
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3 4 5 6

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πx 1 2 1.在区间[-1,1]上随机取一个数 x,则 sin 的值介于- 与 4 2 2 之间的概率为 1 1 A. B. 4 3
解析

( D ) 2 C. 3 5 D. 6

π πx π ∵-1≤x≤1,∴-4≤ 4 ≤4.

1 πx 2 π πx π 由-2≤sin 4 ≤ 2 ,得-6≤ 4 ≤4,

2 1+3 2 5 即-3≤x≤1.故所求事件的概率为 2 =6.
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2. 如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆外的黄豆数为 96,则 以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为 A.7.68 B.16.32 C.17.32 ( B ) D.8.68

S椭圆 解析 根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概率 P= , S矩形 300-96 而 P= 300 =0.68,S 矩形=24,
故 S 椭圆=P· S 矩形=0.68×24=16.32.
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3. 已知点 A 在坐标原点,点 B 在直线 y=1 上, 点 C(3,4), 若 AB≤ 10, 则△ABC 的面积大于 5 的概率是 19 A. 24 ( 1 B. 3 5 C. 24 ) 5 D. 27

3 解析 设 B(x,1),根据题意知点 D(4,1), 1 5 若△ABC 的面积小于或等于 5,则2×DB×4≤5,即 DB≤2, 7 13 所以点 B 的横坐标 x∈[-4, 4 ],而 AB≤ 10,
所以点 B 的横坐标 x∈[ -3,3] ,
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3. 已知点 A 在坐标原点,点 B 在直线 y=1 上, 点 C(3,4), 若 AB≤ 10, 则△ABC 的面积大于 5 的概率是 19 A. 24 1 B. 3 5 C. 24 ( C ) 5 D. 27

7 3-?-4? 19 所以△ABC 的面积小于或等于 5 的概率为 P= =24, 6
5 所以△ABC 的面积大于 5 的概率是 1-P=24.

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3 4 5 6

S 4.在面积为 S 的△ABC 内部任取一点 P,△PBC 的面积大于 的 4
9 16 概率为________ .

解析

如图,假设当点 P 落在 EF 上时(EF∥BC),恰好满足 S △PBC 的面积等于4,
PG 1 作 PG⊥BC,AH⊥BC,则易知AH=4.

符合要求的点 P 可以落在△AEF 内的任一部分, S△AEF 9 其概率为 P= = . S△ABC 16
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5.平面内有一组平行线,且相邻平行线间的距离为 3 cm,把一枚 半径为 1 cm 的硬币任意投掷在这个平面内,则硬币不与任何
1 3 一条平行线相碰的概率是________ .

解析 如图所示,当硬币中心落在阴影区域时,硬币不与任何一 1 条平行线相碰,故所求概率为3.

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6.身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘 A、B 两列火车在郑州火车站会面, 并约定先到者等待时间不超过 10 分钟.当天 A、B 两列火车正点到站的时间是上午 9 点,每列 火车到站的时间误差为± 15 分钟,不考虑其他因素,那么姐弟 俩在郑州火车站会面的概率为________.

解析 设姐姐到的时间为 x,弟弟到的时间为 y,建立坐标系如图,

1 由题意可知,当 y≤x± 6时,姐弟俩会面,
1 又正方形的面积为4,
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6.身处广州的姐姐和身处沈阳的弟弟在春节前约定分别乘 A、B 两列火车在郑州火车站会面, 并约定先到者等待时间不超过 10 分钟.当天 A、B 两列火车正点到站的时间是上午 9 点,每列 火车到站的时间误差为± 15 分钟,不考虑其他因素,那么姐弟 5 俩在郑州火车站会面的概率为________ . 9

5 阴影部分的面积为36, 5 36 5 所求概率 P= 1 =9. 4
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