2017_2018版高中数学第三章指数函数和对数函数6指数函数幂函数对数函数增长的比较学案北师大版必

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 学习目标 1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增 长”.3.尝试函数模型的简单应用. 知识点一 同类函数增长特点 思考 同样是增函数,当 x 从 2 变到 3,y=2 到 y=10 的纵坐标增加了多少? x x 梳理 当 a>1 时,指数函数 y=a 是增函数,并且当 a 越大时,其函数值的增长就越快. 当 a>1 时,对数函数 y=logax 是增函数,并且当 a 越小时,其函数值的增长就越快. 当 x>0,n>1 时,幂函数 y=x 是增函数,并且当 x>1 时,n 越大其函数值的增长就越快. 知识点二 指数函数、幂函数、对数函数的增长差异 思考 当 x 从 1 变到 10,函数 y=2 ,y=x 和 y=lg x 的纵坐标增长了多少? x 2 x n 梳理 一般地,在区间(0,+∞)上,尽管指数函数 y=a (a>1)、幂函数 y=x (n>0)与对数函 数 y=logax(a>1)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上.随着 x 的增 大,y=a (a>1)的增长速度越来越快,会远远超过幂函数 y=x (n>0)的增长速度,而对数函数 x n x n y = logax(a>1) 的 增 长 速 度 越 来 越 慢 , 因 此 总 会 存 在 一 个 x0 , 当 x>x0 时 , 就 有 ________________________(a>1,n>0). 类型一 根据图像判断函数的增长速度 例 1 函数 f(x)=2 和 g(x)=x 的图像如图所示. 设两函数的图像交于点 A(x1, y1), B(x2, y2), 且 x1<x2. 1 x 3 (1)请指出图中曲线 C1,C2 分别对应的函数; (2)结合函数图像,判断 f(6),g(6),f(2 013),g(2 013)的大小. 反思与感悟 判断函数的增长速度,一个是从 x 增加相同量时,函数值的增长量的变化;另一 方面,也可从函数图像的变化,图像越陡,增长越快. 跟踪训练 1 函数 f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1 的图像如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1,C2 分别对应的函数; (2)以两图像交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较. 类型二 函数增长模型的应用 例 2 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 2 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 反思与感悟 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于 0)的增长趋势,其增长速度不变(恒 为常数);指数爆炸反映了指数函数(底数大于 1)的增长趋势,其增长速度急剧(越来越快); 对数增长反映了对数函数(底数大于 1)的增长趋势,其增长速度平缓(越来越慢).解题时,注 意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律. 3 跟踪训练 2 某公司为了实现 1 000 万元的利润目标, 准备制定一个激励销售人员的奖励方案: 在销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且资金 y(单位:万元)随销售利润 x(单位: 万元)的增加而增加,但资金总数不超过 5 万元,同时资金不超过利润的 25%.现有三个奖励模 型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002 ,其中哪个模型能符合公司的要求? x 1.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应是( A.y=3x C.y=x 3 ) B.y=log3x D.y=3 x 2.当 a>1 时,有下列结论: ①指数函数 y=a ,当 a 越大时,其函数值的增长越快; ②指数函数 y=a ,当 a 越小时,其函数值的增长越快; 4 x x ③对数函数 y=logax,当 a 越大时,其函数值的增长越快; ④对数函数 y=logax,当 a 越小时,其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( A.①③ C.②③ ) B.①④ D.②④ 3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年, 则函数 y=f(x)的图像大致是( ) 4.当 2<x<4 时,2 ,x ,log2x 的大小关系是( A.2 >x >log2x C.2 >log2x>x x 2 x 2 ) 2 x 2 B.x >2 >log2x D.x >log2x>2 2 x x 5.某商场 2016 年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种函数模型: ①f(x)=p·q (q>0,q≠1); ②f(x)=logpx+q(p>0,p≠1); ③f(x)=x +px+q. 能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号), 若所选函数满足 f(1)=10,f(3)=2,则 f(x)=____________. 2 x 三种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型 y=x (n>0), 则可以描述增长幅度不同的变化: n 值较小(n≤1)时, 增长较慢; n n 值较大(n>1)时,增长较快. 5 答案精析 问题导学 知识点一 思考 2 -2 =4,10 -10 =900,即同样是 x 从 2 变到 3,y=2 与 y=10 的纵坐标分别增加了 4 和 900. 知识点二 思考 2 -2 =1 024-2=1 022,10 -1 =99,lg 10-lg 1=1,即同样是 x 从 1 变到 10,y =2 ,y=x 和 y=lg x 的纵坐标分别

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