2019-Matlab课件第7章 MATLAB解方程与函数极值-PPT课件-文档资料_图文

第7章 MATLAB解方程与函数极值 7.1 线性方程组求解 7.2 非线性方程数值求解 7.3 常微分方程初值问题的数值解法 7.4 函数极值

7.1 线性方程组求解 7.1.1 直接解法 1.利用左除运算符的直接解法 对于线性方程组Ax=b,可以利用左除运算符“\”求解:
x=A\b

例7-1 用直接解法求解下列线性方程组。 命令如下: A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; x=A\b

2.利用矩阵的分解求解线性方程组
矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成 若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有LU分解、QR分解、 Cholesky分解,以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异 分解等。

(1) LU分解 矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵
和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中已经证明,只 要方阵A是非奇异的,LU分解总是可以进行的。 MATLAB提供的lu函数用于对矩阵进行LU分解,其调用格 式为: [L,U]=lu(X):产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角 阵L(行交换),使之满足X=LU。注意,这里的矩阵X必须 是方阵。 [L,U,P]=lu(X):产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及 一个置换矩阵P,使之满足PX=LU。当然矩阵X同样必须 是方阵。 实现LU分解后,线性方程组Ax=b的解x=U\(L\b)或 x=U\(L\Pb),这样可以大大提高运算速度。

例7-2 用LU分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下:
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [L,U]=lu(A); x=U\(L\b) 或采用LU分解的第2种格式,命令如下: [L,U ,P]=lu(A); x=U\(L\P*b)

(2) QR分解
对矩阵X进行QR分解,就是把X分解为一个正交矩阵Q和一 个上三角矩阵R的乘积形式。QR分解只能对方阵进行。 MATLAB的函数qr可用于对矩阵进行QR分解,其调用格 式为:
[Q,R]=qr(X):产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R, 使之满足X=QR。
[Q,R,E]=qr(X):产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵 R以及一个置换矩阵E,使之满足XE=QR。
实现QR分解后,线性方程组Ax=b的解x=R\(Q\b)或 x=E(R\(Q\b))。

例7-3 用QR分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下:
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; [Q,R]=qr(A); x=R\(Q\b) 或采用QR分解的第2种格式,命令如下: [Q,R,E]=qr(A); x=E*(R\(Q\b))

(3) Cholesky分解 如果矩阵X是对称正定的,则Cholesky分解将矩阵X分解成
一个下三角矩阵和上三角矩阵的乘积。设上三角矩阵为R, 则下三角矩阵为其转置,即X=R'R。MATLAB函数 chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解,其调用格式为: R=chol(X):产生一个上三角阵R,使R'R=X。若X为非对称 正定,则输出一个出错信息。
[R,p]=chol(X):这个命令格式将不输出出错信息。当X为对 称正定的,则p=0,R与上述格式得到的结果相同;否则p 为一个正整数。如果X为满秩矩阵,则R为一个阶数为 q=p-1的上三角阵,且满足R'R=X(1:q,1:q)。
实现Cholesky分解后,线性方程组Ax=b变成R‘Rx=b,所以 x=R\(R’\b)。

例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中的线性方程组。 命令如下:
A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4]; b=[13,-9,6,0]'; R=chol(A) ??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite 命令执行时,出现错误信息,说明A为非正定矩阵。

7.1.2 迭代解法 迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析
中,迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代 法、超松弛迭代法和两步迭代法。 1.Jacobi迭代法 对于线性方程组Ax=b,如果A为非奇异方阵,即 aii≠0(i=1,2,…,n),则可将A分解为A=D-L-U,其中D为对 角阵,其元素为A的对角元素,L与U为A的下三角阵和上 三角阵,于是Ax=b化为: x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为:
x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 这就是Jacobi迭代公式。如果序列{x(k+1)}收敛于x,则x必
是方程Ax=b的解。

Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下:

function [y,n]=jacobi(A,b,x0,eps)

if nargin==3

eps=1.0e-6;

elseif nargin<3

error

return

end

D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵

L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵

U=-triu(A,1); %求A的上三角阵

B=D\(L+U);

f=D\b;

y=B*x0+f;

n=1;

%迭代次数

while norm(y-x0)>=eps

x0=y;

y=B*x0+f;

n=n+1;

end

例7-5 用Jacobi迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0, 迭代精度为10-6。
在命令中调用函数文件Jacobi.m,命令如下: A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]; b=[9,7,6]'; [x,n]=jacobi(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)

2.Gauss-Serdel迭代法
在Jacobi迭代过程中,计算时,已经得到,不必再用,即原 来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为 Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b,于是得到:
x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b
该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比, Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量,精度会高些。

Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下:

function [y,n]=gauseidel(A,b,x0,eps)

if nargin==3

eps=1.0e-6;

elseif nargin<3

error

return

end

D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵

L=-tril(A,-1); %求A的下三角阵

U=-triu(A,1); %求A的上三角阵

G=(D-L)\U;

f=(D-L)\b;

y=G*x0+f;

n=1;

%迭代次数

while norm(y-x0)>=eps

x0=y;

y=G*x0+f;

n=n+1;

end

例7-6 用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代 初值为0,迭代精度为10-6。
在命令中调用函数文件gauseidel.m,命令如下: A=[10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10]; b=[9,7,6]'; [x,n]=gauseidel(A,b,[0,0,0]',1.0e-6)

例7-7 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列线性 方程组,看是否收敛。
命令如下:
a=[1,2,-2;1,1,1;2,2,1]; b=[9;7;6]; [x,n]=jacobi(a,b,[0;0;0]) [x,n]=gauseidel(a,b,[0;0;0])

7.2 非线性方程数值求解 7.2.1 单变量非线性方程求解
在MATLAB中提供了一个fzero函数,可以用来求 单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为:
z=fzero('fname',x0,tol,trace) 其中fname是待求根的函数文件名,x0为搜索的起
点。一个函数可能有多个根,但fzero函数只给出 离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度,缺 省时取tol=eps,trace?指定迭代信息是否在运算中 显示,为1时显示,为0时不显示,缺省时取 trace=0。

例7-8 求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根。 步骤如下: (1) 建立函数文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.^x+2; (2) 调用fzero函数求根。 z=fzero('funx',0.5) z=
0.3758

7.2.2 非线性方程组的求解 对于非线性方程组F(X)=0,用fsolve函数求其数值解。 fsolve函数的调用格式为:
X=fsolve('fun',X0,option) 其中X为返回的解,fun是用于定义需求解的非线性方程组的
函数文件名,X0是求根过程的初值,option为最优化工具 箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项,用户可 以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某 个选项,则可以调用optimset()函数来完成。例如, Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式,其中 ‘off’为不显示,‘iter’表示每步都显示,‘final’只显示 最终结果。optimset(‘Display’,‘off’)将设定Display选项为 ‘off’。

例7-9 求下列非线性方程组在(0.5,0.5) 附近的数值解。 (1) 建立函数文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在给定的初值x0=0.5,y0=0.5下,调用fsolve函数求方程 的根。
x=fsolve('myfun',[0.5,0.5]',optimset('Display','off')) x=
0.6354 0.3734

将求得的解代回原方程,可以检验结果是否正确,命令如下: q=myfun(x) q=
1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。

7.3 常微分方程初值问题的数值解法 7.3.1 龙格-库塔法简介 7.3.2 龙格-库塔法的实现
基于龙格-库塔法,MATLAB提供了求常微分方程数值 解的函数,一般调用格式为:
[t,y]=ode23('fname',tspan,y0)
[t,y]=ode45('fname',tspan,y0) 其中fname是定义f(t,y)的函数文件名,该函数文件必须返回
一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。y0是初始 状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。

例7-10 设有初值问题,试求其数值解,并与精确解相比较 (精确解为y(t)=)。 (1) 建立函数文件funt.m。

function yp=funt(t,y)

yp=(y^2-t-2)/4/(t+1);

(2) 求解微分方程。

t0=0;tf=10;

y0=2;

[t,y]=ode23('funt',[t0,tf],y0); %求数值解

y1=sqrt(t+1)+1;

%求精确解

t'

y'

y1'

y为数值解,y1为精确值,显然两者近似。

例7-11 求解著名的Van der Pol方程。 例7-12 有Lorenz模型的状态方程,试绘制系统相平面图。

7.4 函数极值
MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值的函数 fmin和fmins,?它们分别用于单变量函数和多变量函数的 最小值,其调用格式为:
x=fmin('fname',x1,x2)
x=fmins('fname',x0)
这两个函数的调用格式相似。其中fmin函数用于求单变量函 数的最小值点。fname是被最小化的目标函数名,x1和x2 限定自变量的取值范围。fmins函数用于求多变量函数的 最小值点,x0是求解的初始值向量。

MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数,但只要注意 到-f(x)在区间(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值, 所以fmin(f,x1,x2)返回函数f(x)在区间(x1,x2)上的最大值。

例7-13 求f(x)=x3-2x-5在[0,5]内的最小值点。 (1) 建立函数文件mymin.m。 function fx=mymin(x) fx=x.^3-2*x-5; (2) 调用fmin函数求最小值点。 x=fmin('mymin',0,5) x= 0.8165


相关文档

最新2019-第7章MATLAB解方程与函数极值77757-PPT课件
最新2019-第7章MATLAB解方程与函数极值77716-PPT课件
最新2019-第7章MATLAB解方程与函数极值77980-PPT课件
2019-第7章MATLAB解方程与函数极值-文档资料
2019-Matlab课件第4章 MATLAB文件操作-PPT精选文档-文档资料
2019-matlab7教程课件第4章字符串-PPT文档资料-文档资料
2019年-matlab7教程课件第7章程序设计-文档资料-PPT精选文档
2019-第12章MATLAB的学科应用-PPT课件-文档资料
2019-Matlab课件第11章 MATLAB图形用户界面设计-PPT精选文档-文档资料
2019-三章MATLAB程序设计ppt课件-文档资料
电脑版