江苏省淮安市清江中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析

2014-2015 学年江苏省淮安市清江中学高二(上)期末数学试卷 (文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位 置上. 1.命题“? x<2,x >4”的否定是 2.抛物线 y=x 的准线方程是
2 2

. .

3.在校英语节演讲比赛中,七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图(如图所示) ,去 掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 .

4.若复数 z=a ﹣4+(a﹣2)i(a∈R)是纯虚数,则|z|=

2



5.某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,数量分别为 450、750、600,用分层抽样 从三个车间中抽取一个容量为 n 的样本,且每个产品被抽到的概率为 0.02,则应从乙车间 抽产品数量为 . 6.如图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 .

7.已知曲线 y=lnx 在点 P 处的切线经过原点,则此切线的方程为



8.一只蚂蚁在高为 3,两底分别为 3 和 6 的直角梯形区域内随机爬行,则其恰在离四个顶 点距离都大于 1 的地方的概率为 .

9.已知等比数列{an}中,有 列{bn}中,有
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成立.类似地,在等差数

成立.

10.已知 g(x)=x ﹣x ﹣x﹣1,如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M,则 满足该不等式的最大整数 M= .

11. “﹣4<a<2”是“方程

+

=1 表示椭圆”的

条件. (填“充分不必

要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) 12.函数 f(x)=sinx﹣ 是 . cosx﹣tx 在[0,π]上单调递减,则实数 t 的取值范围

13.椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点 F,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P

满足 PF=AF,则

﹣2(lnb﹣lna)的范围是



14. 函数 f (x)= +f(﹣2015)﹣f′(﹣2015)=

+x (x∈R) , 其导函数为 f′ (x) , 则f (2015)+f′(2015) .

3

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.设 p:复数 z=(1﹣2m)+(m+2)i 在复平面上对应的点在第二或第四象限;q:函数 g (x)=x +mx +(m+ )x+6 在 R 上有极大值点和极小值点各一个.求使“p 且 q”为真命题的 实数 m 的取值范围. 16.高二年级从参加期末考试的学生中抽出 60 名学生,并统计了他们的物理成绩(成绩均 为整数且满分为 100 分) ,把其中不低于 50 分的分成五段[50,60) ,[60,70)…[90,100] 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)根据江苏省高中学业水平测试要求,成绩低于 60 分属于 C 级,需要补考,求抽取的 60 名学生中需要补考的学生人数; (2)年级规定,本次考试 80 分及以上为优秀,估计这次考试物理学科优秀率; (3)根据(1) ,从参加补考的学生中选两人,求他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率.
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17.已知关于 x 的一次函数 y=mx+n. (1)设集合 P={﹣4,﹣1,1,2,3}和 Q={﹣4,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作 为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是减函数的概率;

(2)实数 m,n 满足条件

求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、四象限的概率.

18.如图,在半径为 30cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD,其中点 C、 D 在圆弧上,点 A、B 在两半径上,现将此矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 BC 为母线的圆柱形罐 子的侧面(不计剪裁和拼接损耗) ,设矩形的边长 BC=xcm 圆柱的体积为 Vcm . (1)写出体积 V 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大?
3

19.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0) ,以抛物线 y =8x 的焦点为顶点,且离心率为

2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)已知 A、B 为椭圆上的点,且直线 AB 垂直于 x 轴,直线 l:x=4 与 x 轴交于点 N,直线 AF 与 BN 交于点 M. (ⅰ)求证:点 M 恒在椭圆 C 上; (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.

20.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=﹣ (a>0) ,设 F(x)=f(x)+g(x) (Ⅰ)求函数 F(x)的单调区间 (Ⅱ)若以函数 y=F(x) (x∈(0,3])图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的最小值 (Ⅲ)是否存在实数 m,使得函数 y=g( )+m﹣1 的图象与函数 y=f(1+x )的图象恰
2

有四个不同交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

2014-2015 学年江苏省淮安市清江中学高二 (上) 期末数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题纸相应位 置上. 1.命题“? x<2,x >4”的否定是 ? x<2,x ≤4 . 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解答: 解:因为特称命题的否定是全称命题.所以,命题“? x<2,x >4”的否定是: 2 ? x<2,x ≤4. 2 故答案为:? x<2,x ≤4. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 2.抛物线 y=x 的准线方程是
2 2 2 2

4y+1=0 .

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及 2p=1,再直接代入即可求出其准线 方程. 解答: 解:因为抛物线的标准方程为:x =y,焦点在 y 轴上; 所以:2p=1,即 p= , 所以: = , ∴准线方程 y=﹣ =﹣ ,即 4y+1=0. 故答案为:4y+1=0. 点评: 本题主要考查抛物线的基本性质.解决抛物线的题目时,一定要先判断焦点所在位 置. 3.在校英语节演讲比赛中,七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图(如图所示) ,去 掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差为 .
2

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据方差的定义,首先求出数据的平均数,由公式求方差. 解答: 解: = (84+84+86+84+87)=85 S = [3×(84﹣85) +(86﹣85) +(87﹣85) ]= 所以所剩数据的方差为 . 点评: 本题考查了方差的定义和公式,属于基础题. 4.若复数 z=a ﹣4+(a﹣2)i(a∈R)是纯虚数,则|z|= 4 . 考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵复数 z=a ﹣4+(a﹣2)i(a∈R)是纯虚数, ∴ ,解得 a=﹣2.
2 2 2 2 2 2

∴z=﹣4i. 则|z|=4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了纯虚数的定义、模的计算公式,属于基础题. 5.某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,数量分别为 450、750、600,用分层抽样 从三个车间中抽取一个容量为 n 的样本,且每个产品被抽到的概率为 0.02,则应从乙车间 抽产品数量为 15 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义以及概率的关系即可得到结论. 解答: 解:∵个产品被抽到的概率为 0.02, ∴应从乙车间抽产品数量为 750×0.02=15, 故答案为:15 点评: 本题主要考查分层抽样的应用,比较基础. 6.如图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 66 .

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行算法流程,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 k=11 时,满足条件 k >7,退出循环,输出 S 的值为 66. 解答: 解:模拟执行算法流程,可得 S=0,k=1 不满足条件 k>7,S=1,k=4 不满足条件 k>7,S=17,k=7 不满足条件 k>7,S=66,k=11 满足条件 k>7,退出循环,输出 S 的值为 66. 故答案为:66. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法, 依次写出每次循环得到的 S, k 的值是解题的关键, 属于基本知识的考查.

7.已知曲线 y=lnx 在点 P 处的切线经过原点,则此切线的方程为 y=



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用;直线与圆. 分析: 设 P(m,n) ,求出函数的导数,求得切线的斜率,运用点斜式方程求得切线方程, 由切线经过原点,可得 n=1,由切点在曲线上,求得 m,即可得到切线方程. 解答: 解:设 P(m,n) , y=lnx 的导数为 y′= , 即有在点 P 处的切线斜率为 k= , 则切线方程为 y﹣n= (x﹣m) , 又切线经过原点,即有 n=1, 由于 lnm=n,解得 m=e,

则有切线方程为 y= . 故答案为:y= . 点评: 本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义,运用点斜式方程和 正确求导是解题的关键. 8.一只蚂蚁在高为 3,两底分别为 3 和 6 的直角梯形区域内随机爬行,则其恰在离四个顶 点距离都大于 1 的地方的概率为 1﹣ .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 以四个顶点为圆心,1 为半径作圆,当蚂蚁在此区域外的区域随机爬行,离顶点的 距离大于 1,其面积为 ﹣π,再用几何概型公式即得本题的概率. ,

解答: 解: 如图由已知, 高为 3, 两底分别为 3 和 6 的直角梯形面积为

离四个顶点距离都大于 1 的区域是如图阴影部分,即以四个顶点为圆心,1 为半径作圆,当 蚂蚁在除此区域外的区域随机爬行,离顶点的距离大于 1 的部分,其面积为 = ﹣π,

∴蚂蚁恰在离四个顶点距离都大于 1 的地方的概率为 P=



故答案为:1﹣



点评: 本题以蚂蚁在正方形内爬行为例,求几何概型的概率.着重考查了图形面积的求法 和几何概型的概率求法等知识点,属于基础题. 9.已知等比数列{an}中,有 列{bn}中,有 成立. 成立.类似地,在等差数

考点: 类比推理. 专题: 综合题;推理和证明.

分析: 在等差数列中,考查的主要是若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq,那么对应的在等比数列 中考查的应该是若 m+n=p+q,则 bmbn=bpbq. 解答: 解:等差数列与等比数列的对应关系有:等差数列中的加法对应等比数列中的乘法, 等差数列中除法对应等比数列中的开方, 故此我们可以类比得到结论: 故答案为: . .

点评: 本题考查类比推理,掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键,本题 中由等差结论类比等比结论, 其运算关系由加类比乘, 解题的难点是找出两个对象特征的对 应,作出合乎情理的类比. 10.已知 g(x)=x ﹣x ﹣x﹣1,如果存在 x1,x2∈[0,2],使得 g(x1)﹣g(x2)≥M,则 满足该不等式的最大整数 M= ﹣3 . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求函数的导数,求出函数在[0,2]上的最大值和最小值即可. 解答: 解:函数的 f(x)的导数 g′(x)=3x ﹣2x﹣1, 由 g′(x)>0 得 x>1,此时函数单调递增, 由 g′(x)<0 得 0<x<1,此时函数单调递减, 即函数在[0,2]上的极小值为 g(1)=1﹣1﹣1﹣1=﹣2, ∵g(0)=﹣1,g(2)=1, ∴函数的最大值为 1,最小值为﹣2, 则[g(x1)﹣g(x2)]min=﹣2﹣1=﹣3, 故 M≤﹣3, 则满足该不等式的最大整数 M=﹣3, 故答案为:﹣3 点评: 本题主要考查函数的最值的求解,利用导数求函数的最大值和最小值是解决本题的 关键.
2 3 2

11. “﹣4<a<2”是“方程

+

=1 表示椭圆”的 必要不充分 条件. (填“充分不

必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要” ) 考点: 椭圆的标准方程;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 当 a=﹣1 时,a+4=2﹣a=3,方程

+

=1 是圆;由方程

+

=1 表示椭圆,



,由此能求出“﹣4<a<2”是“方程

+

=1 表示椭圆”的必要不充

分条件. 解答: 解:∵﹣4<a<2,∴ 当 a=﹣1 时,a+4=2﹣a=3, 方程 + =1 是圆, ,

∴“﹣4<a<2”推不出“方程

+

=1 表示椭圆” ,

∵方程

+

=1 表示椭圆,





∴解得﹣4<a<﹣1 或﹣1<a<2, ∴“方程 + =1 表示椭圆”? “﹣4<a<2” ,

∴“﹣4<a<2”是“方程

+

=1 表示椭圆”的必要不充分条件.

故答案为:必要不充分. 点评: 本题考查椭圆的性质的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”的合理运用. 12.函数 f(x)=sinx﹣ +∞) . cosx﹣tx 在[0,π]上单调递减,则实数 t 的取值范围是 [2,

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求出函数 f(x)的导数 f′(x)=cosx+ sinx﹣t,函数 f(x)在[0,π]上单调 递增可转化为 f′(x)≤0,即 cosx+ sinx﹣t≥0 在区间[0,π]上恒成立,变成求函数 的最值问题即可求解.

解答: 解:∵函数 f(x)=sinx﹣ cosx﹣tx 在[0,π]上单调递减, ∴函数 f(x)的导数 f′(x)≤0,在区间[0,π]上恒成立, 求得 f′(x)=cosx+ sinx﹣t, 所以 cosx+ sinx﹣t≤0 在区间[0,π]上恒成立 即 t≥cosx+ sinx 对 x∈[0,π]总成立, 记函数 g(x)=cosx+ sinx=2sin(x+ ) ,易求得 g(x)在[0,π]的最大值为 2,

从而 t≥2, 故答案为:[2,+∞) . 点评: 利用导数工具讨论函数的单调性,是求函数的值域和最值,从而得出参数 t 的取值 范围, 是解决此种问题的常用方法, 解决本题同时应注意研究导函数的单调性得出导数的正 负,从而得出原函数的单调性的技巧,本题属于基本知识的考查.

13.椭圆

+

=1(a>b>0)的右焦点 F,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在点 P

满足 PF=AF,则

﹣2(lnb﹣lna)的范围是 [ ﹣ln ,+∞) .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆的右焦点和右准线,求得 AF 的长,再由椭圆的性质,可得 a﹣c≤|PF|≤ a+c,进而得到 a≤2c,由 a,b,c 的关系,可得 a,b 的关系,令 t= , (0<t f(t)=t ﹣2lnt,运用导数判断单调性,即可得到所求范围. 解答: 解:椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点 F(c,0) ,右准线为 x= ,
2

) ,则

由题意|PF|=|AF|=

﹣c,

由椭圆的性质可得 a﹣c≤|PF|≤a+c, 即有 a﹣c≤ ﹣c≤a+c,

即有 c<a+c 且 a﹣c≤c, 则有 a ≤4c =4(a ﹣b ) , 即为 0< ≤ ,
2 2 2 2 2



﹣2(lnb﹣lna)=( ) ﹣2ln ,

令 t= , (0<t

) ,则 f(t)=t ﹣2lnt,

2

由 f′(t)=2t﹣ 在(0,

]小于 0,则有 f(t)在(0,

]递减,

故 f(t)的范围为[ ﹣ln ,+∞) . 故答案为:[ ﹣ln ,+∞) . 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的准线方程的运用,椭圆上一点到焦点 的距离的最值,同时考查导数的运用:判断单调性,属于中档题.

14. 函数 f (x)=

+x (x∈R) , 其导函数为 f′ (x) , 则f (2015)+f′(2015)

3

+f(﹣2015)﹣f′(﹣2015)= 4026 . 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先化简 f(x) ,再求出 f(﹣x) ,得到 f(x)+f(﹣x)=2014+2012=4026,然后求 导,得到导函数为偶函数,问题得以解决. 解答: 解:f(x)= ∴f(﹣x)=2014﹣ +x = ﹣(﹣x) =2012+
3 3 3

+x =2014﹣ +x ,

3

﹣x ,

3

∴f(x)+f(﹣x)=2014+2012=4026 ∴f′(x)= ﹣3x ,
2

∴f′(﹣x)=

﹣3x ,

2

∴f′(x)=f′(﹣x) ∴f(2015)+f′(2015)+f(﹣2015)﹣f′(﹣2015)=4026 故答案为:4026 点评: 本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用,属于中档题 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.设 p:复数 z=(1﹣2m)+(m+2)i 在复平面上对应的点在第二或第四象限; q:函数 g (x)=x +mx +(m+ )x+6 在 R 上有极大值点和极小值点各一个.求使“p 且 q”为真命题的 实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑.
3 2

分析: 先根据复数的定义,函数导数在极值点处的取值情况求出命题 p,q 下的 m 的取值范 围,再根据 p 且 q 为真,对所得 m 的取值范围求交集即可. 解答: 解:∵复数 z=(1﹣2m)+(m+2)i 在复平面上对应的点在第二或第四象限, ∴(1﹣2m) (m+2)<0,即 m<﹣2 或 ∵函数 ∴ .…(5 分) 在 R 上有极大值点和极小值点各一个, 有两个不同的解,即△>0.

由△>0,得 m<﹣1 或 m>4 …(10 分) 要使“p 且 q”为真命题,则 p,q 都是真命题,…(12 分) ∴ .

∴m 的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(4,+∞) . …(14 分) 点评: 考查复数的定义, 极值的概念, 及导函数在极值点处的取值情况, p 且 q 的真假和 p, q 真假的关系. 16.高二年级从参加期末考试的学生中抽出 60 名学生,并统计了他们的物理成绩(成绩均 为整数且满分为 100 分) ,把其中不低于 50 分的分成五段[50,60) ,[60,70)…[90,100] 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)根据江苏省高中学业水平测试要求,成绩低于 60 分属于 C 级,需要补考,求抽取的 60 名学生中需要补考的学生人数; (2)年级规定,本次考试 80 分及以上为优秀,估计这次考试物理学科优秀率; (3)根据(1) ,从参加补考的学生中选两人,求他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率.

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率和为 1,求出低于 50 分的频率,计算对应的频数即可; (2)根据题意,计算成绩在 80 及以上的分数的频率即可; (3)求出“成绩低于 50 分”及“[50,60) ”的人数是多少,再利用古典概型计算对应的概 率. 解答: 解: (1)因为各组的频率和等于 1,故低于 50 分的频率为: f1=1﹣(0.015×2+0.03+0.025+0.005)×10=0.1,…(3 分) 所以低于 60 分的人数为

60×(0.1+0.15)=15(人) ;…(5 分) (2)依题意,成绩 80 及以上的分数所在的第五、六组(低于 50 分的为第一组) , 频率和为 (0.025+0.005)×10=0.3, 所以,抽样学生成绩的优秀率是 30%,…(8 分) 于是,可以估计这次考试物理学科及格率约为 30%;…(9 分) (3) “成绩低于 50 分”及“[50,60) ”的人数分别是 6,9, 所以从参加补考的学生中选两人,他们成绩至少有一个不低于 50 分的概率为: P=1﹣ = .…(14 分)

点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了古典概型的应用问题,是综合性 题目. 17.已知关于 x 的一次函数 y=mx+n. (1)设集合 P={﹣4,﹣1,1,2,3}和 Q={﹣4,3},分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作 为 m 和 n,求函数 y=mx+n 是减函数的概率;

(2)实数 m,n 满足条件

求函数 y=mx+n 的图象经过一、二、四象限的概率.

考点: 几何概型;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由题意,写出所有满足条件的事件,由古典概型公式解答; (2)画出平面区域,计算区域面积,由几何概型的公式解答. 解答: 解: (1)由已知,抽取的全部结果表示为(m,n) ,则基本事件有: (﹣4,﹣4) , (﹣ 4,3) , (﹣1,﹣4) , (﹣1,3) , (1,﹣4) , (1,3) , (2,﹣4) , (2,3) , (3,﹣4) , (3,3) , 共 10 个基本事件,设使函数为减函数的事件为 A,m<0,则 A 包含的基本事件有: (﹣4, ﹣4) , (﹣4, 3) , (﹣1, ﹣4) , (﹣1, 3) , 共 4 个基本事件, 由古典概型公式, P (A) = (7 分) . …

(2)m、n 满足条件

的区域如图所示:

要使函数的图象过一、二、四象限,则 m<0,n>0,故使函数图象过一、二、四象限的(m, n)的区域为第二象限的阴影部分, 由几何概型的概率公式得所求事件的概率为 .…(14 分)

点评: 本题考查了古典概型、几何概型的公式的运用;古典概型关键是明确事件的个数; 几何概型关键是明确事件的测度,然后由公式解答. 18.如图,在半径为 30cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD,其中点 C、 D 在圆弧上,点 A、B 在两半径上,现将此矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 BC 为母线的圆柱形罐 子的侧面(不计剪裁和拼接损耗) ,设矩形的边长 BC=xcm 圆柱的体积为 Vcm . (1)写出体积 V 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,才能使做出的圆柱形罐子体积 V 最大?
3

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 应用题;导数的综合应用. 分析: (1)连接 OC,在 Rt△OCB 中,由 BC=x,利用勾股定理可得 OB,设圆柱底面半径为 r,则π r =900﹣x ,利用 V=πr ? x(其中 0<x<30)即可得出. (2)利用导数 V′,得出其单调性即可. 解答: 解: (1)连结 OC,因为 BC=x,所以 设圆柱底面半径为 r,则
2 2 2 2 2 2


2

,即π r =900﹣x ,

所以,

其中 0<x<30.…(7 分)

(2)由 又在 所以, 所以,当

,得 上 V′>0,在 在

, 上 V′<0, 上是增函数,在 上是减函数,

时,V 有最大值..…(16 分)

点评: 熟练掌握勾股定理、圆柱的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值 等是解题的关键.

19.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0) ,以抛物线 y =8x 的焦点为顶点,且离心率为

2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)已知 A、B 为椭圆上的点,且直线 AB 垂直于 x 轴,直线 l:x=4 与 x 轴交于点 N,直线 AF 与 BN 交于点 M. (ⅰ)求证:点 M 恒在椭圆 C 上; (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)求出抛物线的焦点,由题意可得 a=2,再由离心率公式可得 c,进而得到 b, 即有椭圆方程; (2) (i)设 A(m,n) ,则 B(m,﹣n)代入椭圆方程,通过直线方程求得交点 M,代入椭 圆方程的左边,检验即可得证; (ⅱ)设 AM 的方程为 x=ty+1,代入椭圆方程,设 A(x1,y1) ,M(x2,y2) ,求得|y1﹣y2|, 通过对勾函数的单调性,即可得到面积的最大值. 解答: 解: (1)因为抛物线 y =8x 的焦点为(2,0) , 又椭圆以抛物线焦点为顶点, 所以 a=2,又 e= = ,所以 c=1,b =3,
2 2

∴椭圆 E 的方程为

=1.

(2) (i)证明:由题意得 F(1,0) 、N(4,0) .

设 A(m,n) ,则 B(m,﹣n) (n≠0) ,

=1.

AF 与 BN 的方程分别为:n(x﹣1)﹣(m﹣1)y=0, n(x﹣4)﹣(m﹣4)y=0, 设 M(x0,y0) ,则有 由于 = ,得 x0= ,

=1, 所以点 M 恒在椭圆 C 上; (ⅱ)解:设 AM 的方程为 x=ty+1,代入 =1,得(3t +4)y +6ty﹣9=0,
2 2

设 A(x1,y1) ,M(x2,y2) ,解方程得,y1=



|y1﹣y2|=

,令

=λ(λ≥1) ,



=λ(λ≥1) ,则|y1﹣y2|=



因为函数 y=3λ+

在[1,+∞)上为增函数, 有最小值 4, = ,

所以,当λ=1 即 t=0 时,y=3λ+ S△AMN=

所以△AMN 面积最大值为 .

点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程, 求出交点,考查函数的单调性的运用,属于中档题.

20.已知函数 f(x)=lnx,g(x)=﹣ (a>0) ,设 F(x)=f(x)+g(x) (Ⅰ)求函数 F(x)的单调区间 (Ⅱ)若以函数 y=F(x) (x∈(0,3])图象上任意一点 P(x0,y0)为切点的切线的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的最小值 (Ⅲ)是否存在实数 m,使得函数 y=g( )+m﹣1 的图象与函数 y=f(1+x )的图象恰
2

有四个不同交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)先求出其导函数,根据导函数的正负即可求出其单调区间; (II)先把问题转化为 F'(x0)= ≤ 恒成立;再结合二次函数即可求出结论;

(III)先根据条件把问题转化为 m=ln(1+x )+ x + 有四个不同的根;求出其导函数,找 到其极值点,根据极值即可得到结论. 解答: 解: (I)∵F(x)=f(x)+g(x)=lnx﹣ , ∴F'(x)= + = , (x>0) ;

2

2

∵x>0,a>0, ∴F'(x)>0, ∴F(x)在(0,+∞)上递增; (II)∵F'(x)= , (0<x≤3) ,

则 k=F'(x0)=

≤ 恒成立;

即 a≤ (

﹣2x0)在(0,3]上恒成立, ﹣2x0)取到最小值﹣ ,

当 x0=1 时, ( ∴a≤﹣ .

即 a 的最大值为﹣ . (III)y=g( 四个不同的交点, 即,﹣ x +m﹣ =ln(1+x )有四个不同的根,亦即 m=ln(1+x )+ x + 有四个不同的根; 令 G(x)=ln(1+x )+ x + ;
2 2 2 2 2 2

)+m﹣1=﹣ x +m﹣ 的图象与函数 y=f(1+x )=ln(1+x )的图象恰有

2

2

2

则 G'(x)=

+x=



∴x>0 时,G′(x)>0,G(x)递增,x<0 时,G′(x)<0,G(x)递减, ∴G(x)min=G(0)= >0, ∴不存在实数 m,使得函数 y=g( )+m﹣1 的图象与函数 y=f(1+x )的图象恰有四个
2

不同交点. 点评: 本题主要考察了应用导数求函数的单调区间,极值,最值,以及恒成立问题的判断.


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