数学必修一北师大版第二章函数奇偶性--含提升练习(共25张PPT)_图文

课程引入:对称图形
1.什么叫做轴对称图形?
如果把一个图形沿一条直线折起来,直线两侧部分能够互相重合, 那么这个图形叫做轴对称图形
2.什么叫做中心对称图形?
如果一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的 图形能和原图形完全重合,那么这个图形叫做中心 对称图形。

观察下列图片,请大家说说它们的对称性?
XX教 师 节 班 级 活动 主持词 班 会 既 是 抒 发学生 对老师 的感激 之情,也 是激励 学生更 加热爱 老师、 尊敬老师,努力
向 上 ,以 下 是 由XX的 XX为 大家整 理“”,欢 迎大 家阅读 ,仅供 大家参 考。 亲 爱 的 老 师 们、同 学们: 合 :大 家 好 !
女 :在 这 秋 风 送爽,硕 果飘香 的九月 。 男 :我 们 高 兴 地迎来 了第二 十七个 教师节 。 女 :作 为 教 师 ,我们喜 欢九月 ,因为 九月不 仅有耕 耘的甜 蜜,更有 收获的 幸福。 男 :我 们 喜 欢 九月,因 为九月 不仅有 饱满的 果实,更 有学 生最深 的祝福 。 女 :此 时 此 刻 ,让我们 用诚挚 的情感 祝愿所 有老师 ——合 :节日 快乐! 男 :与 此 同 时 ,也祝愿 我们××的 教 育事业 在构建 和谐、 富裕新 ××的进 行曲中 高歌猛
进 ,再 谱 华 章 ! 女 :今 天 ,我 们 欢聚一 堂,庆 祝教师 自己的 节日。 男 :今 天 ,我 们 载歌载 舞,尽 情展示 教师的 风采。
女 :××市 XX年 教 师 节 联欢 会 合 :现 在 开 始 !
1、 男 :首 先 请 欣赏 由市直 幼儿园 的××等 老师为 我们 带 来 的 舞 蹈 《草原 晨曲》 。
2、 汉 水 洒 齐 鲁,雪 域立功 勋。甘 为孺子 牛,默默 苦耕耘 。孔繁 森,一位 全心为民的公 仆 ,一 位 造 福 于民的 公仆,我 们不禁 要为他 高唱赞 歌。下 面请欣 赏由三 小的××老 师
为 我 们 表 演 女声独 唱《公 仆赞》 3、 男 :在 南 国 的热 带雨林 里有

可以找出对称轴吗?

思考:扑克牌都是中心对称图形吗?

小试牛刀:轴对称图形?中心对称图形?

剪纸

银行商标

汽车商标

蝴蝶

观察函数图象,请大家思考并讨论以下问题: (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗?
f (x) ? x2

观察函数图象,请大家思考并讨论以下问题: (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗? (2) 如何利用函数解析式来描述函数图象的这种对称性?

B' P' A'

f (x) ? x2
B P A

横坐标互为相反数,
纵坐标相等。

A(1,1) A' (?1,1)
f (1) ? f (?1)
B(2,4) B' (?2,4)
f (?2) ? f (2)
P(x, y) P' (?x, y)
f (?x) ? f (x)
自变量互为相反数, 函数值相等。

观察函数图象,请大家思考并讨论以下问题: (1) 这两个函数图象有什么共同特征吗?

y

4f (xf )(x?) 1? 1

3

xx

2

1

-3 -2 -1 o 1 2 3 x
-1 -2
-3

y f (x) ? x
4 3 2 1
-3 -2 -1 o 1 2 3 x
-1 -2
-3

注: y ? f (x) 是奇函数,0 在定义域内

f (0) ? 0

观察函数图象,请大家思考并讨论以下问题:

(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗?

(2) 如何利用函数解析式来描述函数图象的这种对称性?

y
4f (xf )(x?) 1? 1

3

xx

2B

1 AP

-3 -2 -1 o 1 2 3 x

P' A' B'

-1 -2

-3

A(1,1) A' (?1,?1)

f (1) ? ? f (?1)

B(1 ,2) B' (? 1 ,?2)

f

2 (?

1

)

?

?

f

(

1 )2

2

2

P(x, y) P' (?x,? y)

奇函f数(?:xf)(??x?)f?(x?) f (x)

横坐标互为相反数,
纵坐标互为相反数。

自变量互为相反数, 函数值互为相反数。

课程引入:函数图形的对称性

y

f (x)=x2

y

f (x)=|x|

O

x

O

x

一个函数的图像关于y轴对称的函数称为偶函数

y

f (x) ? 1

43

x

2

1

y f (x) ? x
43 2 1

-3 -2 -1

o1 2 3 x
-1 -2

-3 -2 - o 1 2 3 x
1 -1 -2

-3

-3

一个函数的图像关于原点中心对称的函数称为奇函数

小试牛刀:奇函数?偶函数?

y

O

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

例题:已知函数y=f(x)右边的图象如图黄色线段:
(1)若是f(x)偶函数,它在y轴左边的图象
(1)若是f(x)奇函数,它在y轴左边的图象 y
偶函数

O 奇函数

x

课程引入:偶函数的函数表达式

y
f (x)=x2

y
f (-x)=(-x)2 =x2

O

x

O

x

上述图形f (x)= f (-x)= x2 图形属于偶函数的性质
偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x,都有f (x)= f (-x),那么函数f(x)就叫做偶函数.

课程引入:函数表达式
相似的? 奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有 f (x)= -f (-x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
偶函数 f (-x)= f (x) 奇函数 f (-x)= -f (x)
共同性质:定义域关于原点对称

判断函数奇偶性的方法

(1)符号定义法:

偶函数 奇函数

f (x)= f (-x) f (x)= -f (-x)

判断函数奇偶性的方法
类比对称图形
(2)图像法:偶函数:轴对称图形
奇函数:中心对称图形

课堂小结
1.偶函数

y ? f (x) 是偶函数

f (?x) ? f (x)

y ? f (x) 的图象关于 y 轴
对称

2.奇函数

y ? f (x) 是奇函数

f (?x) ? ? f (x)

y ? f (x) 的图象关于原点 对称

注: y ? f (x) 是奇函数,0 在定义域内

f (0) ? 0

判断函数奇偶性的方法

(3)性质法:用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性 【提醒】“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的.

奇函数与 奇函数

奇函数与偶 函数



奇函数



奇函数



偶函数

奇函数



偶函数

奇函数

偶函数与 偶函数 偶函数
偶函数 偶函数
偶函数

练习:1、 说出下列函数的奇偶性:

?1? f ? x ? ? ? x ? 1? 1 ? x .
1? x
(2) f ? x ? ? lg(1 ? x 2 ) .
x?2 ?2

(3)f

?x?

?

??x 2 ? x, x<0,

? ??

?

x

2

?

x, x>0.

练习1解析

【思路点拨】先求定义域,看定义域是否关于原点对称,在定

义域下,解析式带绝对值号的先尽量去掉,再判断f(-x)与f(x)

的关系,分段函数应分情况判断.

1? x
【规范解答】(1)由
1? x

≥0,得-1<x≤1,

因此函数的定义域为(-1,1],不关于原点对称,故f(x)为非奇非偶函数.

(2)由

??1 ?

?

x

2>0,

得-1<x<0或0<x<1.

∴函数f(??x)x的?定2 义? 域2,为(-1,0)∪(0,1).

? ? lg 1? x2

此时x-2<0,|x-2|-2=-x,∴ f ? x ? ?

.

? ? 又∵

f

??x?

?

lg[1? ??x?2]
?

lg ?

?x 1? x

2

? ?f ?x?,

x

?x

∴函数f(x)为奇函数.

(3)显然函数f(x)的定义域为:(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, ∵当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0, 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知:对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.

练习2:判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)偶函数图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原点.( )
(2)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( )
(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( )
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对 称.( )
【解析】(1)错误.当奇函数的定义域不含0时,则图像不过原点. (2)错误.函数f(x)的定义域不关于原点对称. (3)正确.函数y=f(x+a)关于直线x=0对称,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. (4)正确.函数y=f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.

练习3:选择题

(1)已知函数y=f(x)是奇函数,则函数y=f(x+1)的图像的对称中心是( )

(A)(1,0) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1)

(2)函数 f ?x? ? 1 ? x 的图像关于( )

(A)y轴对称x

(B)直线y=-x对称

(C)坐标原点对称 (D)直线y=x对称

(3)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)的值为( )

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

【解析】(1)B.函数y=f(x)的图像关于点(0,0)对称,函数y=f(x+1)的图像可由y=f(x)的图像向左平移1

个单位得到,故函数y=f(x+1)的图像的对称中心为(-1,0).

(2)选C.函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f ??x? ? 1 ? x ? ?( 1 ? x) ? ?f ?x?,

∴函数f(x)是奇函数.

?x

x

(3)选B.∵f(x+4)=f(x),

∴f(x)是以4为周期的周期函数,∴f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(8)=f(0)=0,

故选B.

基础知识总结:函数奇偶性
1.奇函数、偶函数的定义与性质

奇函数

偶函数

定 图像法 义 符号表示
定义域

图像关于_原___点_对称

图像关于y__轴__对称

f(-x)=-f(x)

f(-x)=f(x)

关于_原__点__对称

性 单调性 质

在关于原点对称的两个区间上

有_相__同__的单调性

有相___反__的单调性

图像与原点 若奇函数f(x)在原点有意义,

的关系

则f(0)=0__

课时小结: 1、奇函数与偶函数的判定方法有哪些? 2、如何判断一个函数的奇偶性?


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