甘肃省民乐一中2014-2015学年高三第一次诊断考试数学(文)试卷

民乐一中 2014——2015 学年高三年级第一次诊断考试 数学试卷(文科)
命题人:赵思博 林志军

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x | ( x ? 1) 2 ? 4, x ? N}, P ? {-1,0,1,2,3} ,则 M ? P A. {0,1,2} 2.函数 f ( x) ? A. (? ,??) B. {-1,0,1,2} C.{-1,0,2,3} =( )

D.{0,1,2,3}

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是( )
B. (? ,1)

1 3

1 3

C. ( ? , ) )

1 1 3 3

D. (??,? )

1 3

3.“ p 或 q 是假命题”是“非 p 为真命题”的( A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( A. y ?

1 x

B. y ? e

?x

C. y ? ? x ? 1
2

D. y ? lg | x |

5.函数 f ( x ) ? log 2 x ? A. (0,1) 6.设函数 f(x)=? A.-3

1 的一个零点落在下列哪个区间( x
B. (1,2) C. (2,3)

) D. (3,4) ) D.± 1 )

? x,x≥0, ? -x,x<0,
B.± 3

若 f(a)+f(-1)=2,则 a=( C.-1

7.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=( A.1
1 .2

B.-1

C.-2 )

D.2

8.已知 a ? 2 , b ? ( ) A. b ? a ? c

1 2

? 0.2

, c ? 2 log 5 2, 则 a, b, c 的大小关系为(
C. c ? b ? a

B. c ? a ? b

D. b ? c ? a

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?a x , (x ? 1) ? 9. 已知 f (x ) ? ? 是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取值范围为 ( a (4 ? ) x ? 2, ( x ? 1) ? ? 2
A.(1,+∞) B.(1,8) ) C.(4,8) D.[4,8) 10.函数 y ? 2 x ? x 2 的图象大致是(

)

11.已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 f (1) ? 1, f ?(1) ? 1, 则 f ( x) ? x 的解集是( A. (0,1) 12.函数 y ? ( A. 2 ) B. 4 C. 6 D. 8 B. ( ? 1,0) ? (0,1) C.(1,??)



D.(??,?1) ? (1,??)

1 的图像与函数 y ? 2 sin ?x (?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于 x ?1

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 命题 “ ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 1 ? 0 ” 的否定是 14. 已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 切于点 (1,3) , 则 b 的值为
3

2

。 。

?e x ?1 , ( x ? 1) ? 15. 设函数 f ( x) ? ? 1 ,则使得 f ( x) ? 2 成立的 x 的取值范围是 3 ? ? x , ( x ? 1)
x 16. 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 .若同时满足条件:



① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ; ② ?x ? (??,?4), f ( x) g ( x) ? 0 , 则 m 的取值范围是 。

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三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤, 写在答题纸的相应位置. 17. (本小题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 (1)当 a ? 1 时,求集合 M ; (2)当 3 ? M且5 ? M 时,求实数 a 的范围. 18. (本小题满分 12 分)已知 c ? 0 ,设命题 p :函数 y ? c x 为减函数.命题 q :当 x ? ? ,2? 2 时,函数 f ( x ) ? x ? 围. 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ? x ? ax ?
2

ax ? 5 ? 0 的解集为 M . x2 ? a

?1 ? ? ?

1 1 ? 恒成立.如果“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求 c 的取值范 x c a 1 ? 在区间 ?0,1? 上的最大值是 2,求实 4 2

数 a 的值. 20. (本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? (1)求 b 的值; (2)用定义法证明函数 f ( x) 在 R 上是减函数; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t ? 2t ) ? f (2t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? 2

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x . 2

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得极值,求实数 a 的值; (2)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (3) 当a ? ? 的取值范围.

1 1 时, 关于 x 的方程 f ( x) ? ? x ? b 在 ?1,4? 上有两个不相等的实数根, 求实数 b 2 2

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请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,

F A

BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在
BA 的延长线上.
(1)若

EC 1 ED 1 DC ? , ? ,求 的值; EB 3 EA 2 AB
2

D

B

(2)若 EF

? FA ? FB ,证明: EF // CD .

E

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ( ? 为参数) , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? y ? 10 sin ?

? ? 2 cos? ? 6 sin ? .
(1)将曲线 C1 的参数方程化为普通方程,将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

? ,求 a 的值.

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民乐一中 2014——2015 学年高三年级第一次诊断考试 数学试卷(文科)答案
一、选择题: 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 B 6 D 7 B 8 C 9 D 10 A 11 C 12 D

二、填空题: 13. ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 三、解答题: 17. (1)当 a ? 1 时, 14. 3 15.

(??, 8?

16.

? 4 ? m ? ?2

x?5 x?5 ?0? ? 0 ? M ? (??,?1) ? (1,5) ……6 分 2 ( x ? 1)(x ? 1) x ?1

5 3a ? 5 3 ? 0 ? a ? 5 或a ? 9 (2) 3 ? M ? ?0? 9?a a ?9 3 5a ? 5 5? M ? ? 0 不成立. 25 ? a 5a ? 5 a ?1 ?0? ? 0 ? a ? 1或a ? 25 又 25 ? a a ? 25 a?
5 ? M ? a ? 1或a ? 25 不成立 ? 1 ? a ? 25
综上可得, 1 ? a ?

5 或9 ? a ? 25 3

……………………12 分

18.解:由命题 p 为真知,0<c<1, 1 5 由命题 q 为真知,2≤x+ ≤ , x 2 1 1 要使此式恒成立,需 <2,即 c> , c 2 若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题, 则 p、q 中必有一真一假, 1 当 p 真 q 假时,c 的取值范围是 0<c≤ ; 2 当 p 假 q 真时,c 的取值范围是 c≥1. 1 ? ? 综上可知,c 的取值范围是?c|0<c≤2或c≥1?.
? ?

……………………6 分

……………………12 分

19. a ? ?6或a ?

10 3
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a a a2 a 1 f ( x ) ? ?( x ? ) 2 ? ? ? ,对称轴 x ? 2 2 4 4 2
(1)

a a 1 ? 0 即 a ? 0 时, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递减, f ( x) max ? f (0) ? ? ? ? 2 2 4 2
……………4 分

此时可得 a ? ?6

a a a2 a 1 ? ? ?2 (2) 0 ? ? 1 即 0 ? a ? 2 时, f ( x) max ? f ( ) ? 2 2 4 4 2
此时可得 a ? ?2 或 a ? 3 ,与 0 ? a ? 2 矛盾,舍去。 (3) ……………8 分

a a 1 ? 1 即 a ? 2 时, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递增, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a ? ? ? 2 4 2 2 10 此时可得 a ? 3 10 综上所述: a ? ?6或a ? ……………12 分 3
20.(1)由 f (0) ? 0 可得 b ? 1 (2)略 (3)可得 f (t ? 2t ) ? ? f (2t ? k ) ? f (k ? 2t ) ,
2 2 2

……………………3 分 ……………………8 分

? 函数 f ( x) 为 R 上的减函数
所以有 ?t ? R, 3t ? 2t ? k ? 0
2

………………10 分

所以

? ? 4 ? 12 k ? 0

解得 k ? ?

1 3

……………………12 分 ……………………4 分

3 ; 4 (2)函数 f ( x) 的定义域是 (0,??)
21.(1)由 f ?(2) ? 0 可得 a ? ?

? 函数 f ( x) 在定义域内单调递增
? f ?( x) ?
即a ?

1 ? ax ? 2 ? 0 在 (0,??) 上恒成立 x

1 2 ? 在 (0,??) 上恒成立 x2 x 1 2 1 ? ? ( ? 1) 2 ? 1 2 x x x
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?

? a ? ?1
(3)可得 b ? ln x ? 记 g ( x) ? ln x ? 则 g ?( x) ?

……………………8 分

1 2 3 x ? x , x ? ?1,4? 4 2

1 2 3 x ? x , x ? ?1,4? 4 2

1 x 3 x 2 ? 3x ? 2 ? ? ? ?0 x 2 2 2x

? x ? 1或x ? 2 ? x ? (1,2) 时, g ?( x) ? 0 ;
x ? (2,4) 时, g ?( x) ? 0
5 g (1) ? ? , g (2) ? ln 2 ? 2 , g (4) ? 2 ln 2 ? 2 4 5 3 ? g (4) ? g (1) ?? 2 ln 2 ? 2 ? (? ) ? 2 ln 2 ? ? 0 4 4 5 ……………………12 分 4 22. 证明: (1)? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF , ? ln 2 ? 2 ? b ? ?
又? ?CED ? ?AEB , ? ?CED ∽ ?AEB ,

?

EC ED DC ? ? , EA EB AB EC 1 ED 1 DC 6 ? , ? ,? . ? EB 3 EA 2 AB 6
2

?

………5 分

(2)? EF

? FA ? FB ,?

EF FB ? , FA FE

又? ?EFA ? ?BFE , ? ?FAE ∽ ?FEB , ? ?F E A? ?E B F, 又? A, B, C , D 四点共圆,? ?EDC ? ?EBF ,

? ?FEA ? ?EDC ,
.………10 分

? EF // CD
23.解: (1)由 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? 得 ? y ? 10 sin ? ?
2 2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 10

∴ 曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 2) ? y ? 10
高三第一次诊断考试数学试卷(文科) ·第 7 页· 共 7 页

∵? ? 2 cos? ? 6 sin ?

∴? 2 ? 2? cos? ? 6? sin ?

∵? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ∴x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ,即 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 ∴ 曲线 C 2 的直角坐标方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 (2)∵ 圆 C1 的圆心为 (?2,0) ,圆 C 2 的圆心为 (1,3) ∴ C1C 2 ? ∴ 两圆相交 设相交弦长为 d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段 C1C2 ∴( ) ? (
2

……………………5 分

(?2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 ? 2 10

d 2

3 2 2 ) ? ( 10) 2 2

∴d ?

22

……………………10 分

24..解: . (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 . 由此可得 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 ?x | x ? 3或x ? ?1 ? (2) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组

x ? 3 或 x ? ?1 .

.………………5 分

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4
a 2

?x ? a ? ? a 或 x?? ? ? 2
a = ?1, 2
.………………10 分

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 故a ? 2

?,

由题设可得 ?

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