推荐学习K12高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学

推荐学习 K12 资料 1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质 课堂导学 三点剖析 一、增减性与最值问题 【例 1】 在(1+2x)10 的展开式中,(1)求系数最大的项;(2)若 x=2.5,则第几项的值最 大? 解析:(1)设第 r+1 项的系数最大,由通项公式 Tr+1= C1r0 ·2rxr,依题意 Tr+1 项的系数不小于 Tr 项及 Tr+2 项的系数, 即 ?????CC11rr00 ? 2r ? 2r ? C r?1 10 ? 2 r ?1 ? C r?1 10 ? 2 r ?1 ,解得 ?2(11 ??r ?1 ? ? r) ? r 2(10 ? r) . ∴ 19 ≤r≤ 22 3 3 且 r∈Z,∴r=7,故系数最大项为 T8= C170 27x7=15 360x7. (2)设展开式中的第 r+1 项的值最大,则 Tr+1≥Tr>0,Tr+1≥Tr+2>0, ∴ Tr?1 ? 1, Tr?2 ? 1, Tr Tr ?1 ∴ ? ? ? ? ? C1r0 C r?1 10 C r?1 10 (2x)r (2 x) r ?1 (2 x) r ?1 ?? C1r0 (2x)r ? 11? r ? 2x ? 1 r . ? 10 ? r ? 2x ? 1 r ?1 将 x=2.5 代入得 ?5(11 ? r) ?? r ??5(10 ? r) ?? r ? 1 ? ? 1 ,得 1 49 6 ≤r≤ 55 6 . ∴r=9,即展开式中的第 10 项的值最大. 二、“二项式系数和”、“系数和”问题 【例 2】 已知(1-3x)8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8. 求(1)a0+a1+…+a8; (2)a0+a2+a4+a6+a8; (3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|. 解析:(1)令 x=1,得 a0+a1+…+a8=28=256. ① (2)令 x=-1,得 a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=48 ② ∴①+②得 2(a8+a6+a4+a2+a0)=28+48. ∴a8+a6+a4+a2+a0= 1 (28+48)=32 896. 2 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 (3)由于(1-3x)8 =C08+ C 1 8 (-3x)+ C 2 8 (-3x)2+…+ C 8 8 (-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8 故 a0,a2, …,a8>0,a1,a3, …,a8<0, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8| =a0-a1+a2-a3+…+a8. 由②可知 |a0|+|a1|+…+|a8|=48=65 536. 三、与“杨辉三角”有关的问题 【例 3】 如下图的数表中每一个数都是某个正整数的倒数,起始行(第 0 行)为 1,每一个 数都等于脚下两数之和. (1)试填写第 1 行和第 2 行,填法是否唯一,并说明理由. (2)注意第 n 行(n=0,1,2,…)的第 1 个数为 1n+1,猜想此时第 n 行第 r 个数(不证明). 解析(:1)1 ? 1 =1,(m,n∈N*),则有 1 ? n ?1 ,n 与 n-1 互质,故 m=2,n=2,第一行为 1 , 1 , mn mn 22 令 1 ? 1 = 1 (m,n∈N*), m n2 则有 1 ? n ? 2 . m 2n 当 n-2=1 时,n=3,m=6; 当 n-2=2 时,n=4,m=4; 当 n-2 是 n 的约数时,记 n=R(n-2)(R∈N*),(R-1)n=2R,R 与 R-1 互质,所以 R-1=2,R=3,此 时 n=3,进而知 m=6.故第二行填法不唯一,可为 1 , 1 , 1 ,也可为 1 , 1 , 1 . 444 363 (2)猜想:令第 3 行第 1 个数为 1 ,则第 3 行各数依次为 1 , 1 , 1 , 1 . 4 4 12 12 4 第 1 行: 1 , 1 ; 2?1 2?1 第 2 行: 1 , 1 , 1 ; 3?1 3? 2 3?1 第 3 行: 1 , 1 , 1 , 1 ; 4?1 4?3 4?3 4?1 …… 第 n 行: (n 1 ? 1)C 0 n , (n 1 ? 1)C 1 n , …, (n 1 ? 1)Cnn?1 , (n 1 ? 1)Cnn . 推荐学习 K12 资料 推荐学习 K12 资料 ∴猜想第 n 行第 r 个数为 1 . (n ? 1)C r n ?1 各个击破 【类题演练 1】已知 f(x)=(1+x) m+(1+2x)n,(m,n∈N)的展开式中 x 的系数为 11,求: (1)x2 的系数的最小值. (2)当 x2 的系数取得最小值时,求 f(x)展开式中的 x 的奇次幂项的系数之和. 解析:(1)由已知 C 1 m +2 C 1 n =11, ∴m+2n=11,x2 的系数为 C 2 m ? 22 Cn2 m(m ?1) 2 +2n(n-1) =(m- 21 )2+ 351 ,∵m∈N 4 16 ∴m=5 时,x2 的系数取得最小值 22,此时 n=3. (2)由(1)知,当 x2 系数取得最小值 22 时 n=3. ∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3 设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+…+a5x5 令 x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33 令 x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1 相减得 2(a1+a3+a5)=60 故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30. 【变式提升 1】已知(xlgx+1)n 展开式中,末

相关文档

[K12学习]四川省成都市高中数学 第一章 计数原理 1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质导学提
推荐学习K12高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课后导练
【K12教育学习资料】高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
电脑版