高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课件 文_图文

第七章 平面解析几何 第十一节 轨迹方程的求法 考 纲 要 求 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 2.能根据所给条件求出点的轨迹方程. 课 前 自 修 知识梳理 一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念 在直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如 下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲 线. 二、求曲线的(轨迹)方程 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符 合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条 件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了 考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外,还充分 考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力. 它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程, 常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知 轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法 外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型 的轨迹方程.因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点 坐暧泄氐姆匠(等量关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有 关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用. (1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤. ①建系设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点 坐标M(x,y); ②列几何等式:写出适合条件的点的集合P={M|P(M)}, 关键是根据条件列出适合条件的等式; ③化为代数等式:用坐标代换几何等式,列出方程; ④化简:把方程f(x,y)=0化成最简形式; ⑤证明:证明化简后的方程就是所求曲线的方程. 除个别情况外,化简过程都是同解变形,所以步骤⑤可 以省略不写.如有特殊情况,可适当加以说明,步骤②也可省 略. (2)求曲线轨迹方程应注意的问题. ①要注意一些隐含条件,若轨迹是曲线的一部分,应对方 程注明x的取值范围,或同时注明x,y的取值范围,保证轨迹的 纯粹性; ②若轨迹有不同情况,应分别讨论,以保证它的完整性; ③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的,求曲线的轨迹不仅 要求出方程,而且要指明曲线的位置、类型. 基础自测 1.(2012·合肥市月考)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个 动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且 |PM|=|MQ|,则点Q的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 B.2x-y-5=0 D.2x-y+5=0 解析:由题意知M是PQ是中点,设Q(x,y),由中点公式可 得P(-2-x,4-y),代入已知直线方程2x-y+3=0得2x-y+5 =0.故选D. 答案:D 2.(2012·泉州市质检)方程x2+xy=x的曲线是( A.一个点 C.两条直线 B.一条直线 ) D.一个点和一条直线 解析:方程变为x(x+y-1)=0,∴x=0或x+y-1=0.表示 两条直线.故选C. 答案:C 2 2 x y 3.已知椭圆 + =1的左、右两个焦点分别是F1,F2,P 4 3 是这个椭圆上的一个动点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|F2P|,则Q 的轨迹方程是__________________. 解析:提示:用定义法求轨迹方程. 答案:(x+1)2+y2=16 考 点 探 究 考点一 【例1】 用直接法求点的轨迹 已知直角坐标系中,点Q(2,0),圆C的方程为 x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与 |MQ|的比等于常数l(l>0),求 动点M的轨迹. 解析:设 MN 切圆 C 于 N,则|MN|2=|MO|2-|ON|2.设 M(x, y),则 x2+y2-1=λ ?x-2?2+y2 ,化简得(λ2-1)(x2 +y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0. 5 (1)当 λ=1 时,方程为 x= ,表示一条直线. 4 2 ? 2 ? 2 λ 1 + 3 λ ?2 2 x - 2 (2)当 λ≠1 时,方程化为? + y = 2 2,表示 ? ? λ - 1 ?λ -1? ? ? 一个圆. 点评:(1)求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不 仅要求出方程,而且要说明轨迹是什么.(2)当轨迹方程中含有 参数时,应对参数进行分类讨论. 变式探究 1.(2012·襄阳市调研)平面内动点P(x,y)与A(-2,0), 1 B(2,0)两点连线的斜率之积为 ,则动点P的轨迹方程为( ) 4 2 x2 2 x A. +y =1 B. -y2=1 42 C. x +y2=1(x?±2) 4 42 D. x -y2=1(x?±2) 4 1 y y 1 解析:依题意有 kPA· kPB= ,即 · = (x≠± 2),整 4 4 x+ 2 x - 2 x2 2 理得 -y =1(x≠± 2).故选 D. 4 答案:D 考点二 【例2】 用定义法求点的轨迹方程 如图,在平面直角坐标系 中,N为圆A:(x+1)2+y2=16上的一动点, 点B(1,0),点M是BN的中点,点P在线段 → ?BN → =0 . AN上,且 MP (1)求动点P的轨迹方程; (2)试判断以PB为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系,并说明 理由. →· → =0,可知 PM 垂 解析:(1)由点 M 是 BN 的中点,又MP BN 直平分 BN,所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|, 所以|PA|+|PB|=4>|AB|, 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1,其中 2a=4,2c=2,可得 a2=4, a b 2 2 x y b2=a2-c2=3.可知动点 P 的轨迹方程为 + =1. 4 3 ?x0+1 y

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