2015高考数学二轮专题复习题6:三角函数的图象与性质含解析

高考专题训练(六)

三角函数的图象与性质

A 级——基础巩固组 一、选择题 1.(2014· 全国大纲卷)已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cosα=( 4 A.5 3 C.-5 解析 cosα= 答案 D 2.(2014· 四川卷)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y= sin2x 的图象上所有的点( ) 4 =-5. ?-4?2+32 -4 3 B.5 4 D.-5 )

1 A.向左平行移动2个单位长度 1 B.向右平行移动2个单位长度 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度 1? ? 解析 ∵y=sin(2x+1)=sin2?x+2?,∴只需把 y=sin2x 图象上所有的点
? ?

1 向左平移2个单位长度即得到 y=sin(2x+1)的图象. 答案 A π 3. (2014· 北京东城一模)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移8个 单位后,得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( )
1

3π A. 4 π C.4 解析

π B.2 π D.-4 y=sin(2x+φ)错误!sin错误!=sin错误!是偶函数,即错误!+φ=kπ+

π π π ( k ∈ Z ) ? φ = k π + ( k ∈ Z ) ,当 k = 0 时, φ = 2 4 4,故选 C. 答案 C π? ? 4.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所示,若
? ? ? π π? x1,x2∈?-6,3?,且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=( ? ?

)

A.1 2 C. 2

1 B.2 3 D. 2

解析 观察图象可知,A=1,T=π, ∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).
? π ? ? π ? 将?-6,0?代入上式得 sin?-3+φ?=0, ? ? ? ?

π π 由|φ|<2,得 φ=3,

2

π? ? 则 f(x)=sin?2x+3?.
? ?

π π -6+3 π 函数图象的对称轴为 x= 2 =12.
? π π? 又 x1,x2∈?-6,3?, ? ?

x1+x2 π 且 f(x1)=f(x2),∴ 2 =12, π ∴x1+x2=6, π π? ? 3 ∴f(x1+x2)=sin?2×6+3?= 2 .故选 D. ? ? 答案 D π 5.函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的最小正周期是 π,若其图象向右 π 平移6个单位后得到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象(
?π ? A.关于点?12,0?对称 ? ? ?π ? C.关于点?6,0?对称 ? ?

)

π B.关于直线 x=12对称 π D.关于直线 x=6对称

2π 解析 ∵T= ω =π,∴ω=2. π ∴f(x)=sin(2x+φ)向右平移6个单位, π ? ? 得 y=sin?2x-3+φ?为奇函数,
? ?

π ∴-3+φ=kπ(k∈Z),

3

π ∴φ=3+kπ(k∈Z), π? ? π ∴φ=3,∴f(x)=sin?2x+3?.
? ?

π π? ? ∵sin?2×12+3?=1,
? ?

π ∴直线 x=12为函数图象的对称轴.故选 B. 答案 B π? ? 6.已知函数 f(x)=cos?2x+3?-cos2x,其中 x∈R,给出下列四个结论:
? ?

①函数 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数;②函数 f(x)图象的一条对称轴是直
?5π ? 2π 线 x= 3 ;③函数 f(x)图象的一个对称中心为?12,0?;④函数 f(x)的递增区 ? ?

π 2π 间为 kπ+6,kπ+ 3 ,k∈Z.则正确结论的个数是( A.1 C.3 解析
?

)

B.2 D.4 π? ? π π 由已知得, f(x) = cos ?2x+3? - cos2x = cos2xcos 3 - sin2xsin 3 -
? ? ? ? ? ? ?

π? ? ?2π? ?4π π? 2π cos2x=-sin?2x+6?, 不是奇函数, 故①错; 当 x= 3 时, f? 3 ?=-sin? 3 +6?
?5π? 5π π =1,故②正确;当 x=12时,f?12?=-sinπ=0,故③正确;令 2kπ+2≤2x ? ?

π 3 π 2 +6≤2kπ+2π,k∈Z,得 kπ+6≤x≤kπ+3π,k∈Z,故④正确.综上,正 确的结论个数为 3. 答案 C 二、填空题
4

?π ? 1 ?π ? 7.若 sin?3+α?=3,则 sin?6+2α?=________. ? ? ? ?

解析 7 =-9.

?π ? ?π π ? ?2π ? ?π ? sin ?6+2α? =- cos ?2+6+2α? =- cos ? 3 +2α? = 2sin2 ?3+α? - 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

7 答案 -9 8.(2014· 江苏卷)已知函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的 π 图象有一个横坐标为3的交点,则 φ 的值是________. 解析 利用函数 y=cosx 与 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标, 列方程求解. π ? ? π 由题意,得 sin?2×3+φ?=cos3,
? ?

π 因为 0≤φ<π,所以 φ=6 π 答案 6 9. (2014· 北京卷)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A, ω, φ 是常数, A>0, ω>0). 若
?π π? ?π? ?2π? ?π? f(x)在区间?6,2?上具有单调性,且 f?2?=f? 3 ?=-f?6?,则 f(x)的最小正周期 ? ? ? ? ? ? ? ?

为________.
?π π? ?π? ?π? 解析 由 f(x)在区间?6,2?上具有单调性, 且 f?2?=-f?6?知, f(x)有对称 ? ? ? ? ? ? ?π ? ?π? ?2 ? 1?π 2 ? 7 中心?3,0?, 由 f?2?=f?3π?知 f(x)有对称轴 x=2?2+3π?=12π, 记 T 为最小正 ? ? ? ? ? ? ? ?

1 π π 2 7 π T 周期,则2T≥2-6?T≥3π,从而12π-3=4,故 T=π.

5

答案 π 三、解答题 π π 10.(2014· 重庆卷)已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)(ω>0,-2≤φ<2)的图 π 象关于直线 x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为 π. (1)求 ω 和 φ 的值; 2π? 3π? ?α? ? 3?π (2)若 f?2?= 4 ?6<α< 3 ?,求 cos?α+ 2 ?的值. ? ? ? ? ? ? 解 (1)因 f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为 π, 2π 所以 f(x)的最小正周期 T=π,从而 ω= T =2. π 又因 f(x)的图象关于直线 x=3对称, π π 所以 2· + φ = k π + 1,± 2,…. 3 2,k=0,± π π π 2π π 因-2≤φ<2得 k=0,所以 φ=2- 3 =-6.
?α? ? α π? 3 ?= , - (2)由(1)得 f?2?= 3sin?2· 4 ? ? ? 2 6?

π? 1 ? 所以 sin?α-6?=4.
? ?

π 2π π π 由6<α< 3 得 0<α-6<2, π? ? 所以 cos?α-6?=
? ? ? ?

π? ? 1-sin2?α-6?=
? ? ?? ? ?

?1? 15 1-?4?2= 4 . ? ?

π? π? 3π? ?? ? 因此 cos?α+ 2 ?=sinα=sin??α-6?+6? π? π π? π ? ? =sin?α-6?cos6+cos?α-6?sin6
? ? ? ?
6

3+ 15 1 3 15 1 =4× 2 + 4 ×2= . 8 11.(2014· 山东菏泽一模)已知函数 f(x)=2sinωxcosωx+2 3sin2ωx- 3 (ω>0)的最小正周期为 π. (1)求函数 f(x)的单调增区间; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位,再向上平移 1 个单位,得到函 数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)在[0,b]( b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的 最小值. 解 (1) 由题意得 f(x) = 2sinωxcosωx + 2 3sin2ωx - 3 = sin2ωx - 3
? ?

π? ? cos2ωx=2sin?2ωx-3?, 由最小正周期为 π,得 ω=1, π? ? 所以 f(x)=2sin?2x-3?,
? ?

π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z, π 5π 整理得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z, 所以函数 f(x)的单调增区间是 π 5π? ? ?kπ- ,kπ+ ?,k∈Z. 12 12? ? π (2)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位,再向上平移 1 个单位,得到 y =2sin2x+1 的图象, 所以 g(x)=2sin2x+1.

7

7π 11π 令 g(x)=0,得 x=kπ+12或 x=kπ+ 12 (k∈Z), 所以在[0,π]上恰好有两个零点,若 y=g(x)在[0,b]上有 10 个零点, 11π 59π 则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值为 4π+ 12 = 12 . B 级——能力提高组 π? ? 1.设函数 f(x)= 3cos(2x+φ)+sin(2x+φ)?|φ|<2?,且其图象关于直线 x
? ?

=0 对称,则(

)
? ?

π? ? A.y=f(x)的最小正周期为 π,且在?0,2?上为增函数 π? ? B.y=f(x)的最小正周期为 π,且在?0,2?上为减函数
? ?

π? ? π C.y=f(x)的最小正周期为2,且在?0,4?上为增函数
? ?

π? ? π D.y=f(x)的最小正周期为2,且在?0,4?上为减函数
? ?

解析 f(x)= 3cos(2x+φ)+sin(2x+φ) π ? ? =2sin?2x+3+φ?,
? ?

∵其图象关于 x=0 对称,∴f(x)是偶函数. π π ∴3+φ=2+kπ,k∈Z. π π 又∵|φ|<2,∴φ=6. π π? ? ∴f(x)=2sin?2x+3+6?=2cos2x.
? ?

π? ? 易知 f(x)的最小正周期为 π,在?0,2?上为减函数.
? ?
8

答案 B
?π π? 2. (2014· 全国大纲卷)若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间?6,2?是减函数, ? ?

则实数 a 的取值范围是________.
?1 ? 解析 f(x)=1-2sin2x+asinx=-2sin2x+asinx+1,sinx∈?2,1?,令 t ? ? ?1 ? ?1 ? a 1 =sinx∈?2,1?,则 y=-2t2+at+1 在?2,1?是减函数,∴对称轴 t=4≤2, ? ? ? ?

∴a≤2. 答案 (-∞,2] 3.(2014· 湖北卷)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变 化近似满足函数关系: π π f(t)=10- 3cos12t-sin12t,t∈[0,24). (1)求实验室这一天的最大温差; (2)若要求实验室温度不高于 11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温? 解 (1)因为 f(t)=10-2?
? 3 π? ?π π 1 π ? ?=10-2sin? t+ ?, cos t + sin t 12 2 12 ? ?12 3? ? 2

π π π 7π 又 0≤t<24,所以3≤12t+3< 3 , π? ?π -1≤sin?12t+3?≤1.
? ?

π? ?π 当 t=2 时,sin?12t+3?=1;
? ?

π? ?π 当 t=14 时,sin?12t+3?=-1.
? ?

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.
9

(2)依题意,当 f(t)>11 时实验室需要降温. π? ?π 由(1)得 f(t)=10-2sin?12t+3?,
? ?

π? ?π 故有 10-2sin?12t+3?>11,
? ?

π? ?π 1 即 sin?12t+3?<-2.
? ?

7π π π 11π 又 0≤t<24,因此 6 <12t+3< 6 ,即 10<t<18. 在 10 时至 18 时实验室需要降温.

10


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