南通市2009届高三第一学期期末调研测试数学试题

南通市 2008~2009 年度第一学期高三期末调研测试 ~ 数 学
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A.必做题部分 .必做题部分
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一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题: 小题,

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1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 M = {x ∈ Z | x 2 ? 6 x + 5 ≤ 0} ,则集合 ?u M = U
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2. 已知函数 f ( x) = 3 cos 2 x + sin 2 x ,则 f ( x) 的最小正周期是

▲ ▲



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3. 经过点(-2,3) ,且与直线 2 x + y ? 5 = 0 平行的直线方程为 4. 若复数 z 满足 z + i =
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3+i , 则 | z |= i





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5. 程序如下: t←1 i←2 While i≤4 t←t×i i←i+1 End While Print t 以上程序输出的结果是
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6. 若 x1 , x2 , x3 ,L , x2008 , x2009 的方差为 3,则 3( x1 ? 2),3( x2 ? 2),L ,3( x2008 ? 2),3( x2009 ? 2) 的方差

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7. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ,则四面体 A ? B1CD1 的外接球的体积为 8. 以椭圆





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x2 y 2 + = 1( a > b > 0) 的左焦点 F (?c, 0) 为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的 a 2 b2 两点,则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .
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? x ≤ 3, ? 9. 设 a>0,集合 A={(x,y)| ? x + y ? 4 ≤ 0, },B={(x,y)| ( x ? 1)2 + ( y ? 1) 2 ≤ a 2 }.若点 P(x, ? x ? y + 2a ≥ 0 ? y)∈A 是点 P(x,y)∈B 的必要不充分条件,则 a 的取值范围是 ▲ . 10.在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于 1 的概率是 ▲ . a 11.数列 {an } 中, a1 = 6 ,且 an ? an ?1 = n ?1 + n + 1 ( n ∈ N* , n ≥ 2 ) ,则这个数列的通项公式 n
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an =
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12.根据下面一组等式:

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s1 = 1, s2 = 2 + 3 = 5, s3 = 4 + 5 + 6 = 15, s4 = 7 + 8 + 9 + 10 = 34, s5 = 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 65, s6 = 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 = 111,
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………… 可得 s1 + s3 + s5 + ? ?? + s2 n ?1 =
13.在△ABC 中,∠A =

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uuu r uuur uuu uuur r π ,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) | AB |2 =| AD |2 + BD ? DC , ,且 6

则 ∠B 等于





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14.设函数 f ( x) = x3 ? 2ex 2 + mx ? ln x ,记 g ( x) =

f ( x) ,若函数 g ( x) 至少存在一个零点,则实数 m x

的取值范围是
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二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A1 15. (本小题 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 在边 BC 上,AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面 BC C1 B1; B1 B1 E (2)设 E 是 B1C1 上的一点,当 的值为多少时, EC1
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C1

A1E∥平面 ADC1?请给出证明.
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A D B

C

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16. (本小题 14 分)

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uuu uuur r 如图,在四边形 ABCD 中,AD=8,CD=6,AB=13,∠ADC=90°,且 AB ? AC = 50 .

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(1)求 sin∠BAD 的值;

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(2)设△ABD 的面积为 S△ABD,△BCD 的面积为 S△BCD,求
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S?ABD 的值. S?BCD B

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C
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A

D

17. (本小题 15 分) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们 分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数,得 到如下资料:
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12 月 1 日 10 23

12 月 2 日 11 25

12 月 3 日 13 30

12 月 4 日 12 26

12 月 5 日 8 16

温差 x (°C) 发芽数 y (颗)

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回归方程, 再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,求
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出 y 关于 x 的线性回归方程 $ = bx + a ; y

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(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得到 的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
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18. (本小题 15 分)

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抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ( x1 > x2 , y1 > 0, y2 < 0) 在抛物线上,且存在实数 λ,
uuur uuu r uuu 25 r 使 AF + λ BF = 0, | AB |= . 4
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(1)求直线 AB 的方程; (2)求△AOB 的外接圆的方程.
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19. (本小题 16 分) 已知函数 g ( x) =
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1 sin θ ? x

+ ln x 在[1, +∞) 上为增函数, θ∈ 0, , f ( x) = mx ? 且 ( π)

m ?1 ? ln x , x

m∈R. (1)求θ的值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围;
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(3)设 h( x) = 范围.
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2e ,若在[1,e]上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) > h( x0 ) 成立,求 m 的取值 x

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20. (本小题 16 分)

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已知等差数列 {an } 的首项为 a,公差为 b,等比数列 {bn } 的首项为 b,公比为 a,其中 a,b 都是 大于 1 的正整数,且 a1 < b1 , b2 < a3 . (1)求 a 的值; (2)若对于任意的 n ∈ N + ,总存在 m ∈ N + ,使得 am + 3 = bn 成立,求 b 的值; (3)令 Cn = an +1 + bn ,问数列 {Cn } 中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有成等比 数列的连续三项;若不存在,请说明理由.

B.附加题部分
21. . (选做题)从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. D A.选修 4-1(几何证明选讲) . - (几何证明选讲) 如图,AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切半圆于点 D,CD=2,DE⊥AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的中点,求 BC 的长. · A C B E O

B.选修 4-2(矩阵与变换) . - (矩阵与变换) 将曲线 xy = 1 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°,求所得曲线的方程.

C.选修 4-4(坐标系与参数方程) . 参数方程) - (坐标系与参数方程
? x = 1 + 2t , ? x = 3cos α , 求直线 ? (t 为参数)被圆 ? (α为参数)截得的弦长. ? y = 1 ? 2t ? y = 3sin α

D.选修 4-5(不等式选讲) . - (不等式选讲) 已知 x,y 均为正数,且 x>y,求证: 2 x +
1 ≥ 2y + 3. x ? 2 xy + y 2
2

22. 必做题)已知等式 ( x 2 + 2 x + 2)5 = a0 + a1 ( x + 1) + a2 ( x + 1) 2 + L + a9 ( x + 1)9 + a10 ( x + 1)10 ,其中 (
ai(i=0,1,2,…,10)为实常数.求:

(1) ∑ an 的值;
n =1 10

10

(2) ∑ nan 的值.
n =1

23. 必做题)先阅读:如图,设梯形 ABCD 的上、下底边的长分别是 a,b(a<b) (必做题 必做题) ,高为 h,求梯 D′ C′ 形的面积. A B A′ B′

D D C A B

C

南通市 2009 届高三第一次调研测试

数学参考答案与评分意见

A.必做题部分 .必做题部分
小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题: 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 M = {x ∈ Z | x 2 ? 6 x + 5 ≤ 0} ,则集合 ?u M = U
2. 已知函数 f ( x) = 3 cos 2 x + sin 2 x ,则 f ( x) 的最小正周期是





▲ ▲

. .

,且与直线 2 x + y ? 5 = 0 平行的直线方程为 3. 经过点(-2,3)
4. 若复数 z 满足 z + i =
3+i , 则 | z |= i





5. 程序如下: t←1 i←2 While i≤4 t←t×i i←i+1 End While Print t 以上程序输出的结果是





6. 若 x1 , x2 , x3 ,L , x2008 , x2009 的方差为 3,则 3( x1 ? 2),3( x2 ? 2),L ,3( x2008 ? 2),3( x2009 ? 2) 的方差





. ▲ .

7. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ,则四面体 A ? B1CD1 的外接球的体积为 8. 以椭圆

x2 y 2 + = 1( a > b > 0) 的左焦点 F (?c, 0) 为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的 a 2 b2 两点,则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .

? x ≤ 3, ? 9. 设 a>0,集合 A={(x,y)| ? x + y ? 4 ≤ 0, },B={(x,y)| ( x ? 1)2 + ( y ? 1) 2 ≤ a 2 }.若点 P(x, ? x ? y + 2a ≥ 0 ? y)∈A 是点 P(x,y)∈B 的必要不充分条件,则 a 的取值范围是 ▲ . 10.在闭区间 [-1,1]上任取两个实数,则它们的和不大于 1 的概率是 ▲ . a 11.数列 {an } 中, a1 = 6 ,且 an ? an ?1 = n ?1 + n + 1 ( n ∈ N* , n ≥ 2 ) ,则这个数列的通项公式 n
an = ▲ .

12.根据下面一组等式:
s1 = 1, s2 = 2 + 3 = 5, s3 = 4 + 5 + 6 = 15, s4 = 7 + 8 + 9 + 10 = 34, s5 = 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 65, s6 = 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 = 111,

………… 可得 s1 + s3 + s5 + ? ?? + s2 n ?1 =
13.在△ABC 中,∠A =





uuu r uuur uuu uuur r π ,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) | AB |2 =| AD |2 + BD ? DC , ,且 6

则 ∠B 等于




f ( x) ,若函数 g ( x) 至少存在一个零点,则实数 m x
2 ,1) 2 1 14. (?∞, e2 + ] e 8. (

14.设函数 f ( x) = x3 ? 2ex 2 + mx ? ln x ,记 g ( x) =

的取值范围是 答案:1.{6,7}
9.0<a≤ 2


2. π
10. 7 8


3. 2 x + y + 1 = 0 4. 17
5.24 6.27
13. 5π 12

7. 36π

11. (n + 1)(n + 2)

12. n 4

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A1 15. (本小题 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 D 在边 BC 上,AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面 BC C1 B1; B1 B1 E (2)设 E 是 B1C1 上的一点,当 的值为多少时, EC1
A1E∥平面 ADC1?请给出证明. A

C1

C

D 解: (1)在正三棱柱中,C C1⊥平面 ABC,AD ? 平面 ABC, B ∴ AD⊥C C1.………………………………………2 分 又 AD⊥C1D,C C1 交 C1D 于 C1,且 C C1 和 C1D 都在面 BC C1 B1 内, ∴ AD⊥面 BC C1 B1. ……………………………………………………………5 分 (2)由(1) ,得 AD⊥BC.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 的中点.………………………7 分 B1 E 当 = 1 ,即 E 为 B1C1 的中点时,A1E∥平面 ADC1.………………………………8 分 EC1

事实上,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 BC C1 B1 是矩形,且 D、 分别是 BC、B1C1 E 的中点,所以 B1B∥DE,B1B= DE. …………………………………………………10 分 又 B1B∥AA1,且 B1B=AA1, ∴DE∥AA1,且 DE=AA1. ……………………………………………………………12 分 所以四边形 ADE A1 为平行四边形,所以 E A1∥AD. 而 E A1 ? 面 AD C1 内,故 A1E∥平面 AD C1. ………………………………………14 分

16. (本小题 14 分)
uuu uuur r 如图,在四边形 ABCD 中,AD=8,CD=6,AB=13,∠ADC=90°,且 AB ? AC = 50 .

(1)求 sin∠BAD 的值; (2)设△ABD 的面积为 S△ABD,△BCD 的面积为 S△BCD,求 解
S?ABD 的值. S?BCD

(1)在 Rt△ADC 中,AD=8,CD=6, 4 3 则 AC=10, cos ∠CAD = ,sin ∠CAD = .………………2 分 5 5 uuu uuur r 又∵ AB ? AC = 50 ,AB=13,
uuu uuur r AB ? AC 5 r ∴ cos ∠BAC = uuu uuur = . …………………………4 分 | AB || AC | 13

B

C

A

D

∵ 0o < ∠BAC < 180o ,∴ sin ∠BAC = ∴ sin ∠BAD = sin(∠BAC + ∠CAD) = (2) S?BAD =

12 . …………………………………………………5 分 13 63 . ……………………………………………………8 分 65

1 252 1 AB ? AD ? sin ∠BAD = , S?BAC = AB ? AC ? sin ∠BAC = 60 , S?ACD = 24 , 11 分 2 5 2 S 168 3 则 S?BCD = S?ABC + S?ACD ? S?BAD = ,∴ ?ABD = .……………………………………14 分 5 S ?BCD 2

17. (本小题 15 分) 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们 分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数,得 到如下资料:





12 月 1 日 10 23

12 月 2 日 11 25

12 月 3 日 13 30

12 月 4 日 12 26

12 月 5 日 8 16

温差 x (°C) 发芽数 y (颗)

该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回归方程, 再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,求 出 y 关于 x 的线性回归方程 $ = bx + a ; y (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得到 的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠? 解: 1)设抽到不相邻两组数据为事件 A ,因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况, ( 每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种, ………………2 分 所以
P( A) = 1 ?
4 3 = .…………………………………………………………………4 分 10 5

答:略. ……………………………………………………………………………………5 分

(2)由数据,求得 x = 12, y = 27 .………………………………………………………………7 分 由公式,求得 b =
5 , a = y ? bx = ?3 . …………………………………………………9 分 2 5 x ? 3 . …………………………………………10 分 2

? 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y = ? (3)当 x=10 时, y =

5 × 10 ? 3 = 22 ,|22-23|<2;…………………………………………12 分 2 5 × 8 ? 3 = 17 ,|17-16|<2.……………………………………14 分 2

? 同样,当 x=8 时, y =

所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的. ……………………………………15 分 18. (本小题 15 分) 抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F, A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ( x1 > x2 , y1 > 0, y2 < 0) 在抛物线上,且存在实数 λ,
uuur uuu r uuu 25 r . 使 AF + λ BF = 0, | AB |= 4

(1)求直线 AB 的方程; (2)求△AOB 的外接圆的方程. 解: 1)抛物线 y 2 = 4 x 的准线方程为 x = ?1 . (
uuur uuu r uuu r ∵ AF + λ BF = 0 ,∴A,B,F 三点共线.由抛物线的定义,得| AB |= x1 + x2 + 2 . …1 分

设直线 AB: y = k ( x ? 1) ,而 k =

y1 ? y2 , x1 > x2 , y1 > 0, y2 < 0, ∴ k > 0. x1 ? x2

? y = k ( x ? 1), 由? 2 得 k 2 x 2 ? 2(k 2 + 2) x + k 2 = 0 . ……………………………………………3 分 ? y = 4 x,

? 2( k 2 + 2) uuu , r 2(k 2 + 2) 25 16 ? x1 + x2 = ∴? | AB |= x1 + x2 + 2 = +2= .∴ k 2 = .……………6 分 k2 2 k 4 9 ? x ? x = 1, ? 1 2

从而 k =

4 4 ,故直线 AB 的方程为 y = ( x ? 1) ,即 4 x ? 3 y ? 4 = 0 .……………………8 分 3 3

? 4 x ? 3 y ? 4 = 0, 1 (2)由 ? 2 求得 A(4,4) B( ,-1) , .……………………………………10 分 4 ? y = 4 x,

设△AOB 的外接圆方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ,则
29 ? ? ?D = ? 4 , ? F = 0, ? ? 解得 ? E = ? 3 , ………………………………………………14 分 ?16 + 16 + 4 D + 4 E + F = 0, ? 4 ?1 ? 1 ? + 1 + D + (? E ) + F = 0. ? F = 0. 4 ?16 ? ?

故△AOB 的外接圆的方程为 x 2 + y 2 ? 19. (本小题 16 分) 已知函数 g ( x) =

29 3 x ? y = 0 .…………………………………15 分 4 4

1 m ?1 + ln x 在[1, +∞) 上为增函数, θ∈ 且 (0, , f ( x) = mx ? π) ? ln x , sin θ ? x x

m∈R. (1)求θ的值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围;

(3)设 h( x) = 范围.

2e ,若在[1,e]上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) > h( x0 ) 成立,求 m 的取值 x
1 sin θ ? x
2

解: 1)由题意, g ′( x) = ? (

+

1 sin θ ? x ? 1 ≥0 在 [1, +∞ ) 上恒成立,即 ≥ 0 .………1 分 x sin θ ? x 2

∵θ∈(0,π) ,∴ sin θ > 0 .故 sin θ ? x ? 1≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立,…………………2 分
只须 sin θ ? 1 ? 1≥ 0 ,即 sin θ ≥ 1 ,只有 sin θ = 1 .结合θ∈(0,π) ,得 θ = (2)由(1) ,得 f ( x) ? g ( x) = mx ?

π .……4 分 2

m mx 2 ? 2 x + m .…………5 分 ? 2ln x . ∴ ( f ( x) ? g ( x) )′ = x2 x ∵ f ( x) ? g ( x) 在其定义域内为单调函数, ∴ mx 2 ? 2 x + m ≥ 0 或者 mx 2 ? 2 x + m ≤ 0 在[1,+∞)恒成立.………………………6 分 2x mx 2 ? 2 x + m ≥ 0 等价于 m(1 + x 2 ) ≥ 2 x ,即 m ≥ , 1 + x2



2x 2 2 = , ( )max=1,∴ m ≥ 1 . …………………………………………8 分 1 x +1 x + 1 x+ x x
2

mx 2 ? 2 x + m ≤ 0 等价于 m(1 + x 2 ) ≤ 2 x ,即 m ≤

2x 在[1,+∞)恒成立, 1 + x2



2x ∈(0,1], m ≤ 0 . x +1
2

综上,m 的取值范围是 ( ?∞, 0] U [1, +∞ ) . ………………………………………………10 分 (3)构造 F ( x) = f ( x) ? g ( x) ? h( x) , F ( x) = mx ? 当 m ≤ 0 时, x ∈ [1, e] , mx ?
m 2e ? 2ln x ? . x x

m 2e ≤ 0 , ?2 ln x ? <0 ,所以在[1,e]上不存在一个 x0 , x x

使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) > h( x0 ) 成立. ………………………………………………………12 分 当 m > 0 时, ( F ( x)) ' = m +
m 2 2e mx 2 ? 2 x + m + 2e ? + = .…………………………14 分 x2 x x2 x2

因为 x ∈ [1, e] ,所以 2e ? 2 x ≥ 0 , mx 2 + m > 0 ,所以 ( F ( x)) ' > 0 在 x ∈ [1, e] 恒成立. 故 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增, F ( x) max = F (e) = me ?
m m ? 4 ,只要 me ? ? 4 > 0 , e e

解得 m >

4e . e ?1
2

故 m 的取值范围是 ( 20. (本小题 16 分)

4e , +∞) .………………………………………………………16 分 e ?1
2

已知等差数列 {an } 的首项为 a,公差为 b,等比数列 {bn } 的首项为 b,公比为 a,其中 a,b 都是 大于 1 的正整数,且 a1 < b1 , b2 < a3 . (1)求 a 的值; (2)若对于任意的 n ∈ N + ,总存在 m ∈ N + ,使得 am + 3 = bn 成立,求 b 的值; (3)令 Cn = an +1 + bn ,问数列 {Cn } 中是否存在连续三项成等比数列?若存在,求出所有成等比 数列的连续三项;若不存在,请说明理由. 解: 1)由已知,得 an = a + (n ? 1)b, bn = b ? a n ?1 .由 a1 < b1 , b2 < a3 ,得 a < b, ab < a + 2b . ( 因 a,b 都为大于 1 的正整数,故 a≥2.又 b > a ,故 b≥3. …………………………2 分 再由 ab < a + 2b ,得 (a ? 2)b < a . 由 b > a ,故 (a ? 2)b < b ,即 (a ? 3)b < 0 . 由 b≥3,故 a ? 3 < 0 ,解得 a < 3 . ………………………………………………………4 分 于是 2 ≤ a < 3 ,根据 a ∈ N ,可得 a = 2 .…………………………………………………6 分
(2)由 a = 2 ,对于任意的 n ∈ N? ,均存在 m ∈ N + ,使得 b(m ? 1) + 5 = b ? 2n ?1 ,则 b(2n ?1 ? m + 1) = 5 . 又 b ≥ 3 ,由数的整除性,得 b 是 5 的约数. 故 2n ?1 ? m + 1 = 1 ,b=5. 所以 b=5 时,存在正自然数 m = 2n ?1 满足题意.…………………………………………9 分 (3)设数列{Cn } 中, Cn , Cn +1 , Cn + 2 成等比数列,由 Cn = 2 + nb + b ? 2n ?1 , (Cn +1 ) 2 = Cn ? Cn + 2 ,得 (2 + nb + b + b ? 2n ) 2 = (2 + nb + b ? 2n ?1 )(2 + nb + 2b + b ? 2n +1 ) . 化简,得 b = 2n + (n ? 2) ? b ? 2n ?1 . (※) …………………………………………11 分

当 n = 1 时, b = 1 时,等式(※)成立,而 b ≥ 3 ,不成立. …………………………12 分 当 n = 2 时, b = 4 时,等式(※)成立.…………………………………………………13 分 当 n ≥ 3 时, b = 2n + (n ? 2) ? b ? 2n ?1 > (n ? 2) ? b ? 2n ?1 ≥ 4b ,这与 b≥3 矛盾.

这时等式(※)不成立.…………………………………………………………………14 分 综上所述,当 b ≠ 4 时,不存在连续三项成等比数列;当 b = 4 时,数列 {Cn } 中的第二、三、 四项成等比数列,这三项依次是 18,30,50.…………………………………………16 分

B.附加题部分
21. . (选做题)从 A,B,C,D 四个中选做 2 个,每题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. D A.选修 4-1(几何证明选讲) . - (几何证明选讲) 如图,AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切半圆于点 D,CD=2,DE⊥AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的中点,求 BC 的长. · A C B E O 解:连接 OD,则 OD⊥DC. 1 1 在 Rt△OED 中,OE= OB= OD, 2 2 ∴∠ODE=30°. ………………………………3 分 在 Rt△ODC 中,∠DCO=30°, ………………5 分 由 DC=2,则 OB=OD=DCtan30°=
2 3 CD 2 4 3 , OC = = = ……………………9 分 3 cos 30° 3 3 2

2 3 . …………………………………………………………………10 分 3 B.选修 4-2(矩阵与变换) . - (矩阵与变换) 将曲线 xy = 1 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°,求所得曲线的方程.

所以 BC=OC-OB=

解:由题意,得旋转变换矩阵 M = [

cos 45 sin 45o

o

? ? ? sin 45 ]= ? ? cos 45o ? ?
o

2 2 2 2

?

2? ? 2 ?, 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2

……………………3 分

? ? 设 xy = 1 上的任意点 P′( x′, y ′) 在变换矩阵 M 作用下为 P( x, y ) , ? ? ? ? ? ?x = ? ∴? ? ?y = ? 2 x′ ? 2 2 x′ + 2 2 y ′, 2 2 y ′. 2

?

2? ? 2 ? ? x′ ? = ? x ? , ? ? ? ? 2 ? ? y ′? ? y ? ? 2 ?

………………………………………………………………………7 分



y 2 x2 ? = 1. 2 2 y 2 x2 ? = 1 .……10 分 2 2

将曲线 xy = 1 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°,所得曲线的方程为 C.选修 4-4(坐标系与参数方程) . 参数方程 - (坐标系与参数方程)

? x = 1 + 2t , ? x = 3cos α , 求直线 ? (t 为参数)被圆 ? (α为参数)截得的弦长. ? y = 1 ? 2t ? y = 3sin α

? x = 1 + 2t , 解:把直线方程 ? 化为普通方程为 x + y = 2 .…………………………………………3 分 ? y = 1 ? 2t ? x = 3cos α , 将圆 ? 化为普通方程为 x 2 + y 2 = 9 .……………………………………………6 分 y = 3sin α ?

圆心 O 到直线的距离 d =

2 2

= 2 ,∴ 弦长 L = 2 R 2 ? d 2 = 2 9 ? 2 = 2 7 .

? x = 1 + 2t , ? x = 3cos α , 所以直线 ? 被圆 ? 截得的弦长为 2 7 . ………………………………10 分 ? y = 1 ? 2t ? y = 3sin α

D.选修 4-5(不等式选讲) . - (不等式选讲) 已知 x,y 均为正数,且 x>y,求证: 2 x +
1 ≥ 2y + 3. x 2 ? 2 xy + y 2

解:因为 x>0,y>0,x-y>0, 1 1 2x + 2 ? 2 y = 2( x ? y ) + …………………………………………………3 分 2 x ? 2 xy + y ( x ? y )2 = ( x ? y ) + ( x ? y) +
≥ 3 3 ( x ? y)2 所以 2 x +

1 ……………………………………………………………………6 分 ( x ? y)2

1 = 3 , …………………………………………………………………9 分 ( x ? y)2

1 ≥ 2 y + 3 . …………………………………………………………10 分 x 2 ? 2 xy + y 2

22. 必做题)已知等式 ( x 2 + 2 x + 2)5 = a0 + a1 ( x + 1) + a2 ( x + 1) 2 + L + a9 ( x + 1)9 + a10 ( x + 1)10 ,其中 ( ai(i=0,1,2,…,10)为实常数.求:
(1) ∑ an 的值;
n =1 10 10

(2) ∑ nan 的值.
n =1

解: 1)在 ( x 2 + 2 x + 2)5 = a0 + a1 ( x + 1) + a2 ( x + 1) 2 + L + a9 ( x + 1)9 + a10 ( x + 1)10 中, ( 令 x = ?1 ,得 a0 = 1 .……………………………………………………………………2 分 令 x = 0 ,得 a0 + a1 + a2 + L + a9 + a10 = 25 = 32 . ……………………………………4 分 所以 ∑ an = a1 + a2 + L + a10 = 31 . ……………………………………………………5 分
n =1
10

(2)等式 ( x 2 + 2 x + 2)5 = a0 + a1 ( x + 1) + a2 ( x + 1) 2 + L + a9 ( x + 1)9 + a10 ( x + 1)10 两边对 x 求导, 得 5( x 2 + 2 x + 2)4 ? (2 x + 2) = a1 + 2a2 ( x + 1) + L + 9a9 ( x + 1)8 + 10a10 ( x + 1)9 .…………7 分 在 5( x 2 + 2 x + 2)4 ? (2 x + 2) = a1 + 2a2 ( x + 1) + L + 9a9 ( x + 1)8 + 10a10 ( x + 1)9 中,

令 x=0,整理,得 ∑ nan = a1 + 2a2 + L + 9a9 + 10a10 = 5 ? 25 = 160 .………………10 分
n =1

10

(必做题 必做题) ,高为 h,求梯 23. 必做题)先阅读:如图,设梯形 ABCD 的上、下底边的长分别是 a,b(a<b) D′ C′ 形的面积.
A B A′ B′

D D C

C

B A 方法一:延长 DA、CB 交于点 O,过点 O 作 CD 的垂线分别交 AB、CD 于 E,F,则 EF = h . x a ah 设 OE = x,Q ?OAB∽?ODC ,∴ = ,即x= . x+h b b?a
1 1 1 1 1 ∴ S梯形ABCD = S ?ODC ? S?OAB = b( x + h) ? ax = (b ? a ) x + bh = (a + b) h . 2 2 2 2 2 方法二:作 AB 的平行线 MN 分别交 AD、BC 于 M、N,过点 A 作 BC 的平行线 AQ 分别交 MN、 DC 于 P、Q,则 ?AMP∽?ADQ .

设梯形 AMNB 的高为 x, MN = y, ∴ S梯形ABCD = ∫ ( a +
0 h

x y?a b?a = ? y=a+ x, h b?a h
h

b?a b?a 2 b?a 2 1 ? h = ( a + b) h . x)dx = ( ax + x ) = ah + h 2h 2h 2 0

再解下面的问题: 已知四棱台 ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是 S1 , S2 ( S1 < S2 ) ,棱台的高为 h,类比以
1 上两种方法,分别求出棱台的体积(棱锥的体积= × 底面积 × 高) . 3

解法一:将四棱台 ABCD-A′B′C′D′补为四棱锥 V-ABCD,设点 V 到面 A′B′C′D′的距离为 h′.由

S S1 S1 h' 2 h' h' =( ) ,∴ 1 = ,即 = . S2 h + h' S2 h + h ' S2 ? S1 h 1 1 1 1 所以 V台 = S2 ( h '+ h) ? S1h ' = ( S2 ? S1 ) h '+ S2 h 3 3 3 3 1 1 1 = ( S1 + S2 ) S1 h + S2 h = ( S1 + S1 S2 + S2 )h , 3 3 3 1 所以四棱台 ABCD-A′B′C′D′的体积为 ( S1 + S1 S2 + S2 ) h . ………………………5 分 3
解法二:作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为 S,它与上底面的距离为 x,

x = h ∴S =

S ? S1 S2 ? S1

, S=

S2 ? S1 h

x + S1 x + S1 .

( S2 ? S1 )2 h
2

x2 +

2 S1 ( S2 ? S1 ) h

V =∫ (
0

h

( S2 ? S1 ) 2 h
2

x2 +

2 S1 ( S2 ? S1 ) h

x + S1 )dx ,

? ( S2 ? S1 ) 2 1 3 ? S ( S2 ? S1 ) 2 ? x + 1 F ( x) = ? x + S1 x ? , 2 h h 3 ? ? ? ? V = F (h) ? F (0) = ( S2 ? S1 ) 2 1 3 S ( S2 ? S1 ) 2 ? h + 1 h + S1h 2 h 3 h

1 = h( S1 + S1 S2 + S2 ) . ………………………………………………………………10 分 3


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