2013年高中数学(北师大版必修五)《3.2.1 一元二次不等式的解法》课件_图文

2 一元二次不等式 2.1 一元二次不等式的解法

2.1.1 一元二次不等式及其解法(一)

学习目标

1.正确理解一元二次不等式的概念.
2.掌握一元二次不等式的解法. 3.理解一元二次不等式,一元二次方程及二次 函数之间的关系.

2.1.1 一元 二次 不等 式及 其解 法 (一 )

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

1.二次函数的解析式是 y=ax2+bx+c(a≠0). 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称
2 4 ac - b b b 轴方程是 x=- , 顶点坐标是(- , ). 当 2a 2a 4a

a>0 时,图像的开口方向向上;当 a<0 时,图 像的开口方向向下.

知新益能

1.一元二次不等式的有关概念 (1)一元二次不等式:形如_________________ ax2+bx+c>0(≥0) 或 __________________________ ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0) 的不等式叫做一元 二次不等式. (2)一元二次不等式的解:一般地,使某个一元二 x的值 叫这个一元二次不等式的 次不等式成立的_______ 解. (3)一元二次不等式的解集:一元二次不等式的 所有解 组成的集合,叫做一元二次不等式的解 ________ 集. 2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:

问题探究 1.如何理解一元二次不等式的概念? 提示:可以这样理解:①形如ax2+bx+c>(≥,<, ≤)0(a≠0)的不等式,叫作一元二次不等式,其中a, b,c为常数,特别要注意a≠0. ②“只含一个未知数”,并不是说在代数式中不能 含有其他的字母类的量,只要明确指出这些字母 所代表的量,哪一个是“未知数”,哪一些是“参数 ”就可以. ③“次数最高是2”,仅限于“未知数”,若还含有其 他参数,则次数不受此条件限制.

2.为什么能用二次函数的图像解一元二次不等
式? 提示:我们知道以自变量的取值为横坐标,对应 的函数值作为纵坐标,在平面直角坐标系中描出 所有的点,这些点就构成了函数的图像.因此函

数图像上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取
值,纵坐标是对应的函数值.二次函数f(x)=ax2

+bx+c的图像上的点的坐标的意义也是一
样.由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0,

位于x轴上的点的纵坐标等于0,位于x轴下方的
点的纵坐标小于0,所以二次函数f(x)=ax2+bx+ c的图像上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围 是不等式f(x)=ax2+bx+c>0的解集,二次函数 f(x)=ax2+bx+c的图像上位于x轴下方的点的横

坐标的取值范围是不等式f(x)=ax2+bx+c<0的解
集.所以可以用二次函数的图像解一元二次不等

式.当然,对于任意函数y=f(x),只要能画出它
的图像,那么就可以解不等式f(x)>0或f(x)<0.

课堂互动讲练

考点突破 解不含参数的一元二次不等式

解一元二次不等式的一般步骤是: (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式 说明方程没有实根; (4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解 集.

例1

解下列不等式:

(1)2x2-3x-2>0;(2)-x2-2x≥-3;

(3)9x2-6x+1>0;(4)x2-4x+5>0;
(5)x2-x+1<0.

【思路点拨】

求解一元二次不等式可以依据“

三个二次”之间的关系求解,也可以利用二次函

数图像求解,还可以将不等式左边因式分解,转
化为一元一次不等式组求解.

【解】 (1)法一:∵方程 2x2-3x-2=0 的判别 式 Δ=25>0, 1 2 ∴方程 2x -3x-2=0 的两根分别为 x1=- ,x2 2 =2, 1 2 ∴不等式 2x -3x-2>0 的解集为{x|x<- 或 x>2}. 2

法二: 作出函数 y=2x2-3x-2 的图像, 如图所示. 2 由图可知 y=2x -3x-2 的图像在 x 轴上方(即函 1 数值大于 0)的点的横坐标的取值集合是{x|x<- , 2 1 或 x>2}, 故原不等式的解集是{x|x>2, 或 x<- }. 法 2 三:原不等式可化为:(2x+1)(x-2)>0,
?2x+1>0 ?2x+1<0 1 即? , 或? , 解得 x>2, 或 x<- . 2 ?x-2>0 ?x-2<0

1 故原不等式解集为{x|x>2,或 x<- }. 2 (2)法一:原不等式可化为:x2+2x-3≤0, 2 由方程 x +2x-3=0 可求出 x1=1,x2=-3. ∴原不等式的解集为{x|-3≤x≤1}. 法二: 作出函数 y=-x2-2x+3 的图像, 如图所示.

由图可知:y=-x -2x+3 的图像在 x 轴上方(函 数 值 大 于 0) 的 点 的 横 坐 标 的 取 值 集 合 是 {x| - 3≤x≤1}. 故不等式-x2-2x≥-3 的解集是{x|-3≤x≤1}. (3)∵Δ=0,∴方程 9x2-6x+1=0 的两根 x1=x2 1 1 = ,∴不等式的解集为{x|x≠ }. 3 3 (4)∵Δ=-4<0,∴方程 x2-4x+5=0 无实根.∴ 不等式的解集为 R. (5)∵Δ=-3<0,∴方程 x2-x+1<0 无实根.∴不 等式的解集为?.

2

【名师点评】

本例中第(1)题给出了三种解法,

其中法一要熟练掌握,法二画图像较直观,有助

于对法一的理解,法三因式分解不太容易.我们
常用法一来解一元二次不等式,即求出判别式看 其符号——求根——根据不等式中不等号的方向 写出解集.

自我挑战1

解下列不等式.

(1)3x2-5x≤2;(2)-2x2+x+1<0;

(3)2x2-x+6<0;(4)-x2+6x-9≥0;
(5)x2-x-1>0;(6)x(6-x)>0.

解:(1)原不等式化为 3x2-5x-2≤0, 方程 3x2-5x 1 -2=0 的两根是 x1=- ,x2=2.函数 y=3x2-5x 3 -2 的图像是开口向上的抛物线,与 x 轴有两个交 1 点(- ,0)和(2,0)(如图①).观察图像可得,不等式 3 1 的解集为{x|- ≤x≤2}. 3

(2)原不等式化为 2x2-x-1>0,方程 2x2-x-1=0 的两根是 1 x1=- , x2=1.函数 y=2x2-x-1 的图像是开口向 2 1 上的抛物线,与 x 轴有两个交点(- ,0)和(1,0)(如 2 1 图② )观察图像可得,不等式的解集为 {x|x< - 或 2 x>1}.

(3) ∵方程 2x2 - x + 6 = 0 的判别式 Δ = ( - 1)2 - 4×2×6<0. ∴函数 y=2x2-x+6 的图像开口向上,与 x 轴无 交点(如图③).∴观察图像可得,不等式的解集为 ?. (4)原不等式可化为 x2-6x+9≤0,即(x-3)2≤0, ∴原不等式的解集为{x|x=3}.

1+ 5 (5)方程 x -x-1=0 的两根是 x1= ,x2 2
2

1- 5 = . 2

函数 y=x2-x-1 的图像是开口向上的抛物线,与 1+ 5 1- 5 x 轴的交点是( ,0)和( ,0).(如图④) 2 2 1- 5 观 察 图 像 可 得 , 不 等 式 的 解 集 是 {x|x< 或 2 1+ 5 x> }. 2 (6)原不等式可化为 x(x-6)<0,

原不等式的解集是下面不等式组解集的并集. ?x>0 ?x<0 ①? 或②? , ?x-6<0 ?x-6>0 不等式组①的解集为 {x|0<x<6},不等式组②的 解集为?, ∴原不等式的解集为{x|0<x<6}.

解双向一元二次不等式 对于这类不等式,其解法为:首先化为一元二次 不等式组,再分别求每一个一元二次不等式,最 后求其交集.
例2

求下列不等式的解集:

(1)-4<x2-5x+2<26;(2)0<x2-x-2<4.

【思路点拨】 本题中的不等式为双向不等式, 如 第 (1) 小 题 实 际 上 就 是 解 不 等 式 组
?x2-5x+2>-4, ? 2 即求不等式 x2-5x+ 2>- 4 ?x -5x+2<26,

与 x2-5x+2<26 的交集.

【解】

?x2-5x+2>-4, (1)原不等式可化为? 2 ?x -5x+2<26,

?x2-5x+6>0, ?x>3或x<2, 即? 2 解得? ?x -5x-24<0, ?-3<x<8,

∴原不等式的解集为{x|-3<x<2 或 3<x<8}. ?x2-x-2>0, (2) 原 不 等 式 可 化 为 ? 2 即 ?x -x-2<4,
?x2-x-2>0, ?x<-1或x>2, ? 2 解得? ?x -x-6<0, ?-2<x<3,

∴原不等式的解集为{x|-2<x<-1 或 2<x<3}.
【名师点评】 注意一元二次不等式的形式,即

在利用不等式的解在“两根之间”或“两根之外”的 结论时,首先要弄清前提条件是a>0还是a<0.

解含参数的一元二次不等式 含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数 可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易

因式分解,则可对判别式分类讨论,分类要不重
不漏.若二次项系数含有参数,则应先考虑二次

项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零
的情形,以便确定解集的形式;其次,对相应方 程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.

例3

解不等式ax2-(2a+2)x+4>0(a∈R). 解答本题可先由a=0,a<0,a>0

【思路点拨】

分三类情况,将原不等式化为(x-x1)(x-x2)>0或 (x-x1)(x-x2)<0的形式,再根据一元二次方程ax2 -(2a+2)x+4=0根的大小,由相应的二次函数的 图像写出原不等式的解集.

【解】 原不等式可化为(x-2)· (ax-2)>0. ② 当 a=0 时,原不等式即为-2×(x-2)>0, 解得 x<2. 2 ②当 a<0 时,原不等式可化为(x-2)(x-a)<0,

2 2 2 ∵方程(x-2)(x- )=0 的两根为 2、 ,且 <2, a a a 2 观察二次函数 y=(x-2)(x-a)的图像可得, 2 原不等式的解集为{x|a<x<2}.③当 a>0 时,原不 2 等式可化为(x-2)(x- )>0. a 2 2 ∵方程(x-2)(x- )=0 的两根为 2、 .结合二次函 a a 2 数 y=(x-2)(x-a)的图像,

2 2 当a<2,即 a>1 时,x<a或 x>2. 2 2 当a>2,即 0<a<1 时,x<2 或 x>a.

2 当 =2,即 a=1 时,x≠2. a

综上所述,原不等式的解集为 2 a<0 时,{x| <x<2}; a a=0 时,{x|x<2}; 2 0<a<1 时,{x|x<2 或 x> }; a a=1 时,{x|x∈R 且 x≠2}; 2 a>1 时,{x|x<a或 x>2}.

【名师点评】

二次项系数中含有参数时,参数

的符号影响着不等号的方向.根中含有字母时, 参数的符号影响根的大小. 另外对参数分类讨论,其结果应对参数分类叙述, 为了叙述结果简洁,可把与其解的结构一样的相 应参数的取值范围合并在一起.

自我挑战2
a>0(a∈R).

解关于x的不等式x2-(a+1)x+

解:∵Δ=[-(a+1)]2-4a=(a-1)2≥0. ∴方程x2-(a+1)x+a=0的两根为x1=1,x2=a. ①当a>1时,原不等式的解集为:{x|x<1,或

x >a } .
②当a<1时,原不等式的解集为:{x|x<a,或 x>1}. ③当a=1时,原不等式的解集为:{x|x∈R且 x≠1}.

方法感悟 1.解一元二次不等式时,应首先将所给的不等

式标准化,再确定相应的二次方程的根,最后
由函数图像写出解集,对于当Δ<0,Δ=0等特殊 情况的解集要从本质上理解. 2.不等式组的解集是各部分同时成立的范围, 即各部分解集的交集.

3.解不等式时应注意的问题 (1)解含参数的不等式时,必须注意参数的取值 范围,并在此范围内对参数进行分类讨论. (2)了解哪些情况需要分类讨论. ①二次项系数为字母时,要分等于零、大于零、 小于零三类讨论. ②对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论. ③用不等式性质对不等式变形时,必须具备的变 形条件. ④若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ >0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.


相关文档

3.2.1一元二次不等式的解法 课件2(高中数学必修五北师大版)
3.2.1一元二次不等式的解法 课件3(高中数学必修五北师大版)
高中数学《3.2.1一元二次不等式的解法》 课件 北师大版必修5
3.2.1一元二次不等式的解法 课件1(高中数学必修五北师大版)
(教师用书)高中数学 3.2.1 一元二次不等式的解法课件 北师大版必修5
高中数学必修五北师大版 2.1 一元二次不等式的解法 课件(47张)
高中数学北师大版必修五课件:3.2.2.1-一元二次不等式的解法ppt讲练课件
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
高中数学:3.2.1《一元二次不等式的解法》课件(北师大版必修5)
2018年高中数学北师大版必修五课件:第3章 §2-2.1 一元二次不等式的解法
电脑版