云南省云天化中学2015-2016学年高二数学4月月考试题 理剖析

云天化中学 2015—2016 学年下学期 4 月月考试卷 高 二 数 学(理)
说明: 1.时间: 120 分钟;分值: 150 分; 2.本卷分Ⅰ、Ⅱ卷,请将第Ⅰ卷选择题答案填入机读答题卡 ..... 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个 选项符合题意。 ) .... a-2i 1.已知 =b+i(a,b∈R),则 a-b=( ). i A.1 B.2 C.-1 D.-3 2.已知命题 P : ?x ? R, x2 ?1 ? 0 ;命题 q : ?x ? R, sin( x ? A. ?p 是假命题
4

?
3

) ? 1 。则下列判断正确的是(
D. (?p) ? (q) 是真命题 ). ).



B. q 是假命题
2

C. p ? (?q ) 是真命题

3.若函数 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( A.-1 B.-2 C.2 D.0
2

4.已知动圆圆心在抛物线 y =4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切,则此动圆必过定点( A.(2,0) B.(0,1) C. (1,0) D.(0,-1) 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

1 1 1 1 1 1 1 1 6.用数学归纳法证明 1- + - +…+ - = + +…+ ,则当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 加上( ). 1 1 A. B.- 2k+2 2k+2 1 1 1 1 C. - D. + 2k+1 2k+2 2k+1 2k+2 7.如果执行如图所示的程序框图,输出的 S=110,则判断框内应填入的条件是( ).

1

A.k<10?

B.k≥11? C.k≤10? D.k>11? π π 8.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. 2 9.设曲线 y= A.2 B.1 C. 3 2 D. 3 ).

)

x+1 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=( x-1
B.-2 1 C.- 2 1 D. 2

10.设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=( 16 20 A.1 B.17 C.1 或 17 D.以上答案均不对 11.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是 A.? x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点

x2

y2

).

x2 y2 12.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1), a b 则椭圆 E 的离心率为( ).
A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

第Ⅱ卷

非选择题(共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 ) 2 2 2 3 2 3 4 4 b 2 b 2 13.已知 2+ =2 × ,3+ =3 × ,4+ =4 × ,…,若 9+ =9 × (a,b 为正整数),则 a+b=________. 3 3 8 8 15 15 a a 1 2 14.已知函数 f(x)=ax +bln x 在 x=1 处有极值 .则 a ? b ? 2 . .
2

15.已知函数 f(x)=2ln x-x f ?(1) ,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程是

? f ( x ? 4), x ? 0 ? ? 16.若 f ( x) ? ? ,则 f(2 014)=________. x 6 2 ? cos 3 xdx , x ? 0 ? ?0 ?
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17 题(本题满分 10 分) 已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos B+ 3bsin A=c. (1)求角 A 的大小; → → (2)若 a=1,AB·AC=3,求 b+c 的值.

18 题(本题满分 12 分) * 设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n∈N ,函数

f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x 满足 f ?( ) ? 0 .

?

2

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若

bn ? 2( an ?

1 ) ,求数列 {bn}的前 n 项和 Sn. 2 an

19 题(本题满分 12 分) 设函数 f(x)=(x-1)e -kx . (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,求实数 k 的取值范围.
x
2

20 题(本题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值.

21 题(本题满分 12 分学) 2 已知函数 f(x)=x +xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围.
3

22.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 到 F1 (0,? 3) 、 F2 (0, 3) 两点的距离之和等于 4 .设点 P 的轨迹为 C 。 (1) 求轨迹 C 的方程; (2) 设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,当 k 为何值时 OA? OB ? AB (O 为坐标原点)此时 AB 的 值是多少?
? ? ?
?

4

云天化中学 2015—2016 学年高二下期 4 月月考 高 二 数 学(理) 参 考 答 案

一、选择题 二、填空题 三、解答题

1—5:ADBCA; 6—10:CCDBB ; 11—12:DA 13. 89 14.

a?b ? ?

1 2

15. x-y-2=0

16.

7 12

17. 解 (1)由 acos B+ 3bsin A=c,得 sin Acos B+ 3sin Bsin A=sin (A+B), 即 3sin BsinA=cos Asin B, 3 π 所以 tan A= ,故 A= . (5 分) 3 6 → → π (2)由AB·AC=3,得 bccos =3,即 bc=2 3,① 6 又 a=1, π 2 2 ∴1=b +c -2bccos ,② 6 由①②可得(b+c) =7+4 3,所以 b+c=2+ 3.
* 2

(10 分)

18. 解 (1)由题设可得,对任意 n∈N ,f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x. ?π ? f′? ?=an-an+1+an+2-an+1=0, ?2? 即 an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数列. 由 a1=2,a2+a4=8,解得数列{an}的公差 d=1, 所以 an=2+1·(n-1)=n+1. (6 分) 1 ? 1 ? =2?n+1+ n+1?=2n+ n+2, 2 ? 2 ? 1? ?1?n? ?1-? ? ? n?n+1? 2? ?2? ? 2 1 知 Sn=b1+b2+…+bn=2n+2· + =n +3n+1- n. 2 1 2 1- 2 (2)由 bn= 19. 解 (1)当 k=1 时,f(x)=(x-1)e -x , x x x ∴f′(x)=e +(x-1)e -2x=x(e -2). x 令 f′(x)>0,即 x(e -2)>0, ∴x>ln 2 或 x<0. x 令 f′(x)<0,即 x(e -2)<0,∴0<x<ln 2. 因此函数 f(x)的递减区间是(0,ln 2); 递增区间是(-∞,0)和(ln 2,+∞). ( 6 分) x x x (2)易知 f′(x)=e +(x-1)e -2kx=x(e -2k). ∵f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数, x ∴当 x≥0 时,f′(x)=x(e -2k)≥0 恒成立. x x ∴e -2k≥0,即 2k≤e 恒成立. 1 x 由于 e ≥1,∴2k≤1,则 k≤ . 2 1 x 又当 k= 时,f′(x)=x(e -1)≥0 当且仅当 x=0 时取等号. 2
5
x
2

(12 分)

1? ? 因此,实数 k 的取值范围是?-∞, ?. 2? ? 20.(1)证明 ∵PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, ∴PA⊥BD. 同理由 PC⊥平面 BDE,可证得 PC⊥BD. 又 PA∩PC=P,∴BD⊥平面 PAC. (4 分) (2)解

(12)

如图,分别以射线 AB,AD,AP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系. 由(1)知 BD⊥平面 PAC,

又 AC? 平面 PAC,∴BD⊥AC. 故矩形 ABCD 为正方形, ∴AB=BC=CD=AD=2. ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1). → → → ∴PB=(2,0,-1),BC=(0,2,0),BD=(-2,2,0). 设平面 PBC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则

?n·→ PB=0, ? → ?n·BC=0,
∴?
? ?z=2x, ?y=0, ?

? ?2·x+0·y-z=0, 即? ?0·x+2·y+0·z=0, ?

取 x=1 得 n=(1,0,2).

∵BD⊥平面 PAC, → ∴BD=(-2,2,0)为平面 PAC 的一个法向量. → → n·BD 10 cos<n,BD>= =- . → 10 |n|·|BD| π 设二面角 B-PC-A 的平面角为 α ,由图知 0<α < , 2 10 3 10 2 ,sin α = 1-cos α = . 10 10 sin α ∴tan α = =3,即二面角 B-PC-A 的正切值为 3. cos α ∴cos α =

21.解 由 f(x)=x +xsin x+cos x,得 f′(x)=2x+sin x+x(sin x)′-sin x=x(2+cos x). (1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,所以 f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (5 分) 2 (2)设 g(x)=f(x)-b=x +xsin x+cos x-b. 令 g′(x)=f′(x)-0=x(2+cos x)=0,得 x=0. 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,+∞) g′(x) - 0 +
6

2

? 1-b ? 所以函数 g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,且 g(x)的最小值为 g(0)=1-b. ①当 1-b≥0 时,即 b≤1 时,g(x)=0 至多有一个实根,曲线 y=f(x)与 y=b 最多有一个交点,不合题意. ②当 1-b<0 时,即 b>1 时,有 g(0)=1-b<0, g(2b)=4b2+2bsin 2b+cos 2b-b>4b-2b-1-b>0. ∴y=g(x)在(0,2b)内存在零点, 又 y=g(x)在 R 上是偶函数,且 g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴y=g(x)在(0,+∞)上有唯一零点,在(-∞,0)也有唯一零点. 故当 b>1 时,y=g(x)在 R 上有两个零点, 则曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1,+∞). (12 分) 22. 解: (1)由点 P 到 F1 (0,? 3) 、 F2 (0, 3) 两点的距离之和等于 4 结合椭园定义知: 点 P 的轨迹为 C 是以 F2 (0, 3) 、 F2 (0, 3) 为焦点的椭圆,设椭圆 C 的标准方程为:

g(x)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

?2a ? 4 ?a ? 2 ? ? y 2 x2 ? ?1 C ? 3 得 b ? 1 轨迹 的方程为 C ? ? 4 1 由? 2 ? 2 2 ?C ? a ? b ?c ? 3

(4 分)

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由?

? y ? kx ? 1 ?4 x ? y ? 4
2 2

得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

? ? (2k )2 ? 4(k 2 ? 4) ? (?3) ? 16(k 2 ? 3) ? 0
x1 ? x2 ? ? 2k 3 , x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4
2

(6 分)

y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
由 OA? OB ? AB 得 OA ? OB 所以
? ?
? ? ?
? ?

OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即

(8 分) (9 分)

x1 x2 ? y1 y2 ? ?
解得 k ? ?
?

3 3k 2 2k 2 ? 4k 2 ? 1 ? ? ? ?0 k 2 ? 4 k 2 ? 4 k 2 ? 4 ?1 k2 ? 4
x1 ? x2 ? ? 4 12 , x1 x2 ? ? 17 17

1 2

(10)

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

4 65 17

(12 分)
7

8


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