【高考领航】2015高考数学(理)一轮配套课件4-3 第3课时 平面向量的数量积及应用举例

第3课时 平面向量的数量积及应用举例 (一)考纲点击 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运 算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两 个平面向量的垂直关系. (二)命题趋势 1.数量积是高考命题的热点,主要考查数量积的运算、几 何意义、模与夹角、垂直等问题,或运用向量的数量积 来判断位置关系、判断三角形的形状、利用数量积求参 数的值等. 2.从题型看,多以选择题、填空题的形式出现,以中低档 题为主;有时也出现在解答题中,主要与函数、解析几 何综合在一起命题. 1.两个向量的夹角 → 已知两个非零向量 a 和 b(如图),作OA=a, → OB=b,则∠AOB=θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角,当 θ=0° 时,a 与 b 同向;当 θ=180° 时,a 与 b 反向 ;如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 对点演练 已知|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120° ,则 b 在 a 方向上的 投影为 ( A.2 C.-2 3 B.2 3 D.-2 ) 解析:如图 b 在 a 方向上的投影为: 1 3 -|b|cos 60° =-3× =- . 2 2 答案:D 2.两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则 |a||b|cosθ叫 做a与b的数量积(或内积),记作a·b即a·b= |a||b|cosθ ,规 定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0. 对点演练 已知向量 a 和向量 b 的夹角为 135° ,|a|=2,|b|=3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b=________. 答案:-3 2 3.向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ 的数量积. 对点演练 (2013· 湖北)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则 → → 向量AB在CD方向上的投影为: ( 3 2 A. 2 3 2 C.- 2 3 15 B. 2 3 15 D.- 2 ) → → → → → 解析:AB=(2,1),CD=(5,5),|CD|=5 2,AB· CD=15 → → AB· CD 15 3 2 → → AB在CD方向上的投影为: = = . 2 → 5 2 |CD| 答案:A 4.向量数量积的性质 设 a、 b 都是非零向量, e 是单位向量, θ 为 a 与 b(或 e)的夹角. 则 (1)e· a=a· e=|a|cos θ ; b=0 ; (2)a⊥b? a· -|a||b| , (3)当 a 与 b 同向时, a· b=|a|· |b|; 当 a 与 b 反向时, a· b= 特别的,a· a=|a|2 或者|a|= a· a; a· b (4)cos θ=|a||b|; (5)|a· b|≤|a||b|. 对点演练 设|a|=|b|= 2,且(a-b)⊥a,则 a 与 b 的夹角是 ( π A. 3 C.0 π B. 2 π D.6 ) 解析:∵(a-b)⊥a, ∴(a-b)· a=a2-a· b=0 即|a|2=a· b=|a||b|cos θ, |a| ∴cos θ=|b|=1,∴θ=0. 答案:C 5.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a; (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 对点演练 若a,b,c为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的 是 ( A.(a+b)+c=a+(b+c) B.(a+b)·c=a·c+b·c C.m(a+b)=ma+mb ) D.(a·b)·c=a·(b·c) 答案:D 6.平面向量数量积的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 2 (1)a· b=x1x2+y1y2;(2)|a|= x1 +y2 1; x1x2+y1y2 (3)cos〈a,b〉= 2 2 2 2; x1+y1· x2+y2 (4)a⊥b?a· b?0?x1x2+y1y2=0. 对点演练 (1)已知向量 a=(1,-1),b=(2,x),若 a· b=1,则 x 等于 ( A.-1 1 C.2 1 B.-2 D.1 ) 解析:a· b=(1,-1)· (2,x)=2-x=1?x=1. 答案:D → → (2)(2013· 山东)已知OA=(-1,t),OB=(2,2),若∠ABO=90° ,则 实数 t 的值为________. → → → → → 解析:AB=OB-OA=(3,2-t),由∠ABO=90° 得AB⊥OB. → → ∴AB· OB=0 即 6+2(2-t)=0,∴t=5. 答案:5 1.向量的数量积是一个实数 两个向量的数量积是一个 数量 ,这个数量的大小与两个 向量的长度及其夹角的 余弦值 有关,在运用向量的数量 积解题时,一定要注意两向量夹角的范围. 2.a· b>0 是两个向量 a· b 夹角为锐角的 必要不充分条件.因为若 〈a,b〉=0,则 a· b>0,而 a,b 夹角不是锐角;另外还要注 → → 意区分△ABC 中,AB、BC的夹角与角 B 的关系. 3.计算数量积时利用数量积的 几何意义 是一种重要方法. 题型一 数量积的基本运算 (2013· 全国)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中 → → 点,则AE· BD=________. 【解析】 → → → → 设AB=a,AD=b,则AB· AD=0,即 a· b=0, ? ? ?? → → ?1 ? ? ? ? ? b - a |a|=|b|=2,于是AE· BD= 2a+

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