山西省太原五中2011届高三5月月考试题数学文

太 高

原 三

五 数

中 学(文)

2010——2011 学年度第二学期月考(5 月)

出题人、校对人:郭贞 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一个是正确的,将正确答案的代号涂在答题卡上. 1.设函数 y = 于( ) A. φ B. N C. [1, +∞ ) D. M

x ? 2 的定义域为 M ,集合 N = { y | y = x 2 , x ∈ R} ,则 M I N 等

2.已知等比数列 {an } 中有 f,数列 {bn } 是等差数列,且 a7 = b7 ,则 b5 + b9 = ( ) A.2

B.4
x

C.8

D.16

3. 已知 x 是函数 f ( x ) = 2 + ( ) A. f ( x1 ) < 0, f ( x2 ) < 0 C. f ( x1 ) > 0, f ( x2 ) < 0 4.下列命题中是假命题的是 ...

1 的一个零点.若 x1 ∈ (1, x0 ) , x2 ∈ ( x0 , +∞ ) 则 1? x
B. f ( x1 ) < 0, f ( x2 ) > 0 D. f ( x1 ) > 0, f ( x2 ) > 0 (
m 2 ? 4 m+3



A. ?m ∈ R, 使f ( x) = (m ? 1) ? x

是幂函数,

且在(0,+∞) 上递减

B. ?a > 0, 函数f ( x ) = ln 2 x + ln x ? a有零点 C. ?α , β ∈ R , 使 cos(α + β ) = cosα + sin β ; D. ?? ∈ R, 函数f ( x) = sin(2 x + ? ) 都不是偶函数
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5.已知某几何体的三视图如图,其中正视图中半圆半径为 1,则该几何体体积为 ( ) A.24- π C.24- π
3 2

B.24D.24-

π
3
2

1

2

1

π
2

正视图 1 3 俯视图 2 1

侧视图

6.某程序框图如图所示,该程序运行后 输出的 S 的值是( )

? A. 3

1 1 C. D. 2 2 3 7 . 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x ) 满 足
B. ?

f ( x + 2) = f ( x ) , 当 x ∈ [3,5] 时 f ( x) = 2 ? x ? 4 , 则
( )

A f (sin C f (sin

π

) < f (cos ) B. f (sin1) > f (cos1) 6 6
D. f (sin 2) > f (cos 2)
第 6 题图

π

2π 2π ) < f (cos ) 3 3

8. 已知函数 f ( x) = x 2 + bx 的图象在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线

3 x ? y + 2 = 0 平行,若数列 {
A.
2010 2011

1 } 的前 n 项和为 S n ,则 S 2011 的值为( f (n)

)

B.

2009 2010

C.

2011 2012

D.

2012 2013

9.过点 A( a, a ) 可作圆 x 2 + y 2 ? 2ax + a 2 + 2a ? 3 = 0 的两条切线,则实数 a 的 取值范围为( )
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A. a < ?3 或 1 < a < C. a > 1 或 a < ?3

3 2

B. 1 < a <

3 2
3 2

D. ?3 < a < 1 或 a >

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y2 10. 设 F1 , F2 是双曲线 x ? = 1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 24
2

3 | PF1 |= 4 | PF2 | ,则 ?PF1 F2 的面积等于
A 4 2 B. 8 3 C.24



) D.48

11.如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,OD=3,点 P 为△BCD 内(含边界) 的 动 点 , 设 OP = α OC + β OD (α , β ∈ R ) , 则 α + β 的 最 大 值 等 于 ( A. )

uuu r

uuur

uuur

1 4 1 C. 3

B.

4 3

C

B P

D. 1
O A
2 2

D

12. 如图是函数 f ( x ) = x 3 + bx 2 + cx + d 的大致图象,则 x1 + x2 等于 (A)

2 3

(B)

4 3

(C)

8 3

(D)

16 9

y -1 x1 O x2 2 x

二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知复数 z 满足(z-2)i=1+i ,(i 是虚数单位)则|z| =____________.

?x + y < 4 ? 2 2 14. 在区域 M={(x,y)| ? y > x }内撒一粒豆子, 落在区域 N={(x,y)|x +(y-2) ?x > 0 ?
≤2}内的概率为__________.
15. 边长是 2 2 的正三角形 ABC 内接于体积是 4 3π 的球 O, 则球面上的点到平面 ABC 的最大距离为 。 16.将全体正奇数排成一个三角形数阵:
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1 3 5 7 9 11 高考资源网 13 15 17 19 高考资源网 高考资源网 …… 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 70 分.解答时要求写出必要的文字说明、 证明过程或推演步骤. 17. (本题 12 分)某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位 m) ,如示意图,垂直 放置的标杆 BC 高度 h=4m, 仰角∠ABE=α,∠ADE=β E (1)该小组已经测得一组 α 、 β 的 值 , tan α =1.24,tanβ=1.20,,请据 此算出 H 的值 H (2)该小组分析若干测得 C 的数据后,发现适当调整 h 标杆到电视塔的距离 (单 d )β )α 位 m)使α与β之差较大, D , A B d 可以提高测量精确度,若 电视塔实际高度为 125m, 问 d 为多少时,α-β最大?

18. (本小题满分 12 分) 某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥,在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一 包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:
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甲:102,101,99,98,103,98,99 乙:110,115,90,85,75,115,110
高考资源网 (1)画出这两组数据的茎叶图;高考资源网 高考资源网

(2)求出这两组数据的平均值和方差(用分数表示) ;并说明哪个车间的产品较 稳定. (3)从甲中任取一个数据 x(x≥100) ,从乙中任取一个数据 y(y≤100) ,求满 足条件|x-y|≤20 的概率.

19. (本小题 12 分) 如图,已知 ABCD 为平行四边形, ∠A = 60° , AF = 2 FB , AB = 6 ,点 E 在 CD 上,EF // BC ,BD ⊥ AD ,BD 与 EF 相交于 N . 现将四边形 ADEF 沿 EF 折起,使点 D 在平面 BCEF 上的射影恰在直线 BC 上. (Ⅰ)求证: BD ⊥ 平面 BCEF ; (Ⅱ)求折后直线 DN 与直线 BF 所成角的余弦值; (Ⅲ)求三棱锥 N—ABF 的体积.

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20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ,两个焦点与短轴的一 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点是(1,0) a2 b2

个端点构成等边三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q (4,0)且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,设点 A 关 于 x 轴的对称点为 A1 . (ⅰ)求证:直线 A 1 B 过 x 轴上一定点,并求出此定点坐标; (ⅱ)求△ OA 1 B 面积的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) = ?

?? x 3 + x 2 + bx + c, x < 1 的 图 象 过 坐 标 原 点 O, 且 在 点 ?a ln x, x ≥ 1

(?1, f (?1)) 处的切线的斜率是 ? 5 .
(Ⅰ)求实数 b、c 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [? 1,2] 上的最大值; (Ⅲ)对任意给定的正实数 a ,曲线 y = f ( x ) 上是否存在两点 P、Q,使得 ?POQ 是 以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上?说明理由.

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四、选做题 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲 在 直 径 是 AB 的 半 圆 上 有 两 点 M , N , 设 AN 与 BM 的 交 点 是 P . 求 证: AP ? AN + BP ? BM = AB 2 N M P

A 22.选修 4—4 极坐标系与参数方程 已知圆方程为 y 2 ? 6 y sin θ + x 2 ? 8 x cos θ + 7 cos 2 θ + 8 = 0 . (1)求圆心轨迹的参数方程 C; (2)点 P ( x, y ) 是(1)中曲线 C 上的动点,求 2 x + y 的取值范围.

B

23.选修 4—5 不等式选讲 (1)已知关于 x 的不等式 2 x + 小值; (2)已知 x < 1, y < 1 ,求证: 1 ? xy > x ? y .

2 ≥ 7 在 x ∈ (a,+∞) 上恒成立,求实数 a 的最 x?a

数学(文)参考答案及评分标准:
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一个是正确的,将正确答案的代号涂在答题卡上. 1 答案 D 2 C 3 B 4 D 5 A 6 B 7 C 8 C 9 A 10 C 11 B 12 D

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二、填空题:本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13、

10
4 3 3

14、

π
4

15、

16、

n2 ? n + 5

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 70 分.解答时要求写出必要的文字说明、 证明过程或推演步骤. 17 . 解 : 由 AB=

H h H , BD= , AD= 及 AB+BD=AD , 得 tan α tan β tan β

H h H h tan α 4 × 1.24 + = ,解得 H= = =124,因此,算出的电 tan α tan β tan β tan α ? tan β 1.24 ? 1.20
视塔的高度 H 是 124m. ……………6 分 (2) 由题设知 d=AB, tan α = 得 所以 tan( α - β )=

H H h H ?h , AB=AD-BD= 由 , tan β = 得 , d tan β tan β d

h tan α ? tan β h = ≤ , 1 + tan α tan β d + H ( H ? h) 2 H ( H ? h) d H ( H ? h) 当且仅当 d= ,即 d= H ( H ? h) = 125 × (125 ? 4) =55 5 时,上式取 d

等号,所以当 d=55 5 时,tan( α - β )最大, 因为 0< β < α <

π
2

,则 0< α - β <

π
2

,所以当 d=55 5 时,α - β 最大,故所求的 d

是 55 5 m……………12 分 18. (1)茎叶图略 ……………4 分 (2)
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24 7


1600 7 .



,故甲车间产品比较稳定. ……………8 分

(3)所有可能的情况有: (102,90),(102,85),(102,75),(101,90),(101,85),(101,75),(103,90),( 103,85), (103,75),不满足条件的有:(102,75),(101,75),(103,75)

1 2 = ……………12 分 3 3 19.解: (Ⅰ) EF ⊥ DN , EF ⊥ BN ,得 EF ⊥ 面 DNB
所以 P( | x ? y |≤ 20 )=1则平面 BDN ⊥ 平面 BCEF , 由 BN = 平面 BDN I 平面 BCEF , 则 D 在平面 BCEF 上的射影在直线 BN 上, 又 D 在平面 BCEF 上的射影在直线 BC 上, 则 D 在平面 BCEF 上的射影即为点 B , 故 BD ⊥ 平面 BCEF . ……………4 分

(Ⅱ)法一.如图,建立空间直角坐标系, ∵在原图中 AB=6,∠DAB=60°, 则 BN= 3 ,DN=2 3 ,∴折后图中 BD=3,BC=3 ∴N(0, 3 ,0) ,D(0,0,3) ,C(3,0,0) NF =

1 CB =(-1,0,0) 3

∴ BF = BN + NF = (-1, 3 ,0) DN = (0, 3 ,-3)

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∴ cos < BF, DN > =

BF ? DN | BF | ? | DN |

=

3 4
3 4
……………8 分

∴折后直线 DN 与直线 BF 所成角的余弦值为

法二.在线段 BC 上取点 M,使 BM=BF,则 MN∥BF ∴∠DNM 或其补角为 DN 与 BF 所成角.
2 2 又 MN=BF=2,DM= BD + BM = 10 , DN = 2 3 .

∴ cos ∠DNM =

DN 2 MN 2 ? DM 2 3 = 2 DN ? MN 4 3 4

∴折后直线 DN 与直线 BF 所成角的余弦值为 (Ⅲ)∵AD∥EF,

∴A 到平面 BNF 的距离等于 D 到平面 BNF 的距离,

∴ V N ? ABF = V A? BNF = V D ? BNF =

1 3 S ?BNF ? BD = 3 2
……………12 分

即所求三棱锥的体积为

3 2

20.解: (Ⅰ)因为椭圆 C 的一个焦点是(1,0) ,所以半焦距 c =1. 因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. 所 以

c 1 = , 解 得 a =2,b= 3. 所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为 a 2

x2 y 2 + = 1 . ……………4 分 4 3
(Ⅱ) 设直线 l :x = my + 4 与 (i)

x2 y 2 + = 1 联立并消去 x 得: 4 3

(3m 2 + 4) y 2 + 24my + 36 = 0 .
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( 记 A x1 , y1) B x2 , y2) y1 + y2 = , ( ,
y1 y2 =

?24m , 3m 2 + 4

36 . 由 A 关于 x 轴的对称点为 A1 ,得 A1 ( x1 , ? y1 ) ,根据题设条件设 3m2 + 4

定 点 为 T ( t , 0 ) , 得 kTB = kTA1 , 即

y2 y = 1 . 所 以 x2 ? t t ? x1

t=

x2 y1 + y2 x1 (4 + my2 ) y1 + (4 + my1 ) y2 2my1 y2 = = 4+ = 4 ?3 =1 y1 + y2 y1 + y2 y1 + y2

即定点 T (1 , 0). ……………8 分 (ii)由(i)中判别式 ? > 0 ,解得 m > 2 . 所 以 可知直线 A1 B 过定点 T (1,0). 得

S ?OA1B =

1 1 OT | y2 ? (? y1 ) |= | y2 + y1 | 2 2
, 令 t =| m | 记 ? (t ) = t +

S ?OA1B =

1 24m 4 | |= 2 4 2 4 + 3m m+ 3m

4 3t

, 得

? / (t ) = 1 ?

4 ,当 t > 2 时, ? / (t ) > 0 . 2 3t

? (t ) = t +

4 4 2 8 > 2+ = , 在 (2 , + ∞) 上为增函数. 所以 m + 3m 3t 3 3
3 3 3 = .故△OA1B 的面积取值范围是 (0 , ) . ……………12 分 8 2 2

得 0 < S ?OA1B < 4 ×

21.解: (Ⅰ)当 x < 1 时, f ( x ) = ? x 3 + x 2 + bx + c ,则 f ′( x ) = ?3 x 2 + 2 x + b 。 依题意得: ?

? f ( 0) = 0 ?c = 0 ,即 ? ? f ′(?1) = ?5 ? ? 3 ? 2 + b = ?5

解得 b = c = 0 ………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) = ?

?? x 3 + x 2 , x < 1 ?a ln x, x ≥ 1
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①当 ? 1 ≤ x < 1 时, f ′( x ) = ?3 x + 2 x = ?3 x ( x ? ) ,
2

2 3

令 f ′( x ) = 0 得 x = 0或x =

2 3

当 x 变化时, f ′( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ′(x) f (x)

(?1,0)
— 单调递减

0 0 极小值

2 (0, ) 3
+ 单调递增

2 3
0 极大值

2 ( ,1) 3
— 单调递减

又 f ( ?1) = 2 , f ( ) =

2 3

4 , f (0) = 0 。∴ f (x ) 在 [?1,1) 上的最大值为 2. 27

②当 1 ≤ x ≤ 2 时, f ( x ) = a ln x .当 a ≤ 0 时, f ( x ) ≤ 0 , f (x ) 最大值为 0; 当 a > 0 时, f (x ) 在 [1,2] 上单调递增。∴ f (x ) 在 [1,2] 最大值为 a ln 2 。 综上,当 a ln 2 ≤ 2 时,即 a ≤

2 时, f (x ) 在区间 [? 1,2] 上的最大值为 2; ln 2 2 当 a ln 2 > 2 时 , 即 a > 时 , f (x ) 在 区 间 [? 1,2] 上 的 最 大 值 为 ln 2

a ln 2 。……8 分
(Ⅲ)假设曲线 y = f (x ) 上存在两点 P、Q 满足题设要求,则点 P、Q 只能在 y 轴两 侧。 不妨设 P (t , f (t ))(t > 0) ,则 Q ( ?t , t 3 + t 2 ) ,显然 t ≠ 1 ∵ ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,∴ OP ? OQ = 0 即 ? t 2 + f (t )(t 3 + t 2 ) = 0 (*)

若方程(*)有解,存在满足题设要求的两点 P、Q; 若方程(*)无解,不存在满足题设要求的两点 P、Q.
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若 0 < t < 1 ,则 f (t ) = ?t 3 + t 2 代入(*)式得: ? t 2 + ( ?t 3 + t 2 )(t 3 + t 2 ) = 0 即 t ? t + 1 = 0 ,而此方程无解,因此 t > 1 。此时 f (t ) = a ln t ,
4 2

代入(*)式得: ? t + ( a ln t )(t + t ) = 0
2 3 2



1 = (t + 1) ln t a

(**)

令 h( x ) = ( x + 1) ln x ( x ≥ 1) ,则 h′( x ) = ln x + ∴ h(x ) 在 [1,+∞) 上单调递增, 围是 (0,+∞) 。 ∵ t >1

1 +1 > 0 x

∴ h(t ) > h(1) = 0 ,∴ h(t ) 的取值范

∴对于 a > 0 ,方程(**)总有解,即方程(*)总有解。 因此,对任意给定的正实数 a ,曲线 y = f (x ) 上存在两点 P、Q,使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在 y 轴上。……………12 分 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲 证明:作 PE ⊥ AB 于 E Q AB 为直径,∴∠ANB = ∠AMB = 90o )

∴ P, E , B, N 四点共圆, P, E , A, M 四点共圆. (6 分) AE ? AB = AP ? AN (1) ? ?? BE ? AB = BP ? BM (2) ? AB ( AE + BE ) = AP ? AN + BP ? BM …9 分
即 AP ? AN + BP ? BM = AB 2 ……………10 分 23.选修 4—4 极坐标系与参数方程 2 2 23.将圆的方程整理得:(x-4cos θ ) +(y-3sin θ ) =1 设圆心坐标为 P(x,y) 则? (1)+(2) 得

? x = 4 cos θ ? y = 3 sin θ

θ ∈ [0,360°)
--------5 分
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(2)2x+y=8cos θ +3sin θ = 73 sin(θ + ? ) ∴ - 73 ≤2x+y≤ 73 -……………10 分 24.选修 4—5 不等式选讲 24. (本题10 分)解: (1)Q 2 x +

2 2 ≤ 7 ,∴ 2( x ? a) + ≤ 7 + 2a ? 7 + 2a ≥ 4 x?a x?a

∴a ≥

3 …………………5 分 2
2

(2)因为 1 ? xy 10 分

? x ? y = (1 ? a 2 )(1 ? b 2 ) > 0, 所以 1 ? xy > x ? y ……
2

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