高中数学:第二章《等差数列和等比数列的综合应用》测试(新人教A版必修5)

第 4 课时

等差数列和等比数列的综合应用

基础过关 1.等差数列的常用性质: ⑴ m,n,p,r∈N*,若 m+n=p+r,则有 . * ⑵ {an}是等差数列, 则{akn} (k∈N ,k 为常数)是 数列. ⑶ Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成 数列. 2.在等差数列中,求 Sn 的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负) 值或 0,而它后面的各项皆取负(正)值. ⑴ a1> 0,d <0 时,解不等式组 ⑵ a1<0,d>0 时,解不等式组
? ? ? ? ?

? an? 0 ? ? a n ?1 ? 0

可解得 Sn 达到最

值时 n 的值.

可解得 Sn 达到最小值时 n 的值.

3.等比数列的常用性质: ⑴ m,n,p,r∈N*,若 m+n=p+r,则有 ⑵ {an}是等比数列,则{a 2 }、{ n
1 an



}是

数列. 数列.

⑶ 若 Sn≠0,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 构成 典型例题

例 1. 是否存在互不相等的三个实数 a、b、c,使它们同时满足以下三个条件: ① a+b+c=6 ② a、b、c 成等差数列. ③ 将 a、b、c 适当排列后成等比数列. 解:设存在这样的三位数 a,b,c. 由 a+b+c=6,2b=a+c 得:b=2,a+c=4 ① 若 b 为等比中项,则 ac=4,∴ a=c=2 与题设 a≠c 相矛盾. ② 若 a 为等比中项,则 a2=2c,则 a=c=2(舍去)或 a=-4,c=8. ③ 若 c 为等比中项,则 c2=2a,解得 c=a=2(舍去)或 c=-4,a=8. ∴存在着满足条件的三个数:-4,2,8 或 8,2,-4. 变式训练 1.若 a、b、c 成等差数列,b、c、d 成等比数列, ( ) A.等差数列 C.既成等差数列又成等比数列 答案:B。解析:由 2 b ? a ? c ,? b ?
a?c c
2

1 1 1 , , c d e

成等差数列,则 a、c、e 成

B.等比数列 D.以上答案都不是
a?c 2

,由 c ? b d ,? d ?
2

2c

2

a?c

,由

2 d

?

1 c

?

1 e

,



?

c?e ce

,? c ? a e ,即 a , c , e 成等比数列。
2

例 2. 已知公差大于 0 的等差数列{ 求数列{an}的通项公式 an.

1 an

}满足 a2a4+a4a6+a6a2=1,a2,a4,a8 依次成等比数列,

解:设{ ∴( ∴(
1 a4 1 a1

1 an

}的公差为 d(d>0),由 a2,a4,a8 成等比数列可知
1 a2

1 a2



1 a4



1 a8

也成等比数列,

)2=

·

1 a8 1 a1

+3d)2=(
d a1

+d)(
1 a1

1 a1

+7d)

化简得 d2=

,∴

=d

又 a2a4+a4a6+a6a2=1 化简为
1 a2


1 a4

1 a4



1 a6 1

= ·
1 a4 1

1 a2a4a6

∴3· ∴
1 a2


1 a6

a2a6

·

=3,即(
1

+d)(
1 a1
n 2

1 a1

+5d)=3

a1

2d· 6d=3 ∴d= ,
2



1 2



1 an


2 n

1 a1

+(n-1)d=

∴an=

1 1 1 b?c a?c a?b , , 成等差数列,求证: , , 也成等差数列。 a b c a b c 1 1 1 2 1 1 解析:由 , , 成等差数列,则 ? ? ,? 2 a c ? b ( a ? c ), a b c b a c

变式训练 2.已知

∴ 即

b?c a

?

a?b c

?

(b ? c ) ? c ? a ( a ? b ) ac

?

bc ? c ? a ? ab
2 2

?

b (a ? c ) ? a ? c
2

2

?

(a ? c ) ac

2

?

2(a ? c ) b

ac

ac

b?c a?c a?b , , a b c

成等差数列。

例 3. 已知△ABC 中,三内角 A、B、C 的度数成等差数列,边 a、b、c 依次成等比数列.求证: △ABC 是等边三角形. 解:由 2B=A+C,且 A+B+C=180°,B=60°,由 a、b、c 成等比数列,有 b2=ac cosB=
a ?c ?b
2 2 2



a ? c ? ac
2 2



1 2

2 ac
2

2 ac

得(a-c) =0,∴ a=c ∴△ABC 为等边三角形. 变式训练 3.若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列,且 a ? 3 b ? c ? 10 ,则 a = ( ) A.4 B.2 C.-2 D.-4
? a ? c ? 2b, ? 2 ? 答案: D.解析:依题意有 ? b c ? a , ? a ? 3b ? c ? 1 0 . ?

? a ? ?4, ? ?b ? 2, ?c ? 8. ?
1

例 4. 数列{an}的前 n 项和 Sn,且 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3……
3

求:⑴ a2、a3、a4 的值及{an}的通项公式; ⑵ a2+a4+a6+…+a2n 的值. 解析:(1)由 a1=1,an+1= Sn,n=1,2,3,…得 a2= S1= a1= ,a3= S2= (a1+a2)
3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1

= ,a4= S3= (a1+a2+a3)=
9 3 3 1 1

4

1

1

16 27 4 3 1 1 4 3


由 an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2),得 an+1= an(n≥2),又 a2= ,∴an= · )n 2(n≥2) (
3 3 3 3
?1 n ?1 ? 1 4 n?2 ?( ) ? ? 3 3

∴ {an}通项公式为 an= ?

n? 2

(2) 由(1)可知 a2、a4、…a2n 是首项为 ,公比为( )2,项数为 n 的等比数列.
3 3
1? ( 4
2n

1

4

∴ a2+a4+a6+…+a2n= ×
3

1

) 3 4 2 1? ( ) 3

= [( )2n-1]
7 3

3

4

变式训练 4.设数列 ? a n ? 的前 n 项的和 S n ? 求首项 a 1 与通项 a n 。 解析: (I) a1 ? S 1 ?
a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? 4 3

4 3

a n?

1 3

?2

n ?1

?

2 3

, n ? 1, 2 ,3 ......

4 3

a1 ?
4 3

1 3

?2 ?
2

2 3

,解得: a1 ? 2
n ?1

a n ?1 ?

an ?

1 3

?2

n?2

?2

??a

n ?1

?2

n ?1

? 4 ? an ? 2

n

?

所以数列 ? 所以:

an ? 2
n

n

? 是公比为 4 的等比数列
1

a n ? 2 ? ? a1 ? 2

?? 4

n ?1

n n 得: a n ? 4 ? 2

(其中 n 为正整数)

归纳小结 1.在三个数成等差(或等比)时,可用等差(或等比)中项公式;在三个以上的数成等差(或 等比)时,可用性质:m、n、p、r∈N*,若 m+n=p+r,则 am+an=ap+ar(或 am· n=ap· r) a a 进行解答. 2.若 a、b、c 成等差(或等比)数列,则有 2b=a+c(或 b2=ac) . 3.遇到与三角形相关的问题时,一般要注意运用正弦定理(或余弦定理)及三角形内角和等 于 180°这一性质. 4.在涉及 an 与 Sn 相关式子中用 Sn-1 和 Sn 的关系表示 an 时应该注意“n≥2”这个特点.


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