山东省2014届高三数学 备考2013届名校解析试题精选分类汇编11 概率与统计

山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 11: 概率与统计
一、选择题 1 .(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学 )某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同
一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了 10 株树苗,用茎叶图表示上述两组数据,对两块地抽取树
苗的高度的平均数 x甲、x乙 和中位数 y甲、y乙 进行比较,下面结论正确的是

()

A. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 B. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 C. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙 D. x甲 ? x乙,y甲 ? y乙
【答案】B

从茎叶图可知,甲的数据集中在 20 到 30 之间,乙的数据集中在 30 到 40 之间,所以 x甲 ? x乙 .甲的中位

数为

25+29 2

=27

,而乙的中位数为

34+37 2

=35.5 ,所以

y甲

?

y乙 ,选

B.

2 .(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )下列命题中正确的有

①设有一个回归方程 y =2—3x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 3 个单位;

②命题 P:“ ?x0 ? R,x02 -x0 -1>0 ”的否定 ? P:“ ?x ? R, x2 - x-1 ? 0 ”;

③设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1),若 P(X>1)=p,则 P(-1<X<0)= 1 -p; 2
④在一个 2×2 列联表中,由计算得 k2=6.679,则有 99%的把握确认这两个变量间有关系. ( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

本题可以参考独立性检验临界值表

P(K2≥ 0.5
k)

0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.535 7.879 10.828

【答案】C

【 解 析 】 ① 变 量 x 增 加 一 个 单 位 时 ,y 平 均 减 少 3 个 单 位 , 所 以 错 误 .② 正

确.③ P(?1 ? X ? 0) ? 1? 2P( X ? 1) ? 1? 2 p ? 1 ? p ,正确.④正确,所以选

C.

2

22

3 .( 山 东 省 泰 安 市 2013 届 高 三 第 一 轮 复 习 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 如 果 椭 机 变 量

? ? N ??1,? 2 ? ,且P ??3 ? ? ? ?1? ? 0.4 ,则 P ?? ? 1? 等于

()

1

A.0.4 【答案】D

B.0.3

C.0.2

D.0.1





P ??3 ? ? ? ? 1? ? P ?? 1? ? ? 1? ? 0 . 4

,





P ?? ? 1? ? 1? P ?? 3? ? ? ? 1? ? P ?? 1? ? ?

?1
?

1

?

0

.

4?

0 . ?4 0 . 1,选

D.

2

2

4 .(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数

字都可从 0—9 中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果他记得

密码的最后一位是偶数,则他不超过 2 次就按对的概率是

()

A. 4 5`
【答案】C

B. 3 5

C. 2 5

D. 1 5

只按一次就按对的概率是 1 .按两次就按对的概率是 4?1 ? 1 ,所以不超过 2 次就按对的概率是

5

5?4 5

1 ? 1 ? 2 ,选

C.

55 5

5 .(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)为了从甲乙两人中选一人参加数学

竞赛,老师将二人最近 6 次数学测试的分数进行统计,甲乙两人的平均成绩分别是 x甲、x乙 ,则下列说法

正确的是

()

A. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛
加比赛

B.x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参

C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛
加比赛 【答案】D

D.x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参

【 解析】由茎叶图可知 x甲 ? x乙 ,乙的数据集中在 88 左右,所以乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛,所

以选

D.

6 .(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)设随机变量 X ~ N (3,1),若 P( X ? 4) ? p ,,

则 P(2<X<4)=
( A) 1 ? p 2

( B)l—p

C.l-2p

D. 1 ? p 2

2

【答案】C 因为 P( X ? 4) ? P( X ? 2) ? p ,所以 P(2<X<4)= 1? P( X ? 4) ? P( X ? 2) ? 1? 2 p ,选
C.
7 .(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图
如图所示,据图估计,样本数据在?8,10? 内的频数为

A. 38
【答案】C

()

B. 57

C. 76

D. 95

样本数据在?8,10? 之外的频率为 (0.02 ? 0.05 ? 0.09 ? 0.15) ? 2 ? 0.62 ,所以样本数据在

?8,10? 内的频率为1? 0.62 ? 0.38 ,所以样本数据在?8,10? 的频数为 0.38? 200 ? 76 ,选 C.
8 .(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)已知某篮球运动员 2012 年度参加了 40 场比赛, 现从中抽取 5 场,用茎叶图统计该运动员 5 场中的得分如图所示,则该样本的方差为

()

A.26

B.25

C.23

D.18

【 答 案 】 D 样 本 的 平 均 数 为 23, 所 以 样 本 方 差 为

1 [(19 ? 23)2 ? (20 ? 23)2 ? (22 ? 23)2 ? (23 ? 23)2 ? (31? 23)2 ] ? 18 ,选

D.

5

9 .(山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)右图是 2013 年在某大学自主招

生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶图,则去年一个最高分和一个最低分后,所剩数据

的平均数和方差分别为

A.84,4.84 C.85,1.6 【答案】C

B.84,1.6 D.85,4

()
3

数 据 中 的 最 高 分 为 93, 最 低 分 为 79. 所 以 平 均 分 为 84 ? 1 (2 ? 3) ? 85 , 方 差 为 5

1 [3(84 ? 85)2 ? (86 ? 85)2 ? (87 ? 85)2 ] ? 1.6 ,所以选

C.

5

10.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)如图所示,在边长为 l 的正方形 OABC 中任取一点 P,

则点 P 恰好取自阴影部分的概率为

()

A. 1 3

B. 1 4

C. 1 5

D. 1 6

? 【答案】

【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为

1
(x
0

?

x3 )dx

?

(1 2

x2

?

1 4

x4 )

1 0

?

1 4

,

所以由几何概型公式可得点 P 恰好取自阴影部分的概率为 1 ,选

B

4

二、填空题 11.(山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)某市为增强市民的节约粮食意识,面向全市征
召务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组[20,25),第 2 组[25,30), 第 3 组[30,35),第 4 组[35,40),第 5 组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示若用分层抽样的方法 从第 3,4,5 组中共抽取了 12 名志愿者参加 l0 月 16 日的“世界粮食日”宣传活动,则从第 4 组中抽取 的人数为________.

【答案】4 由直方图可知,第 3,4,5 组的人数比为 0.06 : 0.04 : 0.02 ? 3 : 2 :1 .所以从第 4 组中抽取的人

数为12? 2 ? 12? 2 ? 4 .

3? 2?1

6

12.(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科 数学)给出以下命题:

① 双曲线 y2 ? x2 ? 1的渐近线方程为 y ? ? 2x ; 2
② 命题 p : “ ?x ? R+ , sin x ? 1 ? 2 ”是真命题; sin x
③ 已知线性回归方程为 y? ? 3 ? 2x ,当变量 x 增加 2 个单位,其预报值平均增加 4 个单位;
4

④ 设随机变量? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P(? ? 1) ? 0.2 ,则 P(?1 ? ? ? 0) ? 0.6 ;

⑤ 已知 2 ? 6 ? 2 , 5 ? 3 ? 2 , 7 ? 1 ? 2 , 10 ? ?2 ? 2 ,依照以上各 2 ? 4 6 ? 4 5 ? 4 3 ? 4 7 ? 4 1? 4 10 ? 4 ?2 ? 4
式的规律,得到一般性的等式为 n ? 8 ? n ? 2 ,( n ? 4 ) n ? 4 (8 ? n) ? 4

则正确命题的序号为_________________(写出所有正确命题的序号).

【 答 案 】 ①③⑤

① 正 确 .② 当 x ? 3? 时 , sin x ? 1 ? ?2 , 所 以 ② 错 误 .③ 正 确 .④ 因 为

2

sin x

P(? ? 1) ? P(? ? ?1) ? 0.2 ,所以 P(?1 ? ? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? P(? ? ?1) ? 0.2 ? 0.6 ? 0.3 ,所以

2

2

④错误.⑤正确.

13.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)某课题组进行城市空气质量调查,按地域

把 24 个城市分成甲、乙、丙三组,对应城市数分别为 4、12、8.若用分层抽样抽取 6 个城市,则甲组中

应抽取的城市数为____.

【答案】1 甲组中应抽取的城市数为 6 ? 4 ? 1 个. 24

14.(山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量 检测数学(理)试题)从集合?1, 2, 3, 4, 5? 中随机选取 3

个不同的数,这个数 可以构成等差数列的概率为______.
【答案】 2 5
从 集 合 ?1, 2, 3, 4, 5? 中 随 机 选 取 3 个 不 同 的 数 有 C53 ? 10 种 . 则 3 个 数 能 构 成 等 差 数 列 的
有,1, 2,3; 2,3, 4;3, 4,5;1,3,5; 有 4 种,所以这个数可以构成等差数列的概率为 4 ? 2 . 10 5
15.(山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理))某市居民用户 12 月份燃气用量(单位:m3) 的频率分布直方图如图所示,现抽取了 500 户进行调查,则用气量在[26,36)的户数为 .

【答案】125 【 解 析 】 用 气 量 在 [26,36) 的 频 率 为 0.025? (36 ? 26) ? 0.25 , 所 以 用 气 量 在 [26,36) 的 户 数 为 0.25? 500 ? 125 .
16.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)给出下列四个命题:
①命题“ ?x ? R,cos x ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R,cos x ? 0 ”; ②若 lg a ? lg b ? lg( a ? b ) ,则 a ? b 的最大值为 4;
③定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) ,则 f ( 6 ) 的值为 0;
5

④已知随机变量 ? 服从正态分布 N(1,? 2 ),P( ? ? 5 ) ? 0.81,则 P( ? ? ?3 ) ? 0.19 ;其中真命题的序
号是________(请把所有真命题的序号都填上).
【答案】①③④ ①命题“ ?x ? R,cos x ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R,cos x ? 0 ”;所以①正确. ② 若 lg a ? lg b ? lg( a ? b ) , 则 lg ab ? lg( a ? b ) , 即 ab ? a ? b, a ? 0,b ? 0 . 所 以
ab ? a ? b ? ( a ? b)2 ,即 (a ? b)2 ? 4(a ? b) ,解得 a ? b ? 4 ,则 a ? b 的最小值为 4;所以②错误.③ 2
定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) ,则 f (x ? 4) ? f (x) ,且 f (0) ? 0 ,即函数的周期

是 4.所以 f (6) ? f (2) ? ? f (0) ? 0 ;所以③正确.

④ 已 知 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 N(1,? 2 ),P( ? ? 5 ) ? 0.81 , 则
P(? ? 5) ? 1? P(? ? 5) ? 1? 0.81 ? 0.19 ,所以 P( ? ? ?3 ) ? P( ? ? 5 ) ? 0.19 ;所以④正确,所以真
命题的序号是①③④.
17.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)在区间[?1,1] 上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程

x2 ? mx ? n2 ? 0 有两不相等实根的概率为___________.

【答案】 1 4

由 题 意 知 ?1 ? m ? 1, ?1 ? n ? 1. 要 使 方 程 x2 ? mx ? n2 ? 0 有 两 不 相 等 实 根 , 则

?=m2 ? 4n2 ? 0 ,即 (m ? 2n)(m ? 2n) ? 0 .作出对应的可行域,如图直线 m ? 2n ? 0 , m ? 2n ? 0 ,当

m

? 1 时,

nC

?

1 2

,

nB

?

?

1 2

,所以

S?OBC

?

1 ?1?[1 22

? (?

1)] ? 2

1 2

,所以方程

x2

?

mx ? n2

?

0

有两不

相等实根的概率为 2S?OBC

?

2? 1 2

?

1.

2?2 4 4

18.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)某地政府调查了工薪阶层 1000 人的月工资收入, 并把调查结果画成如图所示的频率分布直方图,为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度,要用分
层抽样方法从调查的 1000 人中抽出 100 人作电话询访,则(30, 35] (百元)月工资收入段应抽出_ ______
6

人.
频率/组距

0.05 0.04

0.02 0.01

10 15 20 25 30 35 40 月工资(百元) 第 14 题图

【 答 案 】 15

(30, 35] ( 百 元 ) 月 工 资 收 入 段 的 频 率 为

1? (0.02 ? 0.04 ? 0.05 ? 0.05 ? 0.01) ? 5 ? 1? 0.85 ? 0.15 ,所以 0.15 ? 5 ? 0.03 ,所以各组的频率比

为 0.02 : 0.04 : 0.05 : 0.05 : 0.03 : 0.01 ? 2 : 4 : 5 : 5 : 3 :1 ,所以(30,35] (百元)月工资收入段应抽出 3 ?100 ? 15 人. 20
? ? 19.(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)在区间 0, 4 内随机取两个数 a、b, 则使得函

数 f (x) ? x2 ? ax ? b2 有零点的概率

为___________.

【答案】1 4

函数有零点,则

?

?

a2

?

4b2

?

0

,即 (a

?

2b)(a

?

2b)

?

0

.又

?0 ??0

? ?

a b

? ?

4 4

,做出对应的平

面区域为

,当 a ? 4 时, b ? 2 ,即三角形 OBC 的面积为 1 ? 4? 2 ? 4 ,所以由 2

几何概型可知函数 f (x) ? x2 ? ax ? b2 有零点的概率为 4 ? 1 . 4?4 4
20.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)下列命题:

? `

(1)

21

1

dx ? ?

1x

x2

2 1

?

3; 4

(2)不等式| x ?1| ? | x ? 3 |? a 恒成立,则 a ? 4 ;

(3)随机变量 X 服从正态分布 N(1,2),则 P( X ? 0) ? P( X ? 2);

7

(4)已知 a,b ? R? , 2a ? b ? 1, 则 2 ? 1 ? 8 .其中正确命题的序号为____________. ab

【答案】(2)(3)

? (1)

2 1dx ? ln x 1x

2 1

? ln 2 ,所以(1)错误.(2)不等式 | x ?1| ? | x ? 3 | 的最小值为

4, 所 以 要 使 不 等 式 | x ?1 | ? | x ? 3 |? a 成 立 , 则 a ? 4 , 所 以 (2) 正 确 .(3) 正

确.(4) 2 ? 1 ? ( 2 ? 1)(2a ? b) ? 4 ?1? 2b ? 2a ? 5 ? 2 2b ? 2a ? 9 ,所以(4)错误,所以正确的为

ab ab

ab

ab

(2)(3). 21.(【 解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )如图,长方形的四个顶点为

O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),曲线 y ? ax2 经过点 B.现将一质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落

在图中阴影区域的概率是______

【答案】 2 3

【解析】因为 B(2,4)在曲线 y ? ax2 上,所以 4 ? 4a ,解得 a ? 1 ,所以曲线方程为 y ? x2 ,因为

? 2 x2dx ? 1 x3

0

3

2 0

? 8 ,所以阴影部分的面积为 8 ? 8 ? 16

3

33

,所以质点落在图中阴影区域的概率是

16 3 ?2. 2?4 3

三、解答题

22.(山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学)生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指

标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如

下:

测试指 标

?70, 76?

?70,82?

?82,88?

?88, 94 ?

?94,100?

元件 A

8

12

40

32

8

元件 B

7

18

40

29

6

(1)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率;

(2)生产一件元件 A,若是正品可盈利 80 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B,若是正品可盈利 100

元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ)的前提下.

(i)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 280 元的概率;

(ii)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

【答案】
8

23.(山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)在一个盒子中,放有标号分别为
1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有.放.回.的随机抽取两张卡片,记第一次抽取卡片的标号为 x ,第二 次抽取卡片的标号为 y .设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 (x ? 2, x ? y), 记? ?| OP |2 . (Ⅰ)求随机变量? 的最大值,并求事件“? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量? 的分布列和数学期望.
【答案】
9

24.(山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)从参加某次高三数学摸底考试的同学中,选 取 60 名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图),观察图形中 的信息,回答下列问题. (1)补全这个频率分布直方图,并估计本次考试的平均分; (2)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100]记 1 分,用 X 表示抽 取结束后的总记分,求 x 的分布列和数学期望.
10

【答案】
25.(山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)现有长分别为1m 、2m 、3m 的钢管各 3 根(每 根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号),从中随机抽取 n 根(假设各钢管被抽取的可能性是均 等的,1 ? n ? 9 ),再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根. (Ⅰ)当 n ? 3 时,记事件 A ? {抽取的 3 根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P( A) ; (Ⅱ)当 n ? 2 时,若用? 表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求? 的分布列; ②令? ? ?? 2? ? ? ?1, E(?) ? 1,求实数 ? 的取值范围.
11

【答案】解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件,

P( A) ?

C31C32C61 C93

?9 14

(Ⅱ)①? 可能的取值为 2,3, 4,5, 6

P(?

? 2)

?

C32 C92

?1 12

P(?

? 3)

?

C31C31 C92

?

1 4

P(?

?

4)

?

C32

? C31C31 C92

?

1 3

P(?

? 5)

?

C31C31 C92

?

1 4

P(?

? 6)

?

C32 C92

?

1 12

∴ ? 的分布列

?2

3 45

为: 6

1 P
12

1 11

1

4 34

12

② E(? ) ? 2? 1 ? 3? 1 ? 4? 1 ? 5? 1 ? 6? 1 ? 4 12 4 3 4 12

? ? ?? 2? ? ? ?1,? E(?) ? ?? 2E(? ) ? ? ?1 ? ?4? 2 ? ? ?1

E(?) ? 1 ,??4? 2 ? ? ?1 ? 1 ? 0 ? ? ? 1 4
26.(山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数 学)为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,

某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛

为笔试,决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为100 分)进行统计,
制成如下频率分布表.

分数(分数段)

频数(人数)

频率

[60,70)

9

x

[70,80)

y

0.38

[80,90)

16

0.32

[90,100)

z

s

合计

p

1

(Ⅰ)求出上表中的 x, y, z, s, p 的值;

(Ⅱ)按规定,预赛成绩 不低于 90 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已
知高一·二班有甲、乙两名同学取得决赛资格.

①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率;

12

②记高一·二班在决赛中进入前三名的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

解:(Ⅰ)由题意知, x ? 0.18, y ? 19, z ? 6, s ? 0.12, p ? 50

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共 6 人,

①设“甲不在第一位、乙不在第六位”为事件 A ,

则 P( A) ?

A55 +A41 A41 A44 A66

?7 10

所以甲不在第一位、乙不在第六位的概率为 7 10

②随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2

P( X

?

0)

?

A32 A44 A66

?

1 5

,

P( X

? 1) ?

C21 A31 A31 A44 A66

?

3 5

,

P( X

?

2)

?

A32 A44 A66

?

1, 5

随机变量 X 的分布列为:

X

0

1

2

1

3

1

P

5

5

5

因为 EX ? 0? 1 ?1? 3 ? 2? 1 =1, 55 5
所以随机变量 X 的数学期望为1
27.(山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)甲、乙两人玩猜数字游戏,规则如下: ① 连续竞猜 3 次,每次相互独立; ② ②每次竟猜时,先由甲写出一个数字,记为 a,再由乙猜甲写的数字,记为 b,已
知 a,b ??0,1, 2,3, 4,5? ,若 a ? b ? 1,则本次竞猜成功;
③在 3 次竞猜中,至少有 2 次竞猜成功,则两人获奖 (I)求甲乙两人玩此游戏获奖的概率; (Ⅱ)现从 6 人组成的代表队中选 4 人参加此游戏,这 6 人中有且仅有 2 对双胞胎 记选出的 4 人中含有双胞胎的对数为 X,求 X 的分布列和期望

【答案】

13

28.(【解析】山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )(本小题满分 l2 分)中国航母“辽宁 舰”是中国第一艘航母,“辽宁”号以 4 台蒸汽轮机为动力,为保证航母的动力安全性,科学家对蒸汽 轮机进行了 170 余项技术改进,增加了某项新技术,该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不 同指标甲、乙、丙进行通过量化检测.假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分
别为 3 、 2 、 1 .指标甲、乙、丙合格分别记为 4 分、2 分、4 分;若某项指标不合格,则该项指标记 0 432
分,各项指标检测结果互不影响. (I)求该项技术量化得分不低于 8 分的概率; (II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望.

【答案】解:(Ⅰ)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件 A 、 B 、 C , 则事件“得分不低于 8 分”表示为 ABC + ABC . ? ABC 与 ABC 为互斥事件,且 A 、 B 、 C 为彼此独
立 ? P( ABC + ABC ) = P ( ABC )+ P ( ABC )

= P ( A ) P ( B ) P ( C )+ P ( A ) P ( B ) P ( C = 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 3 432 432 8
(Ⅱ)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数 X 的取值为 0,1,2,3.

? P( X ? 0) = P ( ABC )= 1 ? 1 ? 1 = 1 , 4 3 2 24

P( X ? 1) = P ( ABC + ABC + ABC )= 3 ? 1 ? 1 + 1 ? 2 ? 1 + 1 ? 1 ? 1 = 1 , 432 432 432 4

P( X ? 2) = P ( ABC + ABC + ABC )= 3 ? 2 ? 1 + 1 ? 2 ? 1 + 3 ? 1 ? 1 = 11 , 4 3 2 4 3 2 4 3 2 24

P( X ? 3) = P ( ABC )= 3 ? 2 ? 1 = 1 , 432 4

随机变量 X 的分布列为

X

0

1

2

3

P

1

1

11

1

24

4

24

4

14

? EX = 0? 1 +1? 1 + 2? 11 + 3? 1 = 23 24 4 24 4 12
29.(山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学)某校 50 名学生参加智力答题活动,每人回答 3

个问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表:

答对题目

0

1

2

3

个数

人数

5

10

20

15

根据上表信息解答以下问题: (Ⅰ)从 50 名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率; (Ⅱ)从 50 名学生中任选两人,用 X 表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求随机变量 X 的 分布列及数学期望 EX. 【答案】解(Ⅰ)记“两人答对题目个数之和为 4 或 5”为事件 A,则

P( A)

?

C220

?

C110C115 C520

?

C210C115

? 190 ?150 ? 300 ? 128 ,

25? 49

245

即两人答对题目个数之和为 4 或 5 的概率为 128 245

(Ⅱ)依题意可知 X 的可能取值分别为 0,1,2,3.

则 P(X

? 0) ?

C52

? C120 ? C220 C520

? C125

? 350 1225

?

2, 7

P( X

? 1) ?

C51C110

? C110C210 C520

? C210C115

? 550 1225

?

22 , 49

P( X

? 2) ?

C51C210 ? C110C115 C520

? 250 1225

?

10 , 49

P( X ? 3) ? C51C115 ? 75 ? 3 . C520 1225 49
从而 X 的分布列为

X

0

1

2

3

P

2

22

10

3

7

49

49

49

15

X 的数学期望 EX ? 0? 2 ?1? 22 ? 2? 10 ? 3? 3 ? 51 . 7 49 49 49 49
30.(山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理(A))M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试, 录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于 180 分的男生才能担 任“助理工作”. (I)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取 8 人,再从这 8 人中选 3 人,那 么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (II)若从所有“甲部门”人选中随机选 3 人,用 X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出 X 的分 布列,并求出 X 的数学期望.
【答案】
31.(山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学(理)试题)在某社区举办的《2013 年迎新春知识有奖
问答比赛》中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关过年知识的问题,已知甲回答对这道题的概率是 3 , 4
16

甲、丙二人都回答错的概率是 1 ,乙、丙二人都回答对的概率是 1 .

12

4

(1)求乙、丙二人各自回答对这道题的概率;

(2)设乙、丙二人中回答对该题的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望.

【答案】

32.(2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学)(本小题满分 l2 分) 某次考试中,从甲,乙两个班各抽取 10 名学生的成绩进行统计分析,两班 10 名学生成绩的茎叶图如图 所示,成绩不小于 90 分为及格.
(I)从每班抽取的学生中各抽取一人,求至少有一人及格的概率; (Ⅱ)从甲班 l0 人中取两人,乙班 l0 人中取一人,三人中及格人数记为 X,求 X 的分布列和期望. 【答案】
17

33.(山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)若盒中装有同一型号的灯泡共 10 只,其中有 8 只合格品,2 只次品. (1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3 次,每次取一只灯泡,求 2 次取到次品的概率; (2)某工人师傅有该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡,每次从中取一灯泡,若是正品则用它更
换已坏灯泡,若是次品则将其报废(不再放回原盒中),求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数 x
的分布列和数学期望.

【答案】(1)解:设一次取次品记为事件 A,由古典概型概率公式得: P(A)? 2 ? 1 2 分 10 5

有放回连续取

3

次,其中

2

次取得次品记为事件

B,由独立重复试验得:

P(B)?

C(32

1 5

)2 .

4 5

?

12 125

(2)依据知 X 的可能取值为 1.2.35

且 P(x ? 1)? 8 ? 4 6 10 5

P(x ? 2)? 2?8 ? 8 7 A120 45

P(x

? 3)?

A22 A120

?

18 45

18

则 X 的分布列如下表:

X

1

2

3

p

4

8

1

5

45

45

EX ? 36 ? 16 ? 3 ? 55 ? 11 45 45 45 45 9
34.(山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学)某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加 A、

B、C、D、E 五项考试,如果前四

项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束;考生未被淘汰时,一定继续参加

后面的考试.已知每一项测试都是相互独立的,该生参加 A、B、C、D 四项考试不合格的 概率均为 1 , 2
参加第五项不合格的概率为 2 3
(1)求该生被录取的概率;

(2)记该生参加考试的项数为 X ,求 X 的分布列和期望.

【答案】解:(1)若该生被录取,则前四项最多有一项不合格,并且第五项必须合格

记 A={前四项均合格}

B={前四项中仅有一项不合格}

则 P(A)= (1)4 ? (1? 2) ? 1

2

3 24

P(B)= C 1 1 ? (1? 1)3?(1? 2) ? 1

42 2

3 16

又 A、B 互斥,故所求概率为

P=P(A)+P(B)= 1 ? 1 ? 5 24 16 48

(2)该生参加考试的项数? 可以是 2,3,4,5.

P( X

?

2)

?

1?1 22

?

1 4

P( X
,

? 3)

? C21(1?

1)? 1? 1 2 22

?

1 4

P( X

?

4)

? C31(1?

1)?(1)2 ? 1 222

?3 16

P( X
,

? 5)

?1?

1 4

?

1 4

?3 16

?5 16

X

2

3

p

1

1

4

4

4

5

3

5

16

16

E( X ) ? 2? 1 ? 3? 1 ? 4? 3 ? 5? 5 ? 57 4 4 16 16 16
35.(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题) 袋中有 8 个大小相同的小球,其中 1 个黑球,3 个白球,4 个红球.
19

(I)若从袋中一次摸出 2 个小球,求恰为异色球的概率; (II)若从袋中一次摸出 3 个小球,且 3 个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球
的个数为? ,求? 的分布列及数学期望 E? .

【答案】解: (Ⅰ)摸出的 2 个小球为异色球的种数为 C11 C71 ? C31C41 ? 19

从 8 个球中摸出 2 个小球的种数为 C82 ? 28

故所求概率为 P ? 19

4分

28

(Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种:

一种是有 1 个红球,1 个黑球,1 个白球,

共有 C11 C41C31 ? 12 种
一种是有 2 个红球,1 个其它颜色球,

共有 C42C41 ? 24 种,

一种是所摸得的 3 小球均为红球,共有 C43 ? 4 种不同摸法, 故符合条件的不同摸法共有 40 种 由题意知,随机变量? 的取值为1, 2 , 3 .其分布列为:

?

1

2

3

3

3

1

P

10

5

10

E? ? 1? 3 ? 2? 3 ? 3? 1 ? 9 10 5 10 5
36.(山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)某电视台举办有奖竞答活动,活动规则如下:① 每人最多答 4 个小题;②答题过程中,若答对则继续答题,答错则停止答题;③答对每个小题可得 1 ,答
错得 0 分.甲、乙两人参加了此次竞答活动,且相互之间没有影响.已知甲答对每个题的概率为 1 ,乙答 3
对每个题的概为 2 . 3
( I )设甲的最后得分为 X,求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)求甲、乙最后得分之和为 20 分的概率.

【答案】解:(I) X 的取值可 为:0,10,20,30,40 P( X = 0) = 1- 1 = 2 ,
33

P( X

=

10) =

1 3

?骣 ???桫1

13÷÷÷=

2, 9

P(X =

20) = 骣 珑 珑 珑 桫13鼢 鼢 鼢2 骣 桫1-

1 3

=

2, 27

P( X = 30) = 骣 珑 珑 珑 桫13鼢 鼢 鼢3 ?骣 桫1

1 = 2, 3 81

20

P( X

=

40) =

骣???桫13÷÷÷4

=

1. 81

\ X 的分布列如下:

X

0

10

20

30

40

P

2

2

2

2

1

3

9

27

81

81

……………………………………5 分

数学期望 EX = 0? 2 10? 2 20? 2 30? 2 40? 1 400

3

9

27

81

81 81

(II)设“甲、乙最后得分之和为 20 分”为事件 A ,“甲恰好得 0 分且乙恰 好得 20 分” 为事件 B ,“恰

好得 10 分且乙恰好得 10 分”为事件 C ,“甲恰好得 20 分且乙恰好得 0 分”为事件 D ,则事件 B 、C 、

D 互斥,且 A = B + C + D .

又 P(B) = 骣珑珑珑桫1-

13鼢鼢鼢鬃骣桫23

2

骣桫???1-

23 ???=

8, 81

P(C) =

1 3

?骣 珑 珑 珑 桫1

13鼢 鼢 鼢鬃23

骣 桫1-

2 3

= 4, 81

P(D) = 骣珑珑珑桫13鼢鼢鼢2 ?骣桫1

1 ?1 33

2 81

\ P( A) = P(B + C + D) = P(B) + P(C) + P(D) = 8 + 4 + 2 + 14 81 81 81 81
37.(山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学(理))甲、乙两人进行乒乓球比赛,已知一局中 甲胜乙的概率为 0.6,现实行三局两胜制,假设各局比赛结果相互独立(1)求甲获胜的概率; (2)用 x 表示甲获胜的局数,求 x 的分布列和数学期望 E(X). 【答案】

38.(山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)某产品按行业生产标准分成 6 个等
级,等级系数 ? 依次为 1,2,3,4,5,6,按行业规定产品的等级系数 ? ? 5 的为一等品, 3 ? ? ? 5 的为二
21

等品,? ? 3 的为三等品.
若某工厂生产的产品均符合行业标准,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个 样本,数据如下;
(I)以此 30 件产品的样本来估计该厂产品的总体情况,试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等 品的概率;
?1,? ? 3 (II)已知该厂生产一件产品的利润 y(单位:元)与产品的等级系数? 的关系式为 y ? ??2, 3 ? ? ? 5 ,若
??4,? ? 5
从该厂大量产品中任取两件,其利润记为 Z,求 Z 的分布列和数学期望. 【答案】
22


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