海南省海口市第一中学2017届高三10月月考数学(文)试卷

海口一中 2017 届高三 10 月月考试卷(B 卷)


要求)

学(文科)

一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题四个选项中,只有一项符合题目

1.已知集合 M ? {?2, 0, 2, 4} , N ? {x | x2 ? 9} ,则 M A. {0, 2} B. {?2, 0, 2} C. {0, 2, 4} D. {?2, 2}

N ?(



2. 已知复数 z ?

10 ? 2i (其中 i 为虚数单位),则| z | = ( 3?i
C. 2 3 D. 2 2

).

A. 3 3 B. 3 2

3.先后抛掷两颗质地均匀的骰子,则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( A.

).

1 12

B.

1 6

C.

1 4

D.

1 3

4.已知甲、乙两组数据如图茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也 相同,则图中的 m, n 的比值 A.

m ?( n
D.1



3 8

B.

1 3

C.

2 9

P 5.如图,在底面边长为 1,高为 2 的正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,点
是平面 A1B1C1D1 内一点, 则三棱锥 P ? BCD 的正视图与侧视图的面积之和 为( A.2 ) B.3 C.4 D.5

6.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需要将函数 y ? sin(2 x ? ( )

?
6

) 的图象

? 个单位 12 ? C.向左平移 个单位 6
A.向左平移

? 个单位 12 ? D.向右平移 个单位 6
B.向右平移 )

7.圆 x2+y2-4x+4y+6=0 截直线 x-y-5=0 所得弦长等于( A. 6 5 2 B. 2 C.1 D.5

1

1

8.已知命题 p : ?x ? R, 使 x 2 ? x 3 ; 命题 q : ?x ? (0, A. (?p) ? q B. (?p) ? (?q )

?
2

), tan x ? sin x , 则真命题的是 (
D. p ? (?q) )



C. p ? (?q)

9.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 A. a ? 13 B. a ? 12 C. a ? 11

23 ,则( 12
D. a ? 10

10. 设点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上的一点,F1 , F2 分别 a 2 b2

为双曲线的左、右焦点,已知 PF1 ? PF2 ,且 | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则双 曲线的离心率为( A. 2 B. 3 ) C.2 D. 5 ) D. loga c ? logb c

11.若 c ? 1 , 0 ? b ? a ? 1 ,则( A. a ? b
c c

B. ba ? ab
c

c

C. a logb c ? b loga c

12. 函数 f ? x ? ? ( )

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限的一个充分必要条件是 3 2 1 2 6 3 D. ? ? a ? ? 5 16
B. ?1 ? a ? ?

A. ?

4 1 ?a?? 3 3

C. ?2 ? a ? 0

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.设向量 a ? ( x ?1, 2) , b ? (1, x) ,且 a ? b ,则 x ? .

? y?x ? 14.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为__________. ? y ? ?1 ?
15. 已知 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,公差为 d ,若 为 .

S 2017 S17 ? ? 100 ,则 d 的值 2017 17

16. 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱垂直于底面,所有棱长都相等,若该三棱柱的顶点都 在球 O 的表面上,且三棱柱的体积为

9 ,则球 O 的表面积为 4

.

2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17(本小题满分 12 分) .已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?

y
? ?

??
2?

1

? 的部分图像如图所示.
O

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式,并写出 f ? x ? 的单调减区间; (Ⅱ)已知 ?ABC 的内角分别是 A, B, C , A 为锐角, 且f?

?1

? 6

2? 3

x

4 ?A ? ? 1 ? ? ? , cos B ? ,求 sin C 的值. 5 ? 2 12 ? 2

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, ?DAB ? 60 ,

PD ? 平面 ABCD , PD ? AD ? 1 ,点 E , F 分别为 AB 和 PD 的中
点. (Ⅰ)求证:直线 AF / / 平面 PEC ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? BEF 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售一件该商品可获利润 60 元,若供大于求, 剩余商品全部退回,但每件商品亏损 10 元;若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商 品可获利 40 元. (Ⅰ)若商品一天购进该商品 10 件,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单 位:件, n ? N )的函数解析式; (Ⅱ)商店记录了 50 天该商品的日需求量 n (单位:件, n ? N ) ,整理得下表:

若商店一天购进 10 件该商品, 以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求 当天的利润在区间 [500,650] 内的概率.

3

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点到两个焦点的距离之和为 ,短轴长为 2 3 a b

1 ,直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点。 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 相切,证明: ?MON 为定值. 25

1 2 ax ? ln x ? 2 , a ? R . 2

(Ⅰ)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 有两个零点,求实数 a 的取值范围 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做 答是用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
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22. (本小题满分 10 分) 如图, 过圆 O 外—点 P 作圆的切线 PC ,切点为 C ,割线 PAB 、

割线 PEF 分别交圆 O 于 A 与 B 、 E 与 F .已知 PB 的垂直平分线 DE 与圆 O 相切. (1)求证: DE ∥ BF ; (2)若 PC ? 2 3, DE ? 1 ,求 PB 的长.

23. (本小题满分 10 分)
? 已知圆 C 的参数方程是 ? ? 3 ? x ? t cos ? , ? cos ? ( ? 为参数) , 直线 l 的参数方程是 ? (t 2 ? y ? ?1 ? t sin ? . ? ? y ? 1 ? sin ? ? ? 2 x?

为参数) .

? 时,求直线 l 和圆 C 的普通方程; 4 (Ⅱ)若 l 与圆 C 相切,求 tan ? 的值.
(Ⅰ)当 ? ?
4

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24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ? x ? ? a ? 3x ? 2 ? x . (1)若 a ? 2 ,解不等式 f ? x ? ? 3 ; (2)若存在实数 a , 使得不等式 f ? x ? ? 1 ? a ? 2 2 ? x 成立,求实数 a 的取值范围.

5

海口一中 2017 届高三 10 月月考试卷(B 卷)答案


一. BBCAA,BADCD,DD 二.13:

学(文科)
15:

1 16: 7? 10 1 2π π π 2π ? ? , 得T ? π ? , 所以 ? ? 2. 三.17. 解:(Ⅰ)由周期 T ? ………2 分 2 3 6 2 ? π π π π ) 因 1为 . ? ? , 所以?? . 故 当 x? 时 , f ( x) ? 1 , 可 得 s i n (? 2 ?? ? 6 6 6 2 π f ( x) ? sin(2 x ? ). …………4 分 6
14:5 由图像可得 f ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ?

1 3

? ?

π 2π ? , kπ ? ? , k ? Z. ……………6 分 6 3?

π A? A π π 1 6 .…8 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, sin(2( ? ) ? ) ? 1 , 即 sin A ? ,又 A 为锐角,∴ 2 12 6 2

? ,? sin B ? 1 ? cos 2 B ? 00 ?? BB ?? π? ,
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3 . 5

……………9 分 …………10 分 …………12 分

? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin( A ? B)

? sin A cos B ? cos A sin B ?

1 4 3 3 4?3 3 . ? ? ? ? 2 5 2 5 10

18.解: (1)作 FM / / CD 交 PC 于 M ,连接 ME .∵点 F 为 PD 的中点,∴ FM / / 又 AE / /

1 CD , 2

1 CD ,∴ AE / /FM ,∴四边形 AEMF 为平行四边形,∴ AF / / EM ,∵ AF ? 2

平面 PEC , EM ? 平面 PEC ,∴直线 AF / / 平面 PEC . ………5 分

1 , ?DAE ? 60 , 2 1 2 1 1 3 2 2 2 2 ∴ ED ? AD ? AE ? 2 AD ? AE ? cos 60 ? 1 ? ( ) ? 2 ?1? ? ? , 2 2 2 4
(2)连接 ED ,在 ?ADE 中, AD ? 1 , AE ? ∴
2 2 2 3 ,∴ AE ? ED ? AD ,∴ ED ? AB .………8 分 ED ? 2

PD ? 平面 ABCD ,AB ? 平面 ABCD , D ? A B ∴P

PD ,

PD ? 平面 PEF , ED ? D ,

6

1 1 1 3 3 ED ? 平面 PEF ,∴ AB ? 平面 PEF . S?PEF ? ? PF ? ED ? ? ? , ? 2 2 2 2 8
∴三棱锥 P ? BEF 的体积 ? VP? BEF ? VB? PEF ? ………12 分
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1 1 3 1 3 ? S ?PEF ? BE ? ? . ? ? 3 3 8 2 48

19.解: (1)当日需求量 n ? 10 时,

利润为 y ? 60 ?10 ? (n ? 10) ? 40 ? 40n ? 200 ;……2 分 当日需求量 n ? 10 时,利润为 y ? 60 ? n ? (10 ? n) ?10 ? 70n ? 100 .……4 分 所以利润 y 关于需求量 n 的函数解析式为

?40n ? 200(n ? 10, n ? N ) .……6 分 y?? ?70n ? 100(n ? 10, n ? N )
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(2)50 天内有 4 天获得的利润为 390 元,有 8 天获得的利润为 460 元,有 10 元获得的利

润为 530 元,有 14 天获得的利润为 600 元,有 9 天获得的利润为 640 元,有 5 天获得的利 润为 680 元. 若利润在区间 [500,650] 内,日需求量为 9、10、11,……8 分 其对应的频数分别为 10、14、9. ……9 分 则利润在区间 [500,650] 内的概率为 20. 解 : ( Ⅰ ) 由 题

10 ? 14 ? 9 33 ? .……12 分 50 50
意 得

2a ?

2 1 1 1 ,2b ? ,? a ? , b ? 3 2 3 4

? 9x 2 ? 16y 2 ? 1

…………4 分

(Ⅱ)当直线 l ? x 轴时,因为直线与圆相切,所以直线 l 方程为 x ? ? 当 l:x?

1 。 …………5 分 5

1 时 , 得 5

M 、 N

两 点 坐 标 分 别 为 ? , ?, ? ,? ? , ………6 分 …………7 分

?1 1? ?1 ?5 5? ?5

1? 5?

? OM ? ON ? 0, ? ?MON ?
当l : x ? ?

?
2

1 ? 时,同理 ?MON ? ; 5 2

当 l 与 x 轴不垂直时, 设 l : y ? kx ? m, M ?x1 , y1 ?, N ( x2 , y2 ) ,由 d ?

m 1? k 2

?

1 ,? 25m 2 ? 1 ? k 2 , ……8 分 5

7

联立 ?

? y ? kx ? m ?9 x ? 16 y ? 1
2 2
2

得 9 ? 16k 2 x 2 ? 32kmx? 16m 2 ? 1 ? 0 …………9 分

?

?

? ? ?32 km ? ? 4(9 ? 16 k 2 )(16 m 2 ? 1) ? 0, x1 ? x 2 ? ?

32 km , 9 ? 16 k 2

x1 x 2 ?

16m 2 ? 1 , …………10 分 9 ? 16k 2

25m 2 ? k 2 ? 1 ?0 ?OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m = 9 ? 16k 2
2 2

?

?

? ?MON ?

?
2

………… 11 分

综上, ?MON ?

?
2

(定值)

………… 12 分

21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ax ?

1 ax2 ? 1 ? ,x ? 0 ……………1 分 x x

? ?) 上单调递减; ………………2 分 当 a ? 0时,f ?( x) ? 0, f ( x)在(0,
当 a ? 0时,令f ?( x) ? 0, 解得x ?

a .………… 3 分 a

a a 当x ? (0, )时,f ?( x) ? 0;当x ? ( , ? ?)时,f ?( x) ? 0 .…………4 分 a a

a a ?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在 ( , ? ?)内单调递增 …………5 分 a a

( 0, ? ?) 上单调递减; 综上:当 a ? 0时,f ( x) 在
当 a>0 时,?函数f ( x)在(0, )内单调递减;在 (

a a

a , ? ?)内单调递增 …………6 分 a

在(0, +? )上单调递减,函数 f ( x) 不可能有两个 (Ⅱ)当 a ? 0时, 由(Ⅰ)得 f(x )
零点;………7 分

a a 当 a>0 时,由(Ⅰ)得, 函数f ( x)在(0, )内单调递减,在( 且 , ? ?)内单调递增, a a
当 x 趋近于 0 和正无穷大时, f ( x ) 都趋近于正无穷大,………8 分 故若要使函数 f ( x ) 有两个零点,则 f ( x) 的极小值 f(

a ) ? 0 ,………………10 分 a

8



1 1 ? ln a -2 ? 0 ,解得 0 ? a ? e 3 ,综上所述, a 的取值范围 (0,e3 ) …12 分 2 2

22. 解: (1)证明: 连接 BE ,

DE 圆 O 相切,??BED ? ?BFE , 又 DE 为 PB 的垂直平

分线,??BED ? ?PED,??PED ? ?BFE,? DE BF . . . . . . . .5 分 (2)由(1)知 DE ∥ BF 且 D 为 PB 的中点,? E 为 PF 的中点, 且

?FBP ? ?EDP ? 90 ,? BE ? PE ? EF. PC 为圆 O 的切
线,? PC 2 ? PE PF ,? 2 3

?

?

2

? PE 2PE,? PE ? 6 ,

. . . . . .10 分 ? PB ? 2BD ? 2 BE 2 ? DE 2 ? 2 PE2 ? DE 2 ? 2 5 . .

23. 解: (Ⅰ) 直线 l 和圆的普通方程分别为 x ? y ? 1 ? 0 和 ( x ? 分
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3 2 1 ) ? ( y ? ) 2 ? 1 .. . . . . . . 4 2 2

(Ⅱ)显然直线 l 过点 (0, ?1) ,依题意设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,

3 1 , ) 到直线 l 的距离为 圆 C 的圆心 ( 2 2

|

3 1 k ? ? 1| 2 2 ?1 2 k ?1

解得 k ? ?3 3 ? 4 2 所以 tan ? ? ?3 3 ? 4 2 . . . . . .10 分 24. 解: (1)不等式 f ? x ? ? 3 化为 2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ,则 ?

? x ? ?2 ,或 ?2 ? 3 x ? 2 ? x ? 3

2 2 ? ? 3 7 ??2 ? x ? ?x ? ,或 ? ,解得 ? ? x ? ,所以不等式 f ? x ? ? 3 的解集 3 3 ? 4 2 ? ? ?2 ? 3x ? 2 ? x ? 3 ?3x ? 2 ? 2 ? x ? 3
为 ?x | ?

? ?

3 7? . . .5 分 ? x? ?. 4 2?

(2)不等式 f ? x ? ? 1 ? a ? 2 2 ? x 等价于 a ? 3x ? 3 2 ? x ? 1 ? a ,即

3x ? a ? 3x ? 6 ? 1 ? a ,由基本不等式知 3x ? a ? 3x ? 6 ? ?3x ? a ? ? ?3x ? 6? ? a ? 6 ,
若存在实数 a ,使得不等式 f ? x ? ? 1 ? a ? 2 2 ? x 成立, 则 a ? 6 ? 1 ? a , 解得 a ? ?

5 , 2

9

所以实数 a 的取值范围是 ? ?

? 5 ? . . . . . .10 分 , ?? ? .. ? 2 ?

10


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