江苏省2016年高考选修部分相关练习

选修部分 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、填空题 错误! 未指定书签。 . (江苏省盱眙中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题) (几何证明选讲选做题)如图, P

是 圆 O 外 的 一 点 , PD 为 切 线 , D 为 切 点 , 割 线 PEF 经 过 圆 心 O , PF ? 6, PD ? 2 3 , 则

?DFP ? _______.
D

P E O

F

错误!未指定书签。 . (江苏省盱眙中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)如图,已知圆 O 的弦 AB 交

半径 OC 于点 D .若 AD ? 3 , BD ? 2 ,且 D 为 OC 的中点,则 CD ? ________.

错 误!未指 定书签。 . (江苏省涟水中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题) 若关于

x 的不等式

ax2 ? | x ? 1| ?2a ? 0 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围为_________
错误!未指定书签。 . (江苏省涟水县金城外国语学校 2013 届高三下学期期初检测数学试题)如图,已知 AB

是圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为圆上任意一点,过 C 点做圆的切线分别与过 A, B 两点的切线交于 P, Q 点,则 CP ? CQ ? ________________.

错误! 未指定书签。 . (江苏省金湖中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题) 如图, AB 是⊙ O 的直径, CB

切⊙ O 于点 B , CD 切⊙ O 于 点 D , CD 交 BA 的延长线于点 E . 若 AB ? 3 , ED ? 2 , 则

BC 的长为________.

C

D

E

A

O

B

错误! 未指定书签。 . (江苏省江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试数学试题) 若

z ? 3 ? 4i ? 2 ,则 z

的最大值是____________
错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 淮 阴 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 期 初 检 测 数 学 试 题 ) 关 于 z 的 方 程

1? i ?i 1? i

0 1 2 0

z i ? 2 ? i 2013 (其中 i 是虚数单位),则方程的解 z ? _______. z
n

错误!未指定书签。 . (江苏省淮阴中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)已知 b 为二项式 (9 ? x) 展

开式中各项系数之和,且 lim

n??

b ? an 1 ? ,则实数 a 取值范围是_____________. n ?1 a 10b ? a
2x ? 1 2 2
x

0 1 ≥0 ?1

错误! 未指定书签。 . (江苏省洪泽中学 2013 届高三下学期期初考试数学试题) 不等式

0 3

2

的解为___ __________.
错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 洪 泽 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 期 初 考 试 数 学 试 题 ) 计 算 极

限: lim(
n ??

2n 2 ? 2 ) =__________. n2 ? n ? 1

错误!未指定书签。 . (2012 学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 )已知线性方程组的增广矩

?1 1 阵为 ? ?0 a
二、解答题

? 4? 6? ? ,若该线性方程组解为 ? ? ,则实数 a ? _______. 2? ? 2?

错误!未指定书签。 . ( 苏 北 老 四 所 县 中 2013 届 高 三 新 学 期 调 研 考 试 ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为

? x ? 2 cos? (其中 ? 为参数) , M 是曲线 C1 上的动点,且 M 是线段 OP 的中点, (其中 O 点 ? ? y ? 2 ? 2 sin ?
为坐标原点) , P 点的轨迹为曲线 C 2 ,直线的方程为 ? sin( x ? 两点。 (1)求曲线 C 2 的普通方程; (2)求线段 AB 的长。

?
4

) ? 2 ,直线与曲线 C 2 交于 A, B

错误!未指定书签。 . (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)已知矩阵 A ?

?a ?1 ?

b? ,若矩阵 A 属于 4? ?

特征值 1 的一个特征向量为 α 1= ? 出 A 的逆矩阵.

?3? ?1? ,属于特征值 5 的一个特征向量为 α 2= ? ? .求矩阵 A,并写 ? ?1? ?? 1?

错误!未指定书签。 . (南通市 2013 届高三第二次调研测试数学试题) 设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 在矩阵

? m 0? ?1 2 2 M ?? ? ? m ? 0 ? 对应的变换作用下得到的曲线为 x ? y ? 1 ,求矩阵 M 的逆矩阵 M . n 1 ? ?

错误!未指定书签。 . (江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研(3 月)测试数学试题)

设正数 a,b,c 满足 a ? b ? c ? 1 ,求

1 ? 1 ? 1 的最小值. 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

错误!未指定书签。 . (江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研(3 月)测试数学试题)

在平面直角坐标 xOy 中,已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 . (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆 C1 , C2 的极坐标方程及这两个圆的交 点的极坐标; (2)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程.

错误!未指定书签。 . (江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研(3 月)测试数学试题)

如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, OC ⊥ AB ,过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB 的延长 线于点 D .连结 CF 交 AB 于点 E . 求证: DE 2 ? DB ? DA . C

A

O

E

B

D

F

错误!未指定书签。 . (江苏省扬州中学 2013 届高三下学期开学质量检测数学试卷)在极坐标系中,圆

C: ? ? 10cos ? 和直线 l : 3? cos? ? 4? sin ? ? 30 ? 0 相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.

错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 扬 州 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 开 学 质 量 检 测 数 学 试 卷 ) 已 知

? 1 0? ?1 0 ? M ?? ,N ?? ,求曲线 2 x2 ? 2 xy ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程. ? ? ?0 2 ? ??1 1?

错误!未指定书签。 . ( 江 苏 省 扬 州 中 学 2013 届 高 三 3 月 月 考 数 学 试 题 ) 已 知 圆 的 极 坐 标 方 程

?? ? 为: ? 2 ? 4 2 ? cos ? ? ? ? ? 6 ? 0 . 4? ?
⑴将极坐标方程化为普通方程; ⑵若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

错误!未指定书签。 . (江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题)已知矩阵 A=?

? 3 ? c

d?

3? ?,若矩阵 A 属于

?1? ? 3 ? 特征值 6 的一个特征向量为 α 1=? ?,属于特征值 1 的一个特征向量为 α 2=? ?.求矩阵 A,并写出 A 的 ?1? ?-2?
逆矩阵.

错误!未指定书签。 . (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)(选修 4-5:不等式选讲)

若 x ???

? 1 2? , ? ,证明 1 ? 2 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 x ? 3 2 ? 2 3?

错误!未指定书签。 . (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)(选修 4-4:坐标系与参数

方程) 已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数),以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? y ? sin ? ? 2

直线的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ,求直线截圆 C 所得的弦长.

错误!未指定书签。 . (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)(选修 4-2:矩阵与变换),

求曲线 2 x 2 ? 2 xy ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程,其中 M ? ?

?1 0 ? ?1 ,N ? ? ? ?0 2 ? ?? 1

0? . 1? ?

错误!未指定书签。 . (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)(选修 4-1:几何证明选讲)

如图,AB 是⊙O 的直径,C、E 为⊙O 上的点,且 CA 平分∠BAE,DC 是⊙O 的切线,交 AE 的延长线于点 D. 求证:CD⊥AE.

错误! 未指定书签。 . (江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷) (不等式选做题)

设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:2x+

1 ≥2y+3. 2 x -2xy+y2

错误!未指定书签。 . (江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷)(坐标系与参数

方程选做题)

? ?x=3+ 22t 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 m 的参数方程为? (t 为参数);在以 O 为极点、射线 Ox ? ?y=-3+ 22t
为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin2θ =8cosθ .若直线 m 与曲线 C 交于 A、B 两点,求 线段 AB 的长.

错误!未指定书签。 . (江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷)(矩阵与变换选

做题)

?1 ? ?1 0? ?2 0? 已知 M=? ,设曲线 y=sinx 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到曲线 F,求 F 的方程. ?,N= ? ?0 2? ? ? 0 1?

错误!未指定书签。 . (江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷)(几何证明选讲

选做题) 如图,已知 AB 为圆 O 的直径,BC 切圆 O 于点 B,AC 交圆 O 于点 P,E 为线段 BC 的中点.求证:OP⊥PE.
A

O

P

B

E

C

错误!未指定书签。 . (江苏省南菁高级中学 2013 届高三第二学期开学质量检测数学试卷)若极坐标系的极轴

与直角坐标系的 x 轴非负半轴重合,单位长度相等,已知曲线 C 的参数方程为 ? 曲线 D 的极坐标方程为 ? sin(? ?

? x ? sin ?
2 ? y ? cos ?

, ? ? [0, 2? ) ,

?
4

) ? ? 2.

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由.

错误!未指定书签。 . (江苏省南菁高级中学 2013 届高三第二学期开学质量检测数学试卷)学校餐厅每天供应

1000 名学生用餐,每星期一有 A? B 两样菜可供选择,调查资料表明,凡是在本周星期一选 A 菜的,下周星 期一会有 20%改选 B,而选 B 菜的,下周星期一则有 30%改选 A,若用 An? Bn 分别表示在第 n 个星期一选 A? B 菜的人数. (1)若 ?

? An?1 ? ? An ? ? M ? ? ,请你写出二阶矩阵 M;(2)求二阶矩阵 M 的逆矩阵. ? ? Bn?1 ? ? Bn ?

错误!未指定书签。 . (江苏省姜堰市蒋垛中学 2012-2013 学年度第二学期期初测试高三数学试题)(本小题满

分 10 分,坐标系与参数方程)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合. 若直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ?

?

4

) ? 3 2.

(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知 P 为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. 16 9

错误!未指定书签。 . (江苏省姜堰市蒋垛中学 2012-2013 学年度第二学期期初测试高三数学试题)(本小题满

分 10 分,矩阵与变换)已知矩阵 M ? ? (1)求矩阵 M ;

?1 b ? ? 2? 有特征值 ?1 ? 4 及对应的一个特征向量 e1 ? ? ? . ? ?c 2? ?3 ?

(2)求曲线 5x ? 8xy ? 4 y ? 1在 M 的作用下的新曲线方程.
2 2

错误!未指定书签。 . (江苏省姜堰市蒋垛中学 2012-2013 学年度第二学期期初测试高三数学试题)(本小题满

分 10 分,几何证明选讲)如图,过圆 O 外一点 M 作圆的切线,切点为 A ,过 A 作 AP ? OM 于 P . (1) 求证: OM ? OP ? OA ;
2

(2) N 为线段 AP 上一点,直线 NB 垂直直线 ON ,且交圆 O 于 B 点.过 B 点的切线交直线 ON 于 K , 求证: ?OKM ? 90 .
?

B

A

K

N O P M

错误!未指定书签。 . (江苏省江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试数学试题)将曲线 xy ? 1 绕坐标原点

按逆时针方向旋转 45°,求所得曲线的方程.

江苏省 2013 届高三下学期最新精选试题(27 套)分类汇编 16:选修部分参考答案 一、填空题 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

30? ;

2
1? 3 [ , ??) 4
CP ? CQ ? 4
3 7

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

1 ? 2i

(??,?10) ? ?10,???

x? 0 错误!未找到引用源。 2 错误!未找到引用源。 1
二、解答题 错误!未找到引用源。 .解(1) x
2

? ( y ? 4) 2 ? 16 ;

(2) AB ? 2 14

错误! 未找到引用源。 解: 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α1= ?

?3? ?a 可得, ? ?1 ?? 1? ? ?a b ? ?1? 即 3a ? b ? 3 ,由矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为 α2=? ?,可得 ? ? ?1? ? 1 4? ?a ? 2 ?2 即 a ? b ? 5 ,解得 ? 即 A= ? ?b ? 3 ?1

b? ? 3 ? ? 3 ? ? ?=? ?, 4? ? ?? 1? ?? 1? ?1? ?1? ?1? =5 ?1? , ?? ??

? 4 ? 3? ,A 的逆矩阵是 ? 5 ? 1 4? ?? ? 5

3? ? ? 5 2 ? ? 5 ?

错误!未找到引用源。 【解】设曲线 2 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 上任一点 P ( x, y ) 在矩阵 M 对应的变换下的像是

P ?( x ?, y ?) ,

? x? ? ? m 0? ? x ? ? mx ? ? x? ? mx, 由? ? ?? ,得 ? ?? ? ? ? ? ? y?? ? n 1? ? y ? ? nx ? y ? ? y? ? nx ? y,
因 为

P?( x?,y?)

在 圆

x2 ? y 2 ? 1 上 , 所 以

? mx?

2

? ? nx ? y ? ? 1 , 化 简 可 得
2

(m2 ? n2 ) x2 ? 2nxy ? y 2 ? 1 .………………………………3 分
依题意可得 m2 ? n2 ? 2, 2n ? 2 , m ? 1,n ? 1 或 m ? ?1,n ? 1 而由 m ? 0 可得 m ? 1,n ? 1 .……… 6 分

?1 0? ? 1 0? 故M ?? , M ?1 ? ? ? ? .………………………………10 分 ?1 1 ? ? ?1 1 ?
错误!未找到引用源。 【解】因为 a,b,c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,所以 (3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3 c ? 2) ? 9 .

于是

? 3a1? 2 ? 3b1? 2 ? 3c1? 2 ??(3a ? 2) ? (3b ? 2) ? (3c ? 2)?
1 ? 33 (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2) ? 9 , (3a ? 2)(3b ? 2)(3c ? 2)

≥33

当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,等号成立. ………………………………………8 分 3 即
1 ? 1 ? 1 ≥1 ,故 1 ? 1 ? 1 的最小值为 1.………10 分 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2 3a ? 2 3b ? 2 3c ? 2

错误!未找到引用源。 【解】 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 , 圆 C2 的极坐标方程为 ? ? 4cos? ,

? ? ? 2, π 由? 得 ? =2,? ? ? ,故圆 C1,C2 交点坐标为圆 2,π , 2, ? π .…………………5 分 3 3 3 ? ? ? 4cos?
(2)由(1)得,圆 C1,C2 交点直角坐标为 (1, 3), (1, ? 3) , 故圆 C1与C2 的公共弦的参数方程为 ?

? ??

?

? ? x ? 1, …………………10 分 ? ? y ? t (? 3≤t≤ 3).

注:第(1)小题中交点的极坐标表示不唯一;第(2)小题的结果中,若未注明参数范围,扣 2 分.
错误!未找到引用源。 【证明】连结 OF.

因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90° . 所以∠OFC+∠CFD=90° . 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90° . …………………………5 分 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB· DA.所以DE2=DB· DA.
错误!未找到引用源。

………10分

错误!未找到引用源。 【解析】本题考查矩阵的乘法,MN= ?

?1 0 ? ? 1 0 ? ? 1 0 ? ? ? ?1 1 ? = ? ?2 2 ? , 0 2 ? ? ? ? ??

? x, y) 设P 是曲线 2 x2 ? 2 xy ? 1 ? 0 上任意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ,则 (x?, y?) (
有? ? ? ?

? x? ? y?

x? ? 1 0? ? x '? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2? ? y '? ? ?2 x? ? 2 y??
y 2

于是 x? ? x , y ? ? x ?

代入 2x?2 ? 2x?y? ? 1 ? 0 得 xy ? 1 , 所以曲线 2 x2 ? 2 xy ? 1 ? 0 在 MN 对应的变换作用下 得到的曲线方程为 xy ? 1
错误!未找到引用源。 ⑴ x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ;

? ? x ? 2 ? 2 cos ? , ⑵圆的参数方程为 ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ,

?? ? 所以 x ? y ? 4 ? 2sin ? ? ? ? ,那么 x+y 最大值为 6,最小值为 2. 4? ?
错误!未找到引用源。解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 α 1=? ?可得,?

?1? ?1?

? 3 ? c

3? ?1? ?1? ? ? ?=6? ?, d? ?1? ?1?

即 c+d=6;由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 α 2=? 2 1 - ? ? 3 2? ? . ? -1 1? ? 3 2?

? 3 ? ? 3 ?,可得? ?-2? ? c

3? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ?=? ?,即 3c-2d=-2, d? ?-2? ?-2?

?c=2, ? 3 解得? 即 A=? ?d=4. ? 2

3? ?, A 的逆矩阵是 4?

错误!未找到引用源。证明:由柯西不等式可得

18 ? ? ??1 ? 2 x ? ? ? 3 ? x ? ? ? 2 ? 3 x ? ? ? ?1 ? 1 ? 1? ?

?

1 ? 2 x ?1 ? 3 ? x ?1 ? 2 ? 3 x ?1

?

2



? 1 2? x ? ? ? , ? ,所以 1 ? 2 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 x ? 3 2 ? 2 3?
错误!未找到引用源。圆 C 的方程为

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ;直线的方程为 x ? y ? 1 .

故所求弦长为 d ?

0 ? 2 ?1 2

? 2

错误!未找到引用源。解:MN= ?
2

?1 0? ? 1 0 ? ? 1 0 ? ?? ?=? ?, ?0 2? ? ?1 1 ? ? ?2 2 ?

? x, y) 设P 是曲线 2 x ? 2 xy ? 1 ? 0 上任意一点,点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P , (x?, y?) (

则有 ? ? ? ?
2

? x? ? y?

x? ? 1 0? ? x '? ? ? y ? ,于是 x? ? x , y? ? x ? ? ? ? ? ? 2 ? ?2 2 ? ? y '? ? ?2 x? ? 2 y??

代入 2 x? ? 2 x?y? ? 1 ? 0 得 xy ? 1 , 所以曲线 2 x ? 2 xy ? 1 ? 0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为 xy ? 1
2

错误!未找到引用源。 【证明】连结 OC,所以∠OAC=∠OCA,

又因为 CA 平分∠BAE,所以∠OAC=∠EAC, 于是∠EAC=∠OCA,所以 OC//AD. 又因为 DC 是⊙O 的切线,所以 CD⊥OC, CD⊥AE 错误!未找到引用源。证明:由题设 x>0,y>0,x>y,可得 x-y>0 因为 2x+ 1

x2-2xy+y2

-2y=2(x-y)+

1 =(x-y)+(x-y)+ . (x-y)2 (x-y)2
1 ? 3 ,等号成立条件是 x-y=1 . ( x ? y)2

1

又(x-y)+(x-y) +

1 (x-y)2

≥ 3 3 ( x ? y)2

所以,2x+

1 1 -2y≥3,即 2x+ ≥2y+3 2 2 2 x -2xy+y x -2xy+y2

错误!未找到引用源。解:直线 m 的普通方程为 x ? y ? 6

曲线 C 的普通方程为 y ? 8x
2

由题设直线 m 与曲线 C 交于 A、B 两点,可令 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . 联立方程 ?

? y 2 ? 8x ?x ? y ? 6
2

2 ,解得 y ? 8( y ? 6) ,则有 y1 ? y2 ? 8 , y1 ? y2 ? ?48 .

于是 AB ?

( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ?
2

(1 ? 1 )( y1 ? y2 ) ?
2

2

2[( y ? y2 ) ? 4 y1 y2 ] ? 16
2
1

2.

故 AB ? 16 2

? 1 0? ? 1 ?1 0 ? ? ? ? ?2 错误!未找到引用源。解:由题设得 MN ? ? ? 2 ?0 2? ? 0 1 ? ? 0 ? ? ?

0

? ? ? 2?

设所求曲线 F 上任意一点的坐标为(x,y), y ? sin x 上任意一点的坐标为 ( x?, y?) ,则

? x? ? MN ? ? = ? y ??

?1 ? ? x?? ? x ? ? 2 0? ? ? ? ? ? ,解得 ? 0 2? ? y?? ? y ? ? ?

? 2x ? ? x ?1 ? y? ? y ? 2 ?

? 2x ? ? x ?1 把? 代入 y? ? sin x? ,化简得 y ? 2 sin 2 x . y? ? y ? 2 ?
所以,曲线 F 的方程为 y ? 2 sin 2 x
错误!未找到引用源。 解:因为 AB 是圆 O 的直径,
A

所以∠APB=90°,从而∠BPC=90° 在△BPC 中,因为 E 是边 BC 的中点,所以 BE=EC,从 而 BE=EP,因此∠1=∠3 又因为 B、P 为圆 O 上的点,所以 OB=OP,从而∠2= ∠4 因为 BC 切圆 O 于点 B,所以∠ABC=90°,即∠1+∠2=90°, 从而∠3+∠4=90°,于是∠OPE=90° 所以 OP⊥PE
错误!未找到引用源。解:(1)由 ?

O 4 2 B 1 E 3

P

C

? x ? sin ? ? y ? cos ?
2

, ? ? [0, 2? ) 得 x2 ? y ? 1, x ?[?1,1]

?? 4 分

(2)由 ? sin(? ?

?
4

) ? ? 2 得曲线 D 的普通方程为 x ? y ? 2 ? 0 ?? 6 分

?x ? y ? 2 ? 0 2 得 x ? x ?3 ? 0 ? 2 x ? y ? 1 ?
解得 x ?

??8 分

1 ? 14 ? [?1,1] ,故曲线 C 与曲线 D 无公共点 2

??10 分

?4 3 ? ? 5 , 10? 错误!未找到引用源。解:(1) M ? ? ?; ?1 , 7 ? ? ? 5 10 ? ? ?4 3 ? ? 5 , 10 ? x , y ? ? (2)设矩阵 M 的逆矩阵为 ? ? ,则由 ? 1 7 ? ? , ? ?w, v? ? ? 5 10 ? ? 7 3 ? ? x? y?? ? ? ? ? 5 5 之得: ? ,? 2 8 ?w ? ? ?v ? ? 5 ? 5 ? ?
错误!未找到引用源。解:(1)直线 l 的极坐标方程 ? sin ? ? ?

3 3 ?4 ?4 x ? w ?1 ? y ? v ? 0 ? x , y 1 , 0 ? ? ? ? ?5 ?5 10 10 ,? ,解 ?w, v? = ?0,1? 得: ? 1 ? ? ? ? ? x ? 7 w ? 0 ?1 y ? 7 v ? 1 ? ? 10 10 ?5 ?5

? ?

2 2 ?? ? sin ? ? ? cos? ? 3 2 , ? ? 3 2 ,则 2 2 4?

即 ? sin ? ? ? cos? ? 6 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 6 ? 0 ; (2)P 为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上一点,设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,其中 ? ? [0 ,2 ?) , 16 9

| 4cos ? ? 3sin ? ? 6 | | 5cos(? ? ? ) ? 6 | 4 ? ,其中 cos ? ? 5 2 2 11 所以当 cos(? ? ? ) ? 1 时, d 的最大值为 2 2
则 P 到直线 l 的距离 d ?
错误!未找到引用源。解:(1)由已知 ?

?1 b ? ?2? ? 8 ? ,即 2 ? 3b ? 8, 2c ? 6 ? 12 , b ? 2, c ? 3 , ? ? ? 3? ? ? ?12? ? ?c 2 ? ?

所以 M ? ?

1 2? ; ?3 2 ? ? ?

(2)设曲线上任一点 P ( x, y ) ,P 在 M 作用下对应点 P/ ( x / , y / ) ,则 ?

? x / ? ?1 2? ? x ? / ? ?3 2? ?? ? y? ? ?y ? ? ?

? y / ? x/ x ? x / ? x ? 2 y ,解之得 ? 2 / ,代入 5x2 ? 8xy ? 4 y 2 ? 1 得 x?2 ? y?2 ? 2 , 即 / ? / y ? 3x ? 2 y 3 x ?y ?y? ? 4

?

即曲线 5x2 ? 8xy ? 4 y 2 ? 1 在 M 的作用下的新曲线的方程是 x2 ? y 2 ? 2
错误!未找到引用源。证明:(1)因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ? AM ,

OP 又因为 AP ? OM .在 Rt△OAM 中,由射影定理知, OA ? OM ?
2 2 OK , (2)因为 BK 是圆 O 的切线, BN ? OK ,同(1),有 OB ? ON ?

OM ? ON ? OK ,即 又 OB ? OA ,所以 OP ?

ON OM ? ,又∠NOP ? ∠MOK , OP OK
?

所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM ? ∠OPN ? 90

错误!未找到引用源。解 :由题意,得旋转变换矩阵 M ? [

cos 45 sin 45?

?

? ? ? sin 45 ? ] ? ? cos 45? ? ?
?

2 2 2 2

?

2? ? 2 ?, 2 ? ? 2 ?

? ? 设 xy ? 1 上的任意点 P?( x?, y?) 在变换矩阵 M 作用下为 P( x, y ) , ? ? ? ? ? ?x ? ? ∴? ?y ? ? ? 2 x? ? 2 2 x? ? 2 2 y ?, 2 2 y?. 2

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? ? x? ? ? ? x ? , ? ? ? ? 2 ? ? y ?? ? y ? ? 2 ?



y 2 x2 ? ? 1. 2 2

将曲线 xy ? 1 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45°,所得曲线的方程为

y 2 x2 ? ? 1. 2 2


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