上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 圆锥曲线 (理)

上海市各区 2014 届高三数学(理科)一模试题分类汇编 圆锥曲线
2014.01.26 (杨浦区 2014 届高三 1 月一模,理)5.双曲线 x ?
2

y2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 b2

y ? 3 x ,则 b ? ________.
5.

3 ;

x2 y2 (嘉定区 2014 届高三 1 月一模,理)7.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )满足 a b a 1 ? 0 ,且双曲线的右焦点与抛物线 y 2 ? 4 3 x 的焦点重合,则该双曲线的方 b 2
程为______________. 7. x ?
2

y2 ?1 2
x2 y2 ? ? 1 的左、 右两个焦点分别为 F1 、 4 3
.

(普陀区 2014 届高三 1 月一模, 理) 7. 已知椭圆

F2 ,若经过 F1 的直线 l 与椭圆相交于 A 、 B 两点,则△ ABF2 的周长等于
7. 8 ;

(徐汇区 2014 届高三 1 月一模,理)9. 双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则
2 2

m=

.

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离等 (虹口区 2014 届高三 1 月一模,理)5、双曲线 4 9
于 5. 12 (普陀区 2014 届高三 1 月一模,理)19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小 题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. .

1

已知点 P(2, 0) ,点 Q 在曲线 C y ? 2 x 上.
2

(1)若点 Q 在第一象限内,且 | PQ |? 2 ,求点 Q 的坐标; (2)求 | PQ | 的最小值.

19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 【解】设 Q( x, y ) ( x ? 0, y ? 0 ), y ? 2 x
2

(1)由已知条件得 | PQ |?
2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ??????????2 分
2

将 y ? 2 x 代入上式, 并变形得,x ? 2 x ? 0 , 解得 x ? 0(舍去) 或 x ? 2 ????? 4分 当 x ? 2 时, y ? ?2 只有 x ? 2, y ? 2 满足条件,所以点 Q 的坐标为 (2, 2) ??????6 分 (2) | PQ | ?

( x ? 2) 2 ? y 2 其中 y 2 ? 2 x ??????????7 分

| PQ | 2 ? ( x ? 2) 2 ? 2 x ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ( x ? 0 )????10 分
当 x ? 1时, | PQ | min ? (不指出 x ? 0 ,扣 1 分)

3 ??????????????12 分

(杨浦区 2014 届高三 1 月一模,理)21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1) 小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分 . 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域) ” ,其中 AC 、 BD 是过抛物线 ? 焦 点 F 的两条弦,且其焦点 F ( 0 ,1) , AC ? BD ? 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记 ?EFA ? ? , 其中 ? 为锐角. (1) 求抛物线 ? 方程; (2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求 ? 的大小?

2

21. 【解】

理科 (1)

由抛物线 ? 焦点 F ( 0 ,1) 得,抛物线 ? 方程为 x ? 4 y
2

??5 分 ??6 分 ??7 分

(2) 设 AF ? m ,则点 A(?m sin? , m cos? ? 1) 所以, (?m sin? ) ? 4(1 ? m cos? ) ,既 m sin ? ? 4m cos? ? 4 ? 0
2

2

2

2(cos? ? 1) sin 2 ? 2(1 ? sin ? ) 同理: BF ? cos2 ? 2(1 ? sin ? ) DF ? cos2 ? 2(1 ? cos? ) CF ? sin 2 ?
解得

AF ?

??8 分 ??9 分 ??10 分 ??11 分

“蝴蝶形图案”的面积 S ? S ?AFB ? S ?CFD ?

1 1 4 ? 4 sin ? cos? AF ? BF ? CF ? DF ? 2 2 (sin ? cos? ) 2
??12 分

令 t ? sin ? cos? , t ? ? ? 0 , 2 ? , ?t ? ?2,?? ? ? ?
2

?

1?

1

1? t 1 ? ?1 1 ? 则 S ? 4 2 ? 4? ? ? ? 1 , ? ? 2 时,即 ? ? “蝴蝶形图案”的面积为 8 t t 4 ?t 2?
??14 分

(杨浦区 2014 届高三 1 月一模,理)22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1) 小题满分 10 分,第①问 5 分,第②问 5 分,第(2)小题满分 6 分. 已知椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1. 4

3

(1) 椭圆 ? 的短轴端点分别为 A , B (如图), 直线 AM , BM 分 别与椭圆 ? 交于 E , F 两点,其中点 M ? m ,

? ?

1? ? 满足 m ? 0 ,且 2?

m?? 3.
①证明直线 E F 与 y 轴交点的位置与 m 无关; ②若? BME 面积是? AMF 面积的 5 倍,求 m 的值; (2) 若圆 ? : x ? y ? 4 . l1 , l 2 是过点 P(0,?1) 的两条互相垂直的直线 , 其中 l1 交圆 ? 于
2 2

T、

R 两点, l 2 交椭圆 ? 于另一点 Q .求 ?TRQ 面积取最大值时直线 l1 的方程.

22. 【解】 理科

1 ),且 m ? 0 , 2 1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , ?直线 AM 的斜率为 k1= ? 2m 2m
解: (1)①因为 A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

3 ?直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

2m

??2 分

? x2 ? y 2 ? 1, ? 由? 4 得 m 2 ? 1 x 2 ? 4mx ? 0 , 1 ?y ? ? x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

4m ? 4m m 2 ? 1 ? , ? E , 2 ? 2 ?, m2 ? 1 ? m ?1 m ?1 ?

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 m 2 ? 9 x 2 ? 12mx ? 0 , ? 3 ?y ? x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

12m 12m 9 ? m 2 ? ; , ?F ? , 2 2 ? ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?
2

??4 分

据已知, m ? 0, m ? 3 ,
4

m2 ? 1 9 ? m2 2 ? 2 2 ?直线 EF 的斜率 k ? 1 ? m2 9 ? m2 ? (m ? 3)(m ? 3) ? ? m ? 3 , 4m 4m 12m ?4m(m2 ? 3) ? 2 2 1? m 9 ? m

?直线 EF 的方程为

y?

m2 ? 1 m2 ? 3 ? 4m ? ? ? ?x? 2 ?, 2 m ?1 4m ? m ?1 ?

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. ② S?AMF ?

??5 分

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
??7 分
| ME | | MF |

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,

?

5m m ? ,? m?0, 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

?整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ? 1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

2 2 又有 m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ? m ? 1 ,? m ? ?1 为所求.

??10 分

(2) 因为直线 l1 ? l2 ,且都过点 P(0, ?1) ,所以设直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 , 直线 l2 : y ? ?

1 x ? 1 ? x ? ky ? k ? 0 , k

??12 分

所以圆心 (0, 0) 到直线 l1 : y ? kx ? 1 ? kx ? y ? 1 ? 0 的距离为 d ?

1 1? k2


,

所以直线 l1 被圆 x 2 ? y 2 ? 4 所截的弦 TR ? 2 4 ? d ?
2

2 3 ? 4k 2 1? k 2

? x ? ky ? k ? 0 ? ? k 2 x 2 ? 4 x 2 ? 8kx ? 0 ,所以 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

xQ ? xP ? ?

8k 2 k ?4

所以 QP ?

(1 ?

1 64 k 2 8 k2 ?1 ) ? k 2 (k 2 ? 4) 2 k2 ? 4

??14 分

所以 S ?TRQ ?

1 8 4k 2 ? 3 QP TR ? ? 2 k2 ?4

32 4k 2 ? 3 ? 13 4k 2 ? 3

?

32 16 ? 13 2 13 13

5

当 4k ? 3 ?

2

13 4k 2 ? 3

? k2 ?

5 10 ?k?? 时等号成立, 2 2
??16 分

此时直线 l1 : y ? ?

10 x ?1 2

(浦东新区 2014 届高三 1 月一模,理)21、 (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 如图,设 A(

3 1 , ) 是单位圆上一点,一个动点从点 A 出发,沿圆周按 2 2
y

逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一周. 2 秒时,动点到达点 B , t 秒时动 点 到 达 点

P

.



P ( x, y )

, 其 纵 坐 标 满 足 A O x

y ? f (t ) ? sin(?t ? ? ) (?

?
2

?? ?

?
2

).

(1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ; (2)若 0 ? t ? 6 ,求 AP ? AB 的取值范围. 21、解: (1)当 t ? 2 时, ?AOB ? 2 ? 所以 ?XOB ?

??? ? ??? ?

?
2

2? ? ? , 12 3

所以,点 B 的坐标是(0,1) 又 t 秒时, ?XOP ?

????????????????????2 分 ?????????????????????4 分

?
6

?

?
6

t

?? ?? ? y ? sin ? t ? ? , (t ? 0) . ?????????????????????? 6 6? ?6
分 (2)由 A ?

??? ? ? ? 3 1? 3 1? , , B(0,1) ,得 AB ? ? ? ? ? 2 2? ? 2 ,2? ?, ? ? ? ?

又 P ? cos ?

? ?

?? ? ?? ?? ?? t ? ? ,sin ? t ? ? ? , 6? 6 ?? ?6 ?6

??? ? ? ?? 3 ? ? 1? ?? ?? ? AP ? ? cos t ? ? ,sin t ? ? ? ? ?? ? ? ? ,??????????8 分 6 6 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ?

??? ? ??? ? 3 3 ? ? 1 1 ?? ?? ?? ? AP ? AB ? ? cos ? t ? ? ? ? sin ? t ? ? 4 2 6? 4 2 6? ?6 ?6
6

?

1 ? ?? 1 ?? ?? ?? ? sin ? t ? ? ? ? ? sin ? t ? ? ????????????10 分 2 6 3? 2 6? ?6 ?6

? ? ? ? 5? ? ?? ? 1 ? ?? ? 0 ? t ? 6 ,? t ? ? ? ? , ? ,? sin ? t ? ? ? ? ? ,1? ????12 分 6 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ?6
所以, AP ? AB 的取值范围是 ? 0, ? 2

??? ? ??? ?

? 3? ? ?

????????????14 分

(嘉定区 2014 届高三 1 月一模,理)21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题 满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,且点 ?1 , (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过 P 作方向向量 d ? (2 , 1) 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,求证: | PA | ? | PB | 为定值.
2 2

? ? ?

3? ? 在椭圆 C 上. 2 ? ?

?

21. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) (1) 因为 C 的焦点在 x 轴上且长轴为 4 ,

x2 y2 , ???????????(1 分) ? ? 1( a ? b ? 0 ) 4 b2 ? 3? ? 在椭圆 C 上,所以 1 ? 3 ? 1 , 因为点 ?1 , ??????????(2 分) ? 2 ? 4 4b 2 ? ? 2 解得 b ? 1 , ????(1 分) x2 ? y 2 ? 1. 所以,椭圆 C 的方程为 ?????????????(2 分) 4 x?m (2)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是 y ? , ??(1 分) 2 1 ? y ? ( x ? m) , ? ? 2 由? 2 ? 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 (*) ?????????(2 分) ?x ? y2 ? 1 , ? ?4 设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 、 x 2 是方程(*)的两个根,
故可设椭圆 C 的方程为

m2 ? 4 , ??????????????(1 分) 2 2 2 2 2 2 2 所以, | PA | ? | PB | ? ( x1 ? m) ? y1 ? ( x2 ? m) ? y 2
所以有, x 2 ? x 2 ? m , x1 x 2 ?

7

1 1 5 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] 4 4 4 5 2 5 2 ? [ x1 ? x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ] ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2m 2 ] 4 4 5 . ????????????(3 分) ? [m 2 ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 (定值) 4 2 2 所以, | PA | ? | PB | 为定值. ????????????????????(1 分)
(写到倒数第 2 行,最后 1 分可不扣)

(徐汇区 2014 届高三 1 月一模,理)22. (本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2) 小题 5 分,第(3)小题 7 分) 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,称圆心在坐标原点 O,半径为 a 2 ? b 2 的圆是椭圆 C a 2 b2

的“伴随圆” ,已知椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 .

?

(1)若椭圆 C 上一动点 M 1 满足 M 1 F1 ? M 1 F2 ? 4 ,求椭圆 C 及其“伴随圆”的方程; (2)在(1)的条件下,过点 P ? 0, t ?? t ? 0 ? 作直线 l 与椭圆 C 只有一个交点,且截椭圆 C 的“伴随圆”所得弦长为 2 3 ,求 P 点的坐标; (3)已知 m ? n ? ?

????? ?

??????

cos ? 3 , mn ? ? ? m ? n,? ? ? 0, ? ? ? ,是否存在 a,b,使椭圆 C 的 sin ? sin ?

“伴随圆”上的点到过两点 m, m

?

2

? , ? n, n ? 的直线的最短距离 d
2

min

? a 2 ? b 2 ? b .若存

在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由.

8

9

10


相关文档

上海市各区2014届高三数学(理科)一模试题分类汇编:圆锥曲线
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 二项式定理(理)
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 立体几何(理)
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 直线与圆(理)
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 常用逻辑用语(理)
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 数列(理)
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 平面向量(理)
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 应用题(理)
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 概率和统计(理)
上海市各区2014届高三数学一模试题分类汇编 常用逻辑用语(理)无答案
电脑版