北京市重点中学2014-2015学年高二数学下学期期中试卷 理

北京市 2014~2015 学年度第二学期期中考试 高 二数学(理)试卷
(考试时间:100 分钟 总分:100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的.) 1.已知复数 z 满足: zi ? 2 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为( A. ? 2i B. 2 i C. 2 D. ? 2 )

2.图书馆的书架有三层,第一层有 3 本不同的数学书,第二层有 5 本不同的语文书,第三层 有 8 本不同的英语书,现从中任取一本书,共有( )种不同的取法。 A.120 B.16 C.64 D.39 3.已知曲线 y ? A.3 4.由直线 y ? A. 2ln 2

x2 1 ? 3ln x ? 1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4
C.1 D.



B.2

1 2


1 1 , y ? 2 ,曲线 y ? 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是( 2 x 1 5 B. 2ln 2 ?1 C. ln 2 D. 2 4

5.以下说法正确的是( ) A.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 B.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的必要条件 C.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的充分条件 D.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6.设函数 f ( x) ? x ln x ,则 f ( x) 的极小值点为( A. x ? e
1

) D. x ?

B. x ? ln 2

C. x ? e

2

1 e

2 3 7.已知 2 ? 1 ? 2 , 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 4 , 2 ? 1? 3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 6 ,. . . ,以此类推,第 5 个等式

为(



4 A. 2 ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8

5 B. 2 ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9

4 C. 2 ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10

5 D. 2 ? 1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10

8.在复平面内,复数 3 ? 4i , i ? 2 ? i ? 对应的点分别为 ? , ? ,则线段 ?? 的中点 C 对应的
-1-

复数为( A. ?2 ? 2i

) B. 2 ? 2i C. ?1 ? i D. 1 ? i )

9. 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数, 则 f ? ? x ? 的图象大致是 ( 4

10.设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ? ? x ? , f ? ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 ,已知 f ?? ? x ? ,若区间 ? a, b ? 上 f ?? ? x ? ? 0 ,则称函数 f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上为“凹函数”

1 5 1 x ? mx 4 ?2 x 2 在 ?1,3? 上为“凹函数” ,则实数 m 的取值范围是( 20 12 31 31 A. ( ??, ) B. [ , 5] C. (??,3] D. ? ??,5? 9 9 f ? x? ?
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.) 11.函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 2 在 (1, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是



12 . 设 集 合 A ? ? 1,2,3,4,5?, a, b ? A , 则 方 程 个.

x2 y2 ? ? 1 表示焦点位于 y 轴上的椭圆有 a b

? ? ?? ?sin x, x ? ?0, 2 ? ? ? ? ,则 2 13.设 f ( x) ? ? ?0 f ( x)dx 为 ? ? ? ? 1, x ? , 2 ? ? ?2 ? ? ?
14.已知复数 z ? x ? yi?x, y ? R, x ? 0?且 z ? 2 ? 3 ,则



y 的范围为 x



15.在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按如图所 标边长,由勾股定理有 c ? a ? b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图截面,这时从
2 2 2

正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O ? LMN ,如果用 S1 , S 2 , S 3 表示三个侧面面积,

S 4 表示截面面积,那么类比得到的结论是



-2-

16. 对定义在区间 D 上的函数 f ( x) 和 g ( x) , 如果对任意 x ? D , 都有 f ( x) ? g ( x) ? 1 成立, 那么称函数 f ( x) 在区间 D 上可被 g ( x) 替代, D 称为“替代区间” .给出以下命题:

1 替代; 2 1 1 3 ② f ( x) ? x 可被 g ( x ) ? 1 ? 替代的一个“替代区间”为 [ , ] ; 4x 4 2
2 ① f ( x) ? x 2 ? 1 在区间 (??,??) 上可被 g ( x ) ? x ?

③ f ( x) ? ln x 在区间 [1, e] 可被 g ( x) ? x ? b 替代,则 e ? 2 ? b ? 2 ; ④ f ( x) ? lg(ax2 ? x)(x ? D1 ), g ( x) ? sin x( x ? D2 ) ,则存在实数 a(a ? 0) ,使得 f ( x) 在区 间 D1 ? D2 上被 g ( x) 替代; 其中真命题的有

三、解答题(本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题共 8 分)
3 2 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2, x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点,求:

(1)实数 a 的值; (2) f ( x) 在区间 ?? 1, 3? 上的最大值和最小值。

-3-

18. (本小题共 8 分)
2 若 a 、 b 、 c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?

?
2

2 , b ? y ? 2Z ?

?
3

2 , c ? Z ? 2x ?

?
6

求证: a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0 。

19. (本小题共 10 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1(a ? R) .
x

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 F ( x ) ? f ( x ) ? 的取值范围;

1 2 x 在 ?1, 2? 上有且仅有一个零点,求 a 2

-4-

20. (本小题共 10 分)

1 1 ? a a 1 1 * 已知数列 ?an ? 的各项均为正整数,对于任意 n ? N ,都有 2 ? 成立, ? n n?1 ? 2 ? an?1 1 ? 1 an n n ?1
且 a2 ? 4 . (1)求 a1 , a3 的值; (2)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并给出证明.

北京市 2014~2015 学年度第二学期期中考试 高二(理)试卷答案及评分标准 一、选择题 序号 答案 1 D 2 B 3 A 4 A 5 B 6 D 7 D
2

8 D
2 2

9 A
2

10 C

二、填空题 11. ? ?3, ?? ? 12.10 13. 3 ? 16.①②③ 三、解答题 17. (1)因为, f ?( x) ? 3x ? 2ax,
2

?
2

14. ? ? 3, 3 ? 15. s1 ? s2 ? s3 ? s4

?

?

(1 分) (2 分) (3 分)
3 2 2

f ( x) 在 x ? 2 处有极值,所以, f ?(2) ? 0,
即 3 ? 4 ? 4a ? 0, 所以, a ? ?3 。

(2)由(1)知 a ? ?3 ,所以 f ( x) ? x ? 3x ? 2, f ?( x) ? 3x ? 6 x

(4 分)

-5-

令 f ?( x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? 2 , 当 x 变化时 f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

?1

?? 1, 0?
+

0
0
2

?0, 2?
-

2

?2, 3?
+

3

0
?2

?2

2
(7 分)

从上表可知 f ( x) 在区间 ?? 1, 3? 上的最大值是 2 ,最小值是 ? 2 。 18. 证明:假设 a, b, c 都不大于 0 , 即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ∴a ?b ?c ? 0 ∵ a ? b ? c ? x ? 2y ?
2

(8 分)

(4 分)

?
2

? y 2 ? 2z ?

?
3

? z 2 ? 2x ?

?
6

= ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ? ? 3

? 0 与上式矛盾
∴ a, b, c 中至少有一个大于 0 19.(1)解: f ?( x) ? e x ? a (1 分) (2 分) (8 分)

当 a ? 0 时, f ?( x) ≥ 0 ,则 f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增

ln a) 上单调递减, f ( x) 在 (ln a, ? ?) 上单调递增. (4 分) 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??,

(2)解:由 F ( x) ? f ( x) ?
ex ?

1 2 x ? 0 ,得 a ? 2

ex ?

1 2 x ?1 2 x

考查函数 g ( x) ?

1 2 1 x ?1 ( x ? 1)e x ? x 2 ? 1 2 2 ( x ? ?1, 2? ),则 g ?( x) ? x2 x

(5 分) (6 分) (7 分) (8 分)

令 h( x) ? ( x ? 1)e x ?

1 2 x ? 1 , h?( x) ? x(e x ? 1) 2

当 1 ? x ? 2 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 ?1, 2? 上单调递增 ∴ h( x) ≥ h(1) ?

1 ? 0 , g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在 ?1, 2? 上单调递增 2

-6-

∴ g ( x) ?

ex ?

1 2 x ?1 1 3 2 在 ?1, 2? 上的最小值为 g (1) ? e ? ,最大值为 g (2) ? (e2 ? 3) x 2 2

(9 分) ∴当 e ?

1 3 1 ≤ a ≤ ? e2 ? 3? 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? x2 在 ?1, 2? 上有且仅有一个零点 2 2 2
(10 分)

1 1 ? a an?1 1 1 20. (1)因为 2 ? , a2 ? 4 ? n ? 2? an?1 1 ? 1 an n n ?1
当 n ? 1 时,由 2 ?

1 2 2 1 ?1 1? 1 1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ,即有 2 ? ? ? ? 2 ? , 4 a1 4 a1 a2 a1 ? a1 a2 ?
(2 分)

解得

2 8 ? a1 ? .因为 a1 为正整数,故 a1 ? 1 . 3 7

当 n ? 2 时,由 2 ?

?1 1 ? 1 1 ? 6? ? ? ? 2 ? , a3 4 ? 4 a3 ?
(4 分) (5 分)

解得 8 ? a3 ? 10 ,所以 a3 ? 9 .
2 (2)由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n

下面用数学归纳法证明. 1? 当 n ? 1 , 2 , 3 时,由(1)知 an ? n 均成立.
2

(6 分)

2? 假设 n ? k ? k ≥3? 成立,则 ak ? k ,
2

由条件得 2 ?

?1 1 1 ? 1 ? k ? k ? 1? ? 2 ? ? ? 2? 2 , ak ?1 ak ?1 ? k ?k
(8 分)

所以

k ? k 2 ? k ? 1? k 3 ? k ? 1? , ? ak ?1 ? k 2 ? k ?1 k ?1
2 2

k ?1 1 2 ? ak ?1 ? ? k ? 1? ? k ? k ?1 k ?1 1 k ?1 ? 1, ?1,0 ? 因为 k ≥ 3 , 0 ? 2 k ?1 k ? k ?1
所以 ? k ? 1? ? 又 ak ?1 ? N ,所以 ak ?1 ? ? k ? 1? .
?
2

(9 分)

-7-

即 n ? k ? 1 时, an ? n 也成立.
2

由 1?,2? 知,对任意 n ? N? , an ? n .
2

(10 分)

-8-


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