高三数学(文)一轮总复习(江苏专用)课时跟踪检测(二十一)两角和与差的正弦、余弦和正切公式Word版含解

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1.(2015·全国卷Ⅰ改编)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=________. 解析:sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+

10°)=sin 30°=12. 答案:12
2.已知 sin 2α=13,则 cos2??α-π4??=________. 解析:依题意得 cos2??α-π4??=12(cos α+sin α)2=12(1+sin 2α)=23.
答案:23
3.已知 sin??π2+α??=12,-π2<α<0,则 cos??α-π3??=________.
解析:由已知得 cos α=12,sin α=- 23,

∴cos??α-π3??=12cos α+ 23sin α=-12.
答案:-12 4.(2016·南京调研)已知 tan(3π-α)=-12,tan(β-α)=-13,则 tan β=________.

解析:依题意得 tan α=12,tan β=tan[(β-α)+α]=1t-ant?aβn-?βα-?+α?t·atannαα=17.

答案:17

5.设 sin α=2cos α,则 tan 2α 的值为________.

解析:由题可知,tan

α=csoins

α α=2,

2tan α 4 ∴tan 2α=1-tan2α=-3.

答案:-43 二保高考,全练题型做到高考达标

1.(2015·南通一模)已知 2sin 2α=1+cos 2α,则 tan 2α=________.

1

??2sin 2α=1+cos 2α, 解析:∵?
??sin22α+cos22α=1,

??sin 2α=0, ∴? ??cos 2α=-1

?sin 2α=45, ? 或
?cos 2α=53,

∴tan 2α=0 或 tan 2α=43. 答案:0 或43
2.已知 cos??x-π6??=- 33,则 cos x+cos??x-π3??=________. 解析:∵cos??x-π6??=- 33,

∴cos

x+cos??x-π3??=cos

x+cos

x·cos3π+sin

xsinπ3=32cos

x+

3 2 sin

x=

3??

3 2 cos

x+21sin

x ??

= 3cos??x-6π??= 3×??- 33??=-1.

答案:-1
3.(2016·南京四校联考)已知 sin α+cos α=13,则 sin2??π4-α??=________.

解析:由 sin α+cos α=13两边平方得 1+sin 2α=19,解得 sin 2α=-89,所以 sin2??π4-α??=

1-cos??π2-2α?? 1-sin

2

=2

2α=1+2 89=1187.

答案:1178

4.已知 sin??α-π4??=7102,cos 2α=275,则 sin α=________.

解析:由 sin??α-4π??=7102得 sin α-cos α=75, ①

由 cos 2α=275得 cos2α-sin2α=275, 所以(cos α-sin α)(cos α+sin α)=275, ②

由①②可得 cos α+sin α=-15, ③ 由①③可得 sin α=35.

2

答案:35 5.在等式 tan 95°-tan 35°- = tan 95°tan 35°中,根号下的表示的正整数是 ________.

tan 95°-tan 35°

解析:由 tan 95°-tan 35°- = tan 95°tan 35°,得 =

=tan

1+tan 95°tan 35°

60°= 3,所以 表示 3.

答案:3 6.已知 tan α,tan β 是 lg(6x2-5x+2)=0 的两个实根,则 tan(α+β)=________. 解析:由 lg(6x2-5x+2)=0,得 6x2-5x+1=0,

∴由题意知 tan α+tan β=56,tan α·tan β=16,

5

tan α+tan β 6

∴tan(α+β)= 1-tan

αtan

β=1-61=1.

答案:1 7.计算1+sins2in501°0°=________.

解析:

sin250° 1-cos 100°





1+sin 10° 2?1+sin 10°?

1-2?c1o+s?9si0n°+101°?0°?=2?11++ssiinn1100°°?=12.

答案:12
8.设 α 为锐角,若 cos??α+π6??=45,则 sin??2α+1π2??的值为________. 解析:因为 α 为锐角,cos??α+π6??=45, 所以 sin??α+6π??=35,sin 2??α+π6??=2245, cos 2??α+π6??=275, 所以 sin??2α+1π2??=sin??2??α+π6??-π4??

=2245×

22-275×

22=1750

2 .

答案:1750 2
3

9.已知 α∈??0,π2??,tan α=12,求 tan 2α 和 sin??2α+π3??的值.
解:∵tan α=12,∴tan 2α=1-2tatnanα2α=21×-1214=43,

且csoins αα=12,即 cos α=2sin α,
又 sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,而 α∈??0,π2??,

∴sin

α=

55,cos

α=2

5

5 .

∴sin 2α=2sin αcos α=2× 55×2 5 5=45, cos 2α=cos2α-sin2α=45-15=35,

∴sin??2α+3π??=sin 2αcosπ3+cos 2αsinπ3=45×12+35× 23=4+130

3 .

10.已知

α∈??π2,π??,且

sinα2+cosα2=

6 2.

(1)求 cos α 的值;

(2)若 sin(α-β)=-35,β∈??π2,π??,求 cos β 的值.

解:(1)因为 sinα2+cosα2= 26,

两边同时平方,得 sin α=12.

π 又2<α<π,所以 cos α=-

1-sin2α=-

3 2.

π

π

π

π

(2)因为2<α<π,2<β<π,所以-2<α-β<2.

又由 sin(α-β)=-35,得 cos(α-β)=45.

所以 cos β=cos[α-(α-β)]

=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)

=- 23×45+12×??-35??=-4

3+3 10 .

三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.化简 sin2??α-π6??+sin2??α+π6??-sin2α 的结果是________.
4

解析:法一:原式=1-cos??22α-π3??+1-cos??22α+π3??-sin2α

=1-12??cos??2α-π3??+cos??2α+π3????-sin2α=1-cos 2α·cos 3π-sin2α=1-cos22α-1-c2os 2α=12.
法二:令 α=0,则原式=14+14=12. 答案:12 2.函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为________. 解析:由题意知 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[φ+(x+φ)]-2sin φcos(x+φ)=sin φcos(x

+φ)+cos φsin(x+φ)-2sin φcos(x+φ)=cos φsin(x+φ)-sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)-φ]=sin x,即

f(x)=sin x,因为 x∈R,所以 f(x)的最大值为 1.

答案:1
3.(2016·合肥质检)已知 cos??π6+α??cos??π3-α??=-14,α∈??π3,π2??.
(1)求 sin 2α 的值; (2)求 tan α-tan1 α的值.
解:(1)cos??π6+α??·cos??π3-α??=cos??π6+α??·sin??π6+α??=12sin??2α+π3??=-14,

即 sin??2α+π3??=-12.

∵α∈??π3,π2??,∴2α+3π∈??π,43π??,

∴cos??2α+π3??=-

3 2,

∴ sin 2α=sin????2α+π3??-π3??

=sin??2α+π3??cos3π-cos??2α+π3??sinπ3=12.

(2)∵α∈??π3,π2??,∴2α∈??23π,π??,

又由(1)知

sin

2α=12,∴cos

2α=-

3 2.

∴tan α-tan1 α=csoins αα-csoins αα=sisni2nαα-cocsosα2α=-s2inco2sα2α=-2×-123=2 3. 2

5

6


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