2017-2018学年高中数学必修2同步文档:第2章 2-2-3 圆与圆的位置关系 含解析 精品

2.2.3 圆与圆的位置关系 1.能根据两个圆的方程,判断两圆的位置关系.(重点) 2.当两个圆有公共点时能求出它们的公共点,能运用两圆的位置关系解决 有关问题.(易错点) 3.了解两圆相交时公共弦所在直线的求法;了解两圆公切线的概念,会判 断所给直线是不是两圆的公切线.(难点) [基础· 初探] 教材整理 圆与圆的位置关系 阅读教材 P115,完成下列问题. 1.几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆的圆心距为 d,则两圆的位置 关系的判断方法如下: 位置关系 图示 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|< d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 外离 外切 相交 内切 内含 2.代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. ?Δ>0?相交, 圆C1方程? 消元 ?― ― →一元二次方程?Δ=0?内切或外切, 圆C2方程? ?Δ<0?外离或内含. 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两圆方程联立,若方程组有两个解,则两圆相交.(√) (2)若两个圆没有公共点,则两圆一定外离.(×) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(×) (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(√) 2. 两圆 x2+y2+6x+4y=0 及 x2+y2+4x+2y-4=0 的公共弦所在的直线方 程为______________. 【解析】 2 2 ?x +y +6x+4y=0, ① 联立? 2 2 ?x +y +4x+2y-4=0, ② ①-②得:x+y+2=0. 【答案】 x+y+2=0 3.圆 x2+y2=1 与圆 x2+y2+2x+2y+1=0 的交点坐标为________. 【解析】 【答案】 2 2 ?x +y =1, ?x=0, ?x=-1, 由? 2 2 解得? 或? ?x +y +2x+2y+1=0, ?y=-1 ?y=0. (-1,0)和(0,-1) [小组合作型] 两圆位置关系的判定 已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,与圆 C2:x2+y2+2x=0. (1)m=1 时,圆 C1 与圆 C2 有什么位置关系? (2)是否存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含? 【精彩点拨】 (1)参数 m 的值已知,求解时可先找出圆心及半径,然后比 较两圆的圆心距 d 与 r1+r2 和|r1-r2|的大小关系.(2)假设存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含,则圆心距 d<|r1-r2|. 【自主解答】 (1)∵m=1,∴两圆的方程分别可化为: C1:(x-1)2+(y+2)2=9. C2:(x+1)2+y2=1. 两圆的圆心距 d= ?1+1?2+?-2?2=2 2, 又∵r1+r2=3+1=4,r1-r2=3-1=2, ∴r1-r2<d<r1+r2,所以圆 C1 与圆 C2 相交. (2)假设存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含, 则 ?m+1?2+?-2?2<3-1, 即(m+1)2<0,显然不等式无解. 故不存在 m 使得圆 C1 与圆 C2 内含. 判断圆与圆的位置关系时, 通常用几何法,即转化为判断圆心距与两圆半径 的和与差之间的大小关系. [再练一题] 1.已知圆 C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0, C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0). 试求 a 为何值时两圆 C1,C2(1)相切;(2)相交;(3)相离;(4)内含. 【解】 对圆 C1,C2 的方程,经配方后可得: C1:(x-a)2+(y-1)2=16, C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, ∴圆心 C1(a,1),r1=4,C2(2a,1),r2=1, ∴|C1C2|= ?a-2a?2+?1-1?2=a, (1)当|C1C2|=r1+r2=5,即 a=5 时,两圆外切, 当|C1C2|=r1-r2=3,即 a=3 时,两圆内切. (2)当 3<|C1C2|<5 即 3<a<5,时,两圆相交. (3)当|C1C2|>5,即 a>5 时, 两圆外离. (4)当|C1C2|<3,即 0<a<3 时,两圆内含. 两圆相交的问题 已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0 与 C2:x2+y2+2x+2y-8= 0. (1)求公共弦所在直线的方程; (2)求公共弦的长. 【精彩点拨】 两圆方程相减 → 直线方程 → 半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形 → 列式求解 【自主解答】 (1)设两圆的交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2).将点 A 的坐 ① ② 2 2 ?x1+y1-2x1+10y1-24=0, 标代入两圆方程,得? 2 2 ?x1+y1+2x1+2y1-8=0, ①-②,得 x1-2y1+4=0,故点 A 在直线 x-2y+4=0 上. 同理, 点 B 也在直线 x-2y+4=0 上, 即点 A, B 均在直线 x-2y+4=0 上. 因 为经过两点有且只有一条直线,所以直线 AB 的方程为 x-2y+4=0,即公共弦 所在直线的方程为 x-2y+4=0. (2)圆 C1 的方程可化为(x-1)2+(y+5)2=50, 所以 C1(1, -5), 半径 r1=5 2. C1(1,-5)到公共弦的距离 d= 设公共弦的长为 l, 2 2 2 则 l=2 r2 1-d =2 ?5 2? -?3 5? =2 5. |1-2×?-5?+4| =3 5. 12+?-2?2 1.利用两圆的方程相减求两圆公共弦所在直线的方程时,必须注意只有当 两圆方程中二次项的系数相同时,才能如此求解,若二次项的系数不同,需先调 整方程中各项的系数. 2.求两圆的公共弦长有两种方法:一是先求出两圆公共弦所在直线的方程; 再利用圆的半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解;二是联立两圆的 方程求出交点坐标,再利用两点间的距离公

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