【名师导学】2015高考数学一轮总复习 3.18 定积分与微积分基本定理课件 理_图文

第18讲

定积分与微积分基本定理

【学习目标】 1.了解定积分的实际背景、基本思想,了解定积 分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.

【基础检测】
3 1.设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若? ? f(x)dx=3f(x0), ?
?

0

则 x0 = ( C ) A.± 1 C.± 3

B. 2 D.2
?a 3 ??3 ? x +bx?? 0=9a ?3 ??

【解析】 f(x)dx= (ax +b)dx= +3b=3f(x0).

?3 ? ? ?0

?3 ? ? ?0

2

∴f(x0)=3a+b=ax02+b,∴x02=3,∴x0=± 3.

2.曲线 y=x2-2x 与直线 x+y=0 所围成的封闭 图形的面积为( D ) 2 A. 3 1 C. 3 5 B. 6 1 D. 6

【解析】如图,A(1,-1),故所
2 1 求面积为 S=? ? (-x-x +2x)dx ?
?

0

1 ?1 2 1 3?? =?2x -3x ?? ? ?? ? 0

1 1 1 = - = . 2 3 6

2 x ? ? ,x∈[0,1] 3.设 f(x)=? 1 (e 为自然对数的底 ,x∈(1,e] ? ? x

4 3 数),则∫0ef(x)Dx 的值为________ .

【 解 析 】 ∫ 0 f(x)Dx =
? x3?1 1 4 ? 0+ln x? ?e1=3+ln e=3. 3? ?

e

?1 ? ? ?0

1 x Dx + ∫1 x Dx =
2 e

4.计算? ?

?2

16 2 π + ( 4-x +x )dx 的值为___________ . 3
2 2

?- 2

2 【解析】由于? ? ?

? ? ?

2 4-x2+x2??dx=? ?

?

?- 2

? ?- 2

4-x2dx+

2 ? ? ? 1 1 2 16 3 ? 2 ?2 ? ? x x dx= π·2 + 3 ? =2π+ . ? ? 2 3 ? ?? - 2 ?
-2

【知识要点】 1.定积分的定义及相关概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1 <…<xi-1<xi<…<xn=b 把区间[a,b]等分成 n 个小 区间, 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 ξi(i=1, 2, …, n n b-a n),作和式∑ i=1f(ξi)Δ x=∑ i= 1 n f(ξi).当 n→∞时,上述 和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间 n b-a ?b ?b [ a, b]上的定积分, 记作? f(x) dx, 即? f(x)dx= ∑ i= 1 ? ? n ? ?
a a

f(ξi).这里 a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 [a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被积函数,x 叫做 积分变量,f(x)dx 叫做被积式.

2.定积分的性质
b ?a (1)? k 为常数); ? kf(x)dx=________________( ?
?a

b k? ? f(x)dx ?

b ?a (2)? ; ? [f(x)±g(x)]dx=_____________________ ?
?a

?b ? ? ?a

?b f(x)dx± ? g(x)dx ?

b ?c (3)? 其中 a<c<b). ? f(x)dx=__________________( ?
?a

?c ? ? ?a

b f(x)dx+? ? f(x)dx ?

3.微积分基本定理 一般地,如果 F′(x)=f(x),且 f(x)在[a,b]上可积,
b 那么? ? f(x)dx=________________ F(b)-F(a) . ?
?

a

这个结论叫做微积分基本定理, 又叫做牛顿—莱布 尼兹公式,其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数. 为了方便, 我们常把 F(b)-F(a)记作___________ , F(x)ab
b b 即? ? f(x)dx=___________________ F ( x ) =F(b)-F(a) . a ?
?a

一、微积分基本定理及应用 例1求下列定积分:
2 2 (1)? ? (3x +2x)dx; ?
?

1

1 x (2)? ? (e +2x)dx; ?
?

0

(3)

?4? ? ? ? ?1

?

1? x+ ?dx; x?
π 2 0

(4)

?

(cos2 x-2sinx )dx .

【解析】(1)原式=(x3+x2)12=12-2=10. x 1 2 1 1 x ?1 (2)原式=? ? e dx+? 2xdx=e 0 +x 0 =e-1+1=e. ? ?
?0 ?4 ? ? ?1

(3)原式=

1 2 34 xdx+ dx= x 1 +ln x14 x 3 2
?4 ? ? ?1

?0

2 3 14 = 4 -1+ln 4-ln 1= +ln 4. 3 2 3 (4) 原 式 =
π 2cos x 2 0

?

π 2 0

cos2 xdx -

?

π 2 0

2sinxdx =

π 1 sin 2 x 2 2 0



=0-0+0-2=-2.

【点评】计算一些简单的定积分,解题的步骤是: ①把被积函数变形为幂函数、 正弦函数、 余弦函数、 指数函数与常数的积或差; ②分别用求导公式找到一个相应的原函数; ③计算原始定积分的值.

二、定积分几何意义及应用 例2 过点 A(6,4)作曲线 f(x) = 4x-8的切线 l. (1)求切线 l 的方程; (2)求切线 l、x 轴及曲线 f(x) = 4x-8所围成的封闭图形的面积 S.
1 1 【解析】(1)∵f′(x)= ,∴f′(6)= , 2 x- 2 1 ∴切线 l 的方程为:y-4= (x-6),即 x-2y+2=0. 2 1 (2)令 f(x)=0,则 x=2,令 y= x+1=0,则 x=-2. 2

∴S=

?6 ? ? ? ? ?- 2

?1

? 6 x+1?dx-? ? ? 2 ? ?
2

4x-8dx

?1 2 ? 1 3 6 16 6 ? ? = 4x +x -2 - (4x-8) 2 = . 6 2 3 ? ?

【点评】应用定积分计算曲边几何形的面积时,注 意积分区间和被积函数的确定.

三、定积分在物理学中的应用 例3一点在直线上从时刻 t=0(s)开始以速度 v=t2 -4t+3(m/s)运动.求: (1)在 t=4 s 时的位置; (2)在 t=4 s 时运动的路程.
4 2 【解析】(1)在时刻 t=4 s 时该点的位置为? ? (t -4t ?
?0

?1 3 ? 4 2 4 ? ? +3)dt= 3t -2t +3t 0 = 3 ? ?

m.

4 即在 t=4 s 时,该点距出发点 m. 3 (2)∵v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3).

∴在[0,1]及[3,4]上,v(t)≥0, 在[1,3]上,v(t)≤0, ∴t=4 s 时的路程为 S = (t
?1 ? ? ?0

2

2 3 ?? ? (t -4t+3)dt? 4 2 ?+? ? - 4t + 3)dt + ? ? (t - 4t ??1 ? ?
?3

1 2 ?3 2 ?4 2 +3)dt=? ? (t -4t+3)dt-? (t -4t+3)dt+? (t -4t+3)dt ? ? ?
?0 ?1 ?3

=4(m). 即在 t=4 s 时,运动的路程为 4 m.

【点评】因位置决定于位移,所以它是 v(t)在[0, 4]上的定积分,而路程是位移的绝对值之和,因此需判 断在[0,4]上哪些时间段的位移为负.

例4如图,已知曲线 C1:y=x2 与曲 线 C2:y=-x2+2ax(a>1)交于点 O、 A,直线 x=t(0<t≤1)与曲线 C1,C2 分别交于点 D、B,连结 OD、AD 、 AB. (1)写出由线段 OD, DA,BA 及曲线 OB 所构成曲 四边形 ABOD 的面积 S 与 t 的函数关系 S=f(t); (2)求函数 S=f(t)在区间(0,1]上的最大值.

【解析】(1)曲线 C1,C2 的交点为 O(0,0),A(a, a2)且 B(t,-t2+2at),D(t,t2). 1 1 2 2 2 t 故 f(t) = ? ( - x + 2 ax ) dx - t · t + ( - t + 2at - ? ? 2 2 ?
0

t )· (a-t)=

2

? 1 ?? 1 3 2 t ?- x +ax ?? 0- t3+(-t2+at)(a-t). 2 ? 3 ??

13 ∴f(t)= t -at2+a2t(0<t≤1). 6 12 (2)f′(t)= t -2at+a2,令 f′(t)=0, 2 12 即 t -2at+a2=0, 2 解得 t=(2- 2)a 或 t=(2+ 2)a(舍去). 2+ 2 当(2- 2)a≥1 即 a≥ 时,f′(t)≥0 在 t∈(0, 2 1]上恒成立,

所以 S=f(t)在(0,1]上为增函数, 1 2 所以[f(t)]max=f(1)=a -a+ , 6 2+ 2 当(2- 2)a<1 即 1<a< 时, 2 ∵0<t<(2- 2)a?f′(t)<0, ∴S=f(t)在(0, (2- 2)a]上是增函数, 在((2- 2)a, 1]上是减函数, 2 2-2 3 ∴[f(t)]max=f((2- 2)a)= a 3 ? ? a2-a+1, a≥2+ 2. 6 2 ? 综上所述,[f(t)]max=? . 2+ 2 ? 2 2-2 3 a , 1<a< ? 3 2 ?

2 1 2 〔备选题〕例5设 f(a)=? ? |x -a |dx. ?
?

0

(1)当 0≤a≤1 与 a>1 时,分别求 f(a); (2)当 a≥0 时,求 f(a)的最小值.

【解析】(1)0≤a≤1 时,
2 2 2 2 2 1 2 ?a ?1 f(a)=? ? |x -a |dx=? (a -x )dx+? (x -a )dx ? ? ?
?

0

?

0

?

a

? 2 ? 1 3? a ?x3 2 =?a x-3x ?0 +? 3 -a x?a1 ? ? ? ?
3 1 1 a =a3- a3-0+0+ -a2- +a3 3 3 3

4 3 1 2 = a -a + . 3 3

当 a>1 时, f(a)= (a -x
?1 ? ? ?0

2

2

? 2 1 3? 1 1 2 )dx=?a x-3x ?0 =a - . 3 ? ?

1 ?4 3 2 ?3a -a +3 (0≤a≤1), ∴f(a)=? ? a2-1 (a>1). 3 ? 1 2 (2)由于 a - 在[1,+∞)上是增函数, 3 1 2 故 f(a)在[1,+∞)上的最小值是 f(1)=1- = . 3 3 当 a∈[0,1]时,f′(a)=4a2-2a=2a(2a-1),

1 由 f′(a)>0 得 a> 或 a<0, 2 故
? ?1 ? 1? f(a)在?0,2?上递减,在?2,1?上递增. ? ? ? ? ?1? 1 f?2?= . ? ? 4

因此在[0,1]上,f(a)的最小值为

1 综上可知,f(a)在[0,+∞)上的最小值为 . 4
【点评】(1)分段函数在区间[a,b]上的积分可分成 几段积分的和的形式. (2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定, 按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细.

1.定积分计算的关键是通过逆向思维获知被积函 数的原函数,即导数运算的逆运算. 2.定积分在物理学中的应用必须遵循相应的物理 过程和物理原理. 3.利用定积分求平面图形面积的步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的 大致图象; (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确 定积分的上、下限; (3)将曲边梯形面积表示成若干个定积分的和; (4)计算定积分,写出答案.

1 2 x 1. (2013 江西)若 S1= x dx, S2= dx, S3=? ? e dx, ? x ?
?2 ? ? ?1

2

?2 ? ? ?1

1

则 S1,S2,S3 的大小关系为( B ) A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1 B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

1 3 ?2 7 1 x2 2 ? 【解析】S1= 3x ? 1= , ,S2=? dx,S3=e 1 = ? x 3 ? ?
1

e2-e,易知 S2<S1<S3,故选 B.

【命题立意】 本小题考查应用微积分基本定理进行 定积分的计算,属中档题.

2. (2012 山东)设 a>0, 若曲线 y= x与直线 x=a,

4 y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________ . 9

a 【解析】S=? ? ?
?

0

2 a 2 4 2 xdx= x2 0 = a2=a ,解得 a= . 3 3 9
3 3

【命题立意】 本题考查定积分的求法及其几何意 义,求解时应注意结合图形,难度较小.

1 1.? (sin x+1)dx 的值为( A ) ? ?
?- 1

A.2 B.0 C.2+2cos 1 D.2-2cos 1
【解析】
?1 ? ? ?- 1

(sin x+1)dx=(x-cos x) 1 =1-cos 1

?1

+1+cos(-1)=2.

2 2.曲线 y=x与直线 y=x-1 及 x=4 所围成的封 闭图形的面积为( B ) A.2-ln 2 C.4-ln 2 B.4-2ln 2 D.2ln 2

2 【解析】 直线 y=x-1 与曲线 y=x的交点坐标为(2, 1),
?1 2 ?4 2? ?dx=? x -x-2ln x? ( x - 1 )- 则 S=? ? ? x? ?2 ?2 ?
?4?

?

2

=4-2ln 2.

3.一物体在变力 F(x)=5-x2(力单位:N,位移单 位:m)作用下,沿与 F(x)成 30° 方向作直线运动,则由 x=1 运动到 x=2 时 F(x)作的功为( C ) 2 3 4 3 A. 3 J B. J C. J 3 3 【解析】由于 F(x)与位移方向成
30° 角.如图,F 在位移方向上的分 力 F′=F· cos 30° ,
2 2 W= ? cos 30°dx ? (5-x )· ?
?

D.2 3 J

1

1 3? 2 3?2 3? 3 8 4 3 2 ?5x- x ? = = ? (5 - x ) dx = × = J. 1 3 2? 2 2 3 3 ? ? ?
1

lg x (x>0) ? ? a 2 4.设 f(x)=? x+? ? 3t dt (x≤0) ,若 f(f(1))=1, ? ? ?0 ? 则 a=________. 1

3 a a 2 【解析】f(1)=lg 1=0,f(0)=0+? ? 3t dt=t 0 =1, ?
?0

解得 a=1.

5.? ? ?

2

π +1 2 2 4-x dx=____________.

?0

【解析】 ∵y = 4-x2 的图形表示半圆 x2 + y2 = 4(y≥0),

∴ ?0

2

4 ? x 2 dx 表示曲边梯形 OBCD 的面积,所以

?

2

0

4 ? x 2 dx =S 扇形 OBC+S△OCD

1 1 1 π = ·(2π)+ 2· 2= π+1,故填 +1. 4 2 2 2

6.已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC,其中
?1 ? A(0,0),B?2,5?,C(1, ? ?

0),函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x
5 4 轴围成的图形的面积为________ .

【解析】先求出 y=f(x),再用定积分求面积. 1 ? ?10x,0≤x≤2, y=f(x)=? ? -10x+10,1<x≤1. 2 ?

1 ? 2 ?10x ,0≤x≤2, ∴xf(x)=? ? -10x2+10x,1<x≤1. 2 ? ∴所求面积为 S= ?
1 2 0

2 10 x dx + ?1 ? ?10 x ? 10 x ? dx 2
2

1

1 10 3 2 = x 3 0

? 10 3 ? 2 1 +?- 3 x +5x ? 2 ? ?

1

? ? 10 1 1? 5 10 1 ? 10 = × +?- 3 +5?-?- 3 ×8+5×4?= . 3 8 ? ? ? ? 4

x 7.若 y=? ? (sin t+cos tsin t)dt,求 y 的最大值. ?
?0

x 【解析】y=? sin t)dt ? (sin t+cos t· ?
?0

1 =(-cos t) 0 - (cos2t) 2
x

x 0

1 2 1 2 =-cos x+cos 0- cos x+ cos 0 2 2 1 2 3 =- cos x-cos x+ 2 2 1 =- (cos x+1)2+2. 2 当 cos x=-1 时,ymax=2.

8.如图,抛物线 y=4-x2 与直线 y =3x 的两个交点为 A, B.点 P 在抛物线 的弧上从 A 向 B 运动. (1)求使△PAB 的面积为最大时点 P 的坐标(a,b); (2)证明:由抛物线与直线 AB 围成 的图形被直线 x=a 分为面积相等的两部分.
2 ? y = 4 - x , ? ? ?x=1, 【 解 析 】 (1) 解 方 程 组 ? 得? 或 ? ? ? y=3x, ? y=3,

? ?x=-4, ? ? ? y=-12,

所以抛物线 y=4-x2 与直线 y=3x 的两交点坐标 为 A(1,3), B(-4,-12).P 点的横坐标的范围是:-4<a<1. |3a-b| 点 P(a,b)到直线 y=3x 的距离 d= 2 2. 1 +3 因为点 P 在抛物线上,所以 b=4-a2. 1 1 ? 3?2 25 2 ? ? a + ∴d= (4-3a-a )=- . + 10 10 ? 2? 4 10 3 9 7 当 a=- 时,d 最大,这时 b=4- = . 2 4 4 所以点 P
? 3 7? 坐标为?-2,4?时,△PAB ? ?

的面积最大.

3 另解:令 y′=-2x=3,得 xP=- , 2
? 3 7? 7 代入 y=4-x ,得 yP= ,∴P?-2,4? 4 ? ?
2

(2)证明: 设上述抛物线与直线 AB 所围成的图形的 3 面积为 S,位于直线 x=- 的右侧的面积为 S1. 2 S=
?1 ? ? ?- 4

125 (4-x -3x)dx= , 6
2 1

3 125 2 S1=∫ - (4-x -3x)dx= , 2 12 3 ∴S=2S1,即直线 x=- 平分 S,原命题得证. 2


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