高一数学必修1知识点总结:第二章基本初等函数

高中数学必修 1 知识点总结
? ()元素与集合的关系:属于(?)和不属于(?) ?1 ? ? ? ?集合与元素 (2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性 ? ? (3)集合的分类:按集合中元素的个数多少分为:有限集、无限集、空集 ? ? ? (4)集合的表示方法:列举法、描述法(自然语言描述、特征性质描述)、图示法、区间法 ? ? ? ? ?子集:若x ? A ? x ? B,则A ? B,即A是B的子集。 ? ? ? ? ?1、若集合A中有n个元素,则集合A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个。 ? ? ? ? ? ? ? ?2、任何一个集合是它本身的子集,即 A ? A ? ? 注? ? ? ?关系 ? ? ?3、对于集合A, B, C , 如果A ? B,且B ? C , 那么A ? C. ? ? ? ?4、空集是任何集合的(真)子集。 ? ? ? ? ? ?真子集:若A ? B且A ? B ? (即至少存在x0 ? B但x0 ? A),则A是B的真子集。 集合 ? ? ? ? ? ?集合相等:A ? B且A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ?定义:A ? B ? ? x / x ? A且x ? B? ?集合与集合 ? ? ?交集 ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? ?,A ? B ? B ? A,A ? B ? A, A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ?并集 ?定义:A ? B ? ? x / x ? A或x ? B? ? ? ? ? ? ? ?性质:A ? A ? A,A ? ? ? A,A ? B ? B ? A,A ? B ? A,A ? B ? B,A ? B ? A ? B ? B ? ? ? ?运算 ? Card ( A ? B ) ? Card ( A) ? Card ( B ) - Card ( A ? B ) ? ? ? ? ? ? ?定义:CU A ? ? x / x ? U 且x ? A? ? A ? ? ? ? ? ?补集 ?性质: U A) ? A ? ?, U A) ? A ? U,CU (CU A) ? A,CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ), ? (C (C ? ? ? ? ? CU ( A ? B ) ? (CU A) ? (CU B ) ? ? ? ? ? ?

m n ? ? ?根式: a , n为根指数,a为被开方数 ? n m ? ? ? an ? ? ? a ? ? ? ?分数指数幂 ? ? ? ? r a s ? a r ? s ( a ? 0, r , s ? Q ) ?a ? ?指数的运算 ? ? r s ? ?指数函数 ? rs ? ?性质 ?( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) ? ? ? r r s ? ? ? ?( ab ) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? x ? ?指数函数 ?定义:一般地把函数y ? a ( a ? 0且a ? 1)叫做指数函数。 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ?对数:x ? log a N , a为底数,N 为真数 ? ? ? ? ?log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? ? ?log a M ? log a M ? log a N ; ? ? ? 对数的运算 ? . N ? ? ? ? ?性质 ?log M n ? n log M ; ( a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0) a a ? ?对数函数 ? ? ? ? ? log c b ? log ( a , c ? 0且a , c ? 1, b ? 0) ? ?换底公式: a b ? ? ? log c a ? ? ? ? ? ? ?对数函数 ?定义:一般地把函数y ? log a x ( a ? 0且a ? 1)叫做对数函数 ? ? ? ? ?性质:见表1 ? ? ? ? ? ?幂函数 ?定义:一般地,函数y ? x 叫做幂函数,x是自变量,? 是常数。 ? ? ?性质:见表2 ?

1

2.1.2 指数函数及其性质
(4)指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax

y
图象

y ? ax

y

y ?1
(0,1)

y ?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况

1
x 0
R
(0,+∞) 图象过定点(0,1) ,即当 x=0 时,y=1. 非奇非偶

O

1
x 0

在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

y>1(x>0), y=1(x=0), 0<y<1(x<0)

y>1(x<0), y=1(x=0), 0<y<1(x>0)

a 变化对
图象的影 响

在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴.

在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴.

〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

2

〖2.2〗对数函数
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数, N

叫做真数.

②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化: x (2)几个重要的对数恒等式:

? log a N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a a b ? b . N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 …) .
对数函数 函数

(3)常用对数与自然对数:常用对数: lg N ,即 log10 (4)对数函数 函数名称 定义

y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y

x ?1

y ? log a x

y

x ?1

y ? log a x

图象

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 1 0) 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越小图象越靠低,越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越小图象越靠高,越靠近 y 轴

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)
在第一象限内, a 越大图象越靠低,越靠近 x 轴 在第四象限内, a 越大图象越靠高,越靠近 y 轴

a 变化对
象的影响



3

高一数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为 第几象限角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?

?

? ? ? ?

第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? ?

?

第四象限角的集合为 ? k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? ? 终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? , k ? ?

?

?

? ? ? ?

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360? ? ? , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ?* ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴 n 的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即 ? 为 终边所落在的区域. n 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. l 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? . r
8、若扇形的圆心角为 ? ?? 为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,
1 1 C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

?

14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度, 得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短) 到原来的
1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的 ?

图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? 倍 (横坐标不变) 得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? , 的图象.
4

函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 ?

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到 ?

函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短) 到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质:
①振幅 ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? ? 2?

二、向量
17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ? ? ? ? ? ? ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .
? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;
? ? ? ? ? ? ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

?

?

?

?

? ? ? ? ? ③a ?0 ? 0?a ? a .
? ? ? ? ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ? ? ? ? ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .
??? ? 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ? ? ① ?a ? ? a ; ? ? ? ? ②当 ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相同; ? ? 0 时,? a 的方向与 a 的方向相反; ? ? 0 时, 当 当 ? ? ?a ? 0 .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? a ? b ? ? a ? ? b .

?

?

? ? ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .

5

? ? ? ? ? ? 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、b b ? 0 共线.

?

?

?? ?? ? 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内 ?? ?? ? ?? ?? ? ? ? 的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一

平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1? 2 上的一点, ?1 、 ? 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当
??? ? ???? ? x ? ? x2 y1 ? ? y2 ? ?1? ? ? ?? 2 时,点 ? 的坐标是 ? 1 , ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c .

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
? ? ?2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 .

? ? ? ? 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

? ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 2 a b x1 ? y12 x2 ? y2

(二)对数的运算性质
如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: log a ( M · N ) ? log a M + log a N ;

M ? log a M - log a N ; N log a M n ? n log a M (n ? R) . log c b log a b ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . log c a 1 n . log a b ? log a b n ? log a b log b a m log a
m

6

基本公式
12、同角三角函数的基本关系:
sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 sin 2 ? ? 1 ? cos2 ?、、、、 2 ? ? 1 ? sin 2 ? cos

sin ? ? tan ? cos ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

口诀:奇变偶不变,符号看象限.
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

cos 2 ? ?

cos 2? ? 1 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 2
? . ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?
3 3 2

? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
2

27. a ? b ? (a ? b)( a ? ab ? b )

a 3 ? b 3 ? (a ? b)( a 2 ? ab ? b 2 )

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