江西吉水中学2012届高三模拟考试数学理试卷命题人周湖平一


江西省吉水中学 2012 届高三模拟考试数学(理)试卷 命题人:周湖平 一、选择题: (本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 。 1.已知 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i 2 ? ? ? i12 ? (
A. ? 1 B.0 C.1

C.有四个零点,且所有零点之积大于 1

D.有四个零点,且所有零点之积小于 1

) )

D. 1 ? i

2.已知集合 A = {x x > 1}, B = {x x < m},且 A B = R ,那么 m 的值可以是(
(A) - 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

3. 4.数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a2 ? 7 ,当 n ? 1 时, an?2 等于 an .an?1 的个位数字,则 a2012 ? (
A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 )

5.函数 y ? 12 sin( 2 x ?
A. 6 ?

?
6

) ? 5 sin(

?
3

? 2 x) 的最大值是(

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置) 。
) 11.已知函数 f ( x ) ? ln x ?

5 3 2

2 ,运行如图所示的程序框图,则输出的结果是___________ x

B.17

C.13

D.12

6.已知函数 f ( x) ? ?
值范围是 (A) a < 2 (

?? x2 ? ax, x ? 1, ?ax ? 1,


x ? 1,

若存在 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取

(B) a > 2 (D) a > 2 或 a < - 2 ) 12.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为______________

(C) - 2 < a < 2

3 7.满足函数 f ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 3 在区间 [? , 2] 的最大值为 5 的实数 a 的值有( 2
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个

8.底面边长为 4 的正四棱柱(高 h ? 6) 形的容器,先放入一个半径为 2 的球,然后再放入一个半径为
1 的小球,则小球的最高点距棱柱底面的距离为 ( A.6 B. 3 ? 2 2 C. 3 ? 7 ) D. 3 ? 6 )

9.已知函数 f ( x) ?| log 2 | x || ?( ) ,关于 f ( x) 的零点的结论正确的是 (
x

1 2

A.有三个零点,且所有零点之积大于 ? 1

B.有三个零点,且所有零点之积小于 ? 1
1

? 2x ? y ?1 ? 0 ? 13.设实数 x, y 满足不等式组 ? 4 x ? y ? 6 ? 0 ,则 4 x2 ? y 2 的最小值为 ?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 14.如图所示的正方形中,将边 AB、AD 各 4 等分,分别作 AB、AD 的 平行线段成 4 ? 4 方格网,则从图中取出一由网格线形成的矩形,
恰好为正方形的概率是 ;



18. (本题满分 12 分) D B
三棱锥 O-ABC 中,OA、OB、OC 两两垂直,P 为 OC 中点,PQ 垂直 BC 于 Q,OA=OB=OC=2,过 PQ 作一截面与棱 AC 平行。 (1)求截面面积; (2)求 BC 与截面所成角的正弦。

A
三.选做题: (请在下列两题中任选一题作答,如果多做则按所做的第一题评分,本题 5 分) 15. (1)已知不等式 a ? 2 x ? 1 ,对任意 x ? ?0, 2? 恒成立,则实数 a 的取值范围是___________ (2)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设 A、B 分别在曲线 C:

? x ? 4 ? 2 cos? 1 ( ? 为参数)和曲线 ? ? 上,则 | AB | 的取值范围是___ ? 2 ? y ? 3 ? 2 sin ?
_______ 四、解答题;(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 )

19. (本题满分 12 分)已知 an ? (1 ? 2)n (n ? N * )
(1) 若 an ? a ? b 2(a, b ? Z ) ,求证:a是奇数; ( 2 )求证:对于任意 n ? N ,都存在正整数k,使得 an ? k ?1 ? k .
*

16. (本题满分 12 分)
?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a, b, c , 在 ABC 中, E 为 AC 上边的中点且 2b cos B ? c cos A ? a cos C 。
(1)求 ? B 的大小; (2)若 ABC 的面积 S ?

3 3 ,求 BE 的最小值。 2

. 20. (本题满分 13 分) 17. (本小题满分 12 分)
盒中有大小相同的编号为 1,2,3,4,5,6 的六只小球,规定:摸一次需 1 元,从盒中摸出 2 只球, 如果这 2 只球的编号均能被 3 整除,则获一等奖,奖金 10 元,如果这 2 只球的编号均为偶数,则获二 等奖,奖金 2 元,其他情况均不获奖 (1)若某人摸一次且获奖,求他获得一等奖的概率; (2)若有 2 人参加摸球游戏,按规定每人摸一次,摸后放回,2 人共获奖金 X 元,求 X 的分布列及期 望 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C,离心率 e ?

2 ,点 F( 3 ,0)为其右焦点, 2

A ( x A , y A ) ,B ( x B , y B ) 为椭圆 C 上两点,满足 y A ? y B ? 0 , x A ? x B ,且直线 AB 过点(2,0) (1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 Q(t,0) (t<–3)的直线 QA、QB 与直线 x=3 交于 M,N 两点, 比较

1 1 1 1 ? ? 与 的大小,并证明你的结论。 yB yN yM y A

2

[来源:学|科|网] 21。 (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? x2 ? ax(a, x ? R) .
(1)若函数在区间 (1, 2) 上不是单调函数,试求 a 的取值范围; (2) 设 函 数 h( x)?

f ( x? )

f ' ( x )? ( x ? ?

?

1b , ? ) b(? 如 果 1存 ) , 在 a ? ? ??, ?1? , 且 对 于 任 意

有 x ?? ? 1 ,b ) h( x) ? h(?1) ,试求 b 的最大值 ? (b ? ?1

3

吉水中学 2012 届高三周考数学(理)试卷参考答案 一、选择题: 1-10 CDACC ABCAB

P( X ? 0) ? (1 ? P( X ? 2) ? (1 ?

4 4 121 )(1 ? ) ? 15 15 225 4 1 1 4 22 ) ? ? ? (1 ? ) ? 15 5 5 15 75

二、填空题: 11:. 2 15.: 12.:10 13:
1 . 2

14. :

3 10

P( X ? 4) ?

1 1 1 ? ? 5 5 25 4 1 1 4 22 ) ? ? ? (1 ? ) ? 15 15 15 15 225

(1) (??, 2) ? (5, ??) (2) ? ,

? 5 15 ? ?2 2 ? ?

P( X ? 10) ? (1 ? P( X ? 12) ? P( X ? 20) ?
X 的分布列为 X 0 P(X)

四、解答题:

1 1 1 1 2 ? ? ? ? 5 15 15 5 75 1 1 1 ? ? 15 15 225
2 4 10 12 20

121 225

22 75

1 25

22 225

2 75

1 225

期望 EX ? 2 ?

22 1 22 2 1 480 32 2 ? 4? ? 10 ? ? 12 ? ? 20 ? ? ? ? 2 (元)………12 分 75 25 225 75 225 225 15 15

18.解:设截面为 PQRS,由于截面 PQRS 与棱 AC 平行
所以 AC∥PS AC∥QRPS ?

1 1 AC ? ? 2 2 ? 2 2 2

17.解: (1)设摸一次得一等奖为事件 A,摸一次得二等奖为事件 B,
则 P( A) ?

1 1 ? 2 C6 15

P( B) ?

C 1 ? 5 C

2 3 2 6

PQ⊥BC P 是中点∴CQ ? PQ ?

2 2

某人摸一次且获奖为事件 A ? B ,显然 A、B 互斥 所以 P( A ? B) ?

∴QR ?

3 3 AC ? 2 4 2

1 1 4 ? ? 15 5 15

SR2 ? 12 ? (
SR ?

故某人摸一次且获奖,他获得一等奖的概率为:

2 2 2 1 ) ? 2 ? 1? ? cos 45? ? 2 2 2

P( A | A ? B) ?

P( A) 1 4 1 ? ? ? ………………6 分 P( A ? B) 15 15 4

2 ,所以截面 PQRS 是等腰梯形 2

(2)因为摸后放回,所以 2 人摸球是相互独立的 易知 X 的可能取值为 0,2,4,10,12,20
4

3 2? 2 2 2 6 2 ) ?( )2 ? 它的高为 h ? ( 2 2 4
故截面面积 ?

当n 为奇数时,a 2 ? 2b 2 ? 1 ,存在k ? 2b 2 ,使得an ? a ? b 2 ? a2 ? 2b2 ? k ? 1 ? k ,11 分 综上,对于任意 n ? N? ,都存在正整数 k ,使得 an ? k ? 1 ? k . ………………12 分

1 3 6 5 3 ………………6 分 ?( 2 ? 2) ? ? 2 2 4 8

20 解: (1) c ? 3

c 2 ? a 2

a? 6 b? 3
(2)建立空间坐标系,如图 得:P(0,0,1) S(0,1,0) Q(

椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1 ………………5 分 6 3
(2)设直线 AB 的方程为: x ? my ? 2

1 3 ,0, ) 2 2

B(2,0,0) , C(0,0,2)

PS ? (0 ,1, ? 1)
1 1 1 PQ ? ( ,0, ) ? ( 1,0,1) 2 2 2

? x ? my? 2 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 6
(my ? 2) 2 ? 2 y 2 ? 6 (m 2 ? 2) y 2 ? 4my ? 2 ? 0
y A ? yB ? ?
y A yB ? ?


BC ? (?2 ,0,2)
设截面 PQRS 的一个法向量坐标为 n ? ( x, y, z ) 则?

4m m2 ? 2
………………8 分

?y ? z ? 0 ?x ? z ? 0

2 m ?2
2

不妨取 z ? 1 ,得 n =( ? 1 ,1,1) 设 BC 与截面所成角为 ? ,则

yM 3?t ? yA xA ? t

yN 3?t ? yB xB ? t

sin ? ?| cos ? n , BC ? | ? |

? 1 ? (?2) ? 1 ? 0 ? 1 ? 2 3? 4?4

6 |? ………………12 分 ? 3 2 6
n ? Cn ( 2)n ,

4

xA ? t m yA ? 2 ? t m 2?t 1 1 ? ? ? ? ? 3 ? t 3 ? t yA yM y A (3 ? t ) (3 ? t ) y A
x ?t m yB ? 2 ? t m 2?t 1 1 ? ? ? ? B ? 3 ? t 3 ? t yB yN y B (3 ? t ) (3 ? t ) y B
( 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? )? ? ?( ? ) yM y A yB yN yM y N y A yB
2m 2?t 1 1 ?( ? 1)( ? ) 3?t 3?t y A yB

1 2 2 3 3 19. 解:⑴由二项式定理,得 an ? C0 n ? Cn 2 ? Cn ( 2) ? Cn ( 2) ? 2 2 4 4 所以 a ? C0 n ? Cn ( 2) ? Cn ( 2) ? 2 4 ? 1 ? 2C2 n ? 2 Cn ?



因为 2C ? 2 C ?
2 n 2 4 n

为偶数,所以 a 是奇数.……………………………………………5 分

⑵由⑴设 an ? (1 ? 2)n ? a ? b 2(a ,b ? Z) ,则 (1 ? 2)n ? a ? b 2 , 所以 a2 ? 2b2 ? (a ? b 2)(a ? b 2) ? (1 ? 2)n (1 ? 2)n ? (1 ? 2)n , 当n 为偶数时, a 2 ? 2b 2 ? 1 ,存在k ? a 2 ,使得an ? a ? b 2 ? a2 ? 2b2 ? k ? k ? 1 , … 9 分

?

?
5

2m 1 y A ? yB ? ? 3 ? t 3 ? t y A yB

?

2m 1 ? ? 2m ? 0 3?t 3?t

所以

1 1 1 1 ? ………………13 分 ? ? yB yN yM y A

21.解:

6


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