江苏省2016年高考数列相关练习

数列 姓名____________班级___________学号____________分数______________ 一、填空题 1 . ( 苏 北 老 四 所 县 中 2013 届 高 三 新 学 期 调 研 考 试 ) 已 知 数 列

?a ? 满 足 a
n

n?1

? qan ? 2q ? 2 ( q

为常数, | q

,若 |? 1)

a3 , a4 , a5 , a6 ? ??18, ?6, ?2,6,30? ,则 a1 ?




2

2 . (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = 3 . (南京九中 2013 届高三第二学期二模模拟)已知定义在 R 上的函数



.

f ( x) 和 g ( x) 满足 g ( x) ? 0, f ' ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ' ( x) ,

f ( x) ? a x ? g ( x ) ,


f (1) f (?1) 5 f ( n) ,则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 超过 15/16 的最小自然数 n 的值为 ? ? .令 an ? g (1) g (?1) 2 g ( n)

4 . (江苏省南京学大教育专修学校 2013 届高三 3 月月考数学试题)等差数列 {an } 中,若 a1 ? a2

? 4 , a9 ? a10 ? 36 ,则

S10 ?

.

5 . (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试(详细解答)2013 年 3 月 )已知
2008

f1 ( x) ? ex sin x , fn ( x) ? fn??1 ( x), n ? 2 ,



? f (0) ? __________.
i ?1 i

6 ( .南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试 (详细解答) 2013 年 3 月 ) 已知

?an ? 是首项为 a,公差为 1 的等差数列, bn ?

1 ? an an

.

若对任意的 n ? N ,都有 bn
*

? b8 成立,则实数 a 的取值范围是__________.
? 4, a4 ? 1 ,则 a12 的

7 . (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试(详细解答)2013 年 3 月 )在等比数列{ an }中,若 a7 ? a9 值是__________. 8 . ( 江 苏 省 郑 梁 梅 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 期 初 检 测 数 学 试 题 ) 等 比 数 列

?an ? 中 , 已 知 a1 ? a2 ? 324 , a3 ? a4 ? 36 , 则

a5 ? a6 =____________
9 . (江苏省扬州中学 2013 届高三下学期开学质量检测数学试卷)一个等差数列 { an } 中, ________. 10. (江苏省扬州中学 2013 届高三下学期开学质量检测数学试卷)数列 {an } 满足 a1 ? 2, 且对任意的 m, n ? N ,都有 an ? m ? an am ,则
*

an 是一个与 n 无关的常数,则此常数的集合为 a2 n

{an } 的前 n 项和 Sn ? _____.

11. (江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题)已知连续 2n ? 1(n ? N

*

) 个正整数总和为 a ,且这些数中后 n 个数的平方和与前
1

n 个数的平方和之差为 b .若

a 11 ? b 60

,则 n 的值为________.

12( .江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题) 若数列 {an } 的通项公式 an

?

1 ,记 f (n) ? 2(1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) , (n ? 1) 2

试通过计算

f (1) 、 f (2) 、 f (3) 的值,推测出 f (n) ? __________.

13. (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)若等比数列

?a n ?满足 a m?3 ? 4 且 a m a m?4 ? a 42 ( m ? N * 且

m ? 4 ),则 a1 a5 的值为________.
14. (江苏省泰兴市第三高级中学 2013 届高三下学期期初调研考试数学试题 )如图 3 都是由边长为 1 的正方体叠成的图形

图3 例如第(1)个图形的表面积为 6 个平方单位,第(2)个图形的表面积为 18 个平方单位,第(3)个图形 的表面积是 36 个平方单位.依此规律,则第 n 个图形的表面积是__________个平方单位. 15 .( 江 苏 省 泰 兴 市 第 三 高 级 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 期 初 调 研 考 试 数 学 试 题 ) 已 知 数列

?an ?

满 足

a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 2
为______________.

n? n? ) ? an ? sin 2 2 2

,则该数列的前 10 项的和

16. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(一) (数学) )设双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,点 P1 、 P2 、 、 Pn 是其右上方一 4

段( 2

? x ? 2 5 , y ? 0 )上的点,线段 Pk F

的长度为 a k ,( k

1 5 ), ? 1,2,3, ? , n ).若数列 ?a n ? 成等差数列且公差 d ? ( , 5 5

则 n 最大取值为_________. 17. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(三) (数学) )某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下: 第 k 棵树种植在点 P k ( xk,yk ) 处,其中 x1

? 1 , y1 ? 1 ,当 k ≥ 2 时,

? ? ? k ?1 ? ? k ? 2 ?? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5 ?T ? ? ?T ? ??, ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? y ? y ? T ? k ? 1 ? ? T ? k ? 2 ?. k k ?1 ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 5 ? ?
T (a ) 表示非负实数 a 的整数部分,例如 T (2.6) ? 2 , T (0.2) ? 0 .按此方案,第
棵树种植点的坐标应为_______. 18. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(三) (数学) )已知数列 6 棵树种植点的坐标应为____________;第 2008

?a n ?满足 a1 ? 1, a n?1 ? a n ? 2 n ,则 a10 ? ____________.
q
的等比数列,首项

19 . ( 江 苏 省 青 阳 高 级 中 学 2013 届 高 三 月 测 试 卷 ( 二 ) (数学) ) 设 {a n } 是 公 比 为

a1 ?

n ? N ? , bn ? log 1 a n ,当且仅当 n ? 4 时,数列 ?bn ?的前 n 项和取得最大值,则 q 的取值范围为________.
2

1 64

,对于

2

20. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三 3 月份检测数学试题 )等差数列

?an ? 的公差为 d,关于 x 的不等式

d? d 2 ? x + ? a1 ? ? x +c≥0 的解 2? 2 ?

集为[0,22],则使数列

?an ? 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是_________.

21. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三 3 月份检测数学试题 ) 设等差数列 值范围是______________.

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若≤ a5 ≤ 4 , 2 ≤ a6 ≤ 3 ,则 S6 的取

22. (江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷)设 a1,a2,,an 为正整数,其中至少有五个不同值. 若对于任意 的 i,j(1≤i<j≤n),存在 k,l(k≠l,且异于 i 与 j)使得 ai+aj=ak+al,则 n 的最小值是_____. 1 1 23. (江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷) 已知一个数列只有 21 项,首项为 ,末项为 ,其中任意连 100 101 续三项 a,b,c 满足 2ac b= ,则此数列的第 15 项是_____. a +c 24. (江苏省南菁高级中学 2013 届高三第二学期开学质量检测数学试卷)已知数列{an}(n∈N*)满足 a1=1 且 an 2013 项的和为____. 25 . ( 江 苏 省 金 湖 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 期 初 检 测 数 学 试 题 ) 设 等 差 数 列

? an ?1 cos

2 n? 3

,则其前

{an } 的 前 n

项和为

Sn

,若

S9 ? 81 , 则

a2 ? a5 ? a8 ? ________.
26. (江苏省金湖中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题) 已知 的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是_____________. 27. (江苏省姜堰市蒋垛中学 2012-2013 学年度第二学期期初测试高三数学试题)已知数列 {an } 的通项公式为 a n

?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 Sn 表示 ?an ?
k ,若对任意的 n

?n?

n ? N * ,都有 an ? a3 ,则实数 k
和 S8 = _________

的取值范围为___________

28. (江苏省姜堰市蒋垛中学 2012-2013 学年度第二学期期初测试高三数学试题)已知数列{an}满足 a1 = 1,an + 1 = 2an,则该数列前 8 项之

29( .江苏省淮阴中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题) 设函数 令 an

y ? x n?1 (n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,

? lg xn ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ?? ? a99的值为______________

30( .江苏省淮阴中学 2013 届高三 3 月综合测试数学试题) 已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列, Sn 是其前 n 项和,若 S10 是数列 中的唯一最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是_______. 31. (江苏省洪泽中学 2013 届高三下学期期初考试数学试题)设函数 则

?Sn ?

f ( x) ? loga x(a ? 0 且 a ? 1 ),若 f ( x1 ? x2 ? ?? x2009 ) ? 8 ,

2 2 2 2 ) ? f ( x2009 ) 的值等于_______ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?? f ( x2008

32. (2012 学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 )将正整数按下表的规律排列,把行与列交叉处的一个数称为某行某列的 数 , 记 作

ai,j (i, j ? N * ) ,如第 2 行第 4 列的数是 15,记作 a 2, 4 ? 15 ,则 a12,14 ? _________.
3

1 2 9 10 25 26

4 3 8 11 24 27

5 6 7 12 23 28

16 15 14 13 22 29

17 18 19 20 21 30

36 35 34 33 32 31

二、解答题 33. (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)已知 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 是函数

f ( x) ?

2x 2x ? 2

图象上的两点,且

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ???? ???? 、B 共线,且 CP ? x1CA ? x2 CB OP ? (OP 1 ? OP 2 ) ,点 P、A 2 (1)求 P 点坐标
(2)若 S2011

?? f(
i ?1

2010

i ) 2011

求 S2011

(3)若 Sn

n ? ? 1 i ? ? ? ? f ( ) ,记 Tn 为数列 ? ? 前 n 项的和, n i ?1 ? ( Sn ? 2)( Sn ?1 ? 2) ? ? ?

若 Tn

? a(Sn?1 ? 2) 时,对一切 n ? N * 都成立,试求 a 的取值范围。

34 . (南京九中 2013 届高三第二学期二模模拟)已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列,公差为 d , Sn 为其前 n 项和,且满足
2 an ? S2 n ?1 , n ? N* .数列 ?bn ? 满足 bn ?

1 , Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和. an ? an ?1

(1)求数列 ?an ? 的通项公式 a n 和数列 bn 的前 n 项和 Tn ; (2)若对任意的 n ? N ,不等式 ?Tn ? n ? 8 ? (?1) 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
*
n

? ?

(3)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

35. (江苏省南通市、 泰州市、 扬州市、 宿迁市 2013 届高三第二次调研 (3 月) 测试数学试题) 设无穷数列 ?an ? 满足:?n ? Ν ,an ? an ?1 ,
?

an ? N? .记 bn ? aan, cn ? aan ?1 (n ? N* ) .
(1)若 bn ? 3n(n ? N ) ,求证: a1 =2,并求 c1 的值;
*

(2)若 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,问 ?an ? 是否为等差数列,证明你的结论.

36. (江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研(3 月)测试数学试题)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障 房供给社会.计划用 1 600 万元购得一块土地,在该土地上建造 10 幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1 000 平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第 x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数) .经测算,若每幢 楼为 5 层,则该小区每平方米的平均综合费用为 1 270 元. (每平方米平均综合费用= (1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元? 购地费用+所有建筑费用 ). 所有建筑面积

4

37. (盱眙县新马中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)已知 f(x)= (1)求函数 f(x)的表达式;

bx ? 1 (ax ? 1) 2

(x≠-

1 ,a>0),且 f(1)=log162,f(-2)=1. a

(2)已知数列{xn}的项满足 xn=[1-f(1)][1-f(2)][1-f(n)],试求 x1,x2,x3,x4; (3)猜想{xn}的通项.

38. (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试(详细解答)2013 年 3 月 )已知 a 为实数,数列

?an ? 满足 a1 ? a ,当 n ? 2

时, an

?an?1 ? 3 ?? ?4 ? an ?1

(an?1 ? 3) (an ?1 ? 3)

,

(Ⅰ) 当a ? 100

时,求数列?an ?的前100项的和S100 ;

(Ⅱ)证明:对于数列

?an ? ,一定存在 k ? N * ,使 0 ? ak ? 3 ;
,当 2 ?

(Ⅲ)令 bn

?

an n 2 ? (?1) n

a ? 3 时,求证: ? bi ?
i ?1

n

20 ? a . 12

39 .( 江 苏 省 扬 州 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 开 学 质 量 检 测 数 学 试 卷 ) 对 于 数 集

X ? {?1, x1, x2 , ?, xn} , 其 中

0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集
5

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } .
具有性质 P. 例如 X

若对于任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2

? 0 ,则称 X

? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (I)若 x ? 2 ,且 {?1,1,2, x} 具有性质 P ,求 x 的值;
(II)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数),求有穷数列

?xn ? 的通项公式.

40 .( 江 苏 省 扬 州 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 开 学 质 量 检 测 数 学 试 卷 ) 已 知 数 列 足: a1 ? a

?an? 的 前 n 项 和 为 Sn

,且满

(a ? 0) , an?1 ? rS n (n ? N , r ? R, r ? ?1) .
*

(Ⅰ)求数列

?an ?的通项公式;
?
N ,使得 S k ?1 , S k , S k ? 2 成等差数列,试判断:对于任意的 m ?N ,且 m ? 2 , am?1 , a m , am? 2 是否成等差数列,
* *

(Ⅱ)若存在 k

并证明你的结论.

41. (江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题)已知集合 A ?

?a1 , a2 , a3 ,? ? ?, an ? ,其中 ai ? R?1 ? i ? n, n ? 2?, l ? A? 表示

ai ? a j ?1 ? i ? j ? n? 的所有不同值的个数.
(1)已知集合 P ? (3)求 l

?2,4,6,8?, Q ? ?2,4,8,16?,分别求 l ?P ? , l ?Q? ;

? A? 的最小值.
? 2 ),首项 a1 ? 2 ,设该数列的前 n 项和为

42. (江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题) 已知有穷数列 {an } 共有 2 k 项(整数 k

Sn ,且 S n ?

an ?1 ? 2 (n ? 1, 2,3,? , 2k ? 1). 其中常数 a ? 1. a ?1

⑴求 {an } 的通项公式;
2 2 k ?1

⑵若 a

?2

,数列 {bn } 满足 bn

?

1 log 2 (a1a2 ? an ), (n ? 1, 2,3,? , 2k ), n
6

求证: 1 ? bn

?2;
b1 ? 3 3 3 3 ? b2 ? ? ? ? b2 k ?1 ? ? b2 k ? ? 4 ,求 k 的最大值. 2 2 2 2

⑶若⑵中数列 {bn } 满足不等式:

43. (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)已知数列 {a n } 满足 a1 (1)证明: a n

n ?1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? (n ? 1) .

? n ( n ? 3 );

(2)证明:

2 ? 3 3? 4 4 ??? n n ? 2.

盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考 44. (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)设 S n 是各项均为非零实数的数列 题上: 命题

?a n ?的前 n 项和,给出如下两个命

p : ?a n ? 是等差数列;命题 q :等式 p 是 q 的充分条件,求 k , b 的值;

1 1 1 kn ? b 对任意 n ( n ? N * )恒成立,其中 k , b 是常数. ? ??? ? a1 a 2 a 2 a3 a n a n ?1 a1 a n ?1

⑴若

⑵对于⑴中的 k 与 b ,问 ⑶若

p 是否为 q 的必要条件,请说明理由;
,试求 S n 的最大值.

2 p 为真命题,对于给定的正整数 n ( n ? 1 )和正数 M,数列 ?a n ? 满足条件 a12 ? a n ?1 ? M

7

45. (江苏省盱眙中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)已知函数

f ( x) ? sin 2 ( x) ? 3 sin( x) ? cos( x) 4 4 4

?

?

?

(Ⅰ)求 (Ⅱ)求

f ( x) 的最大值及此时 x 的值; f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2010) 的值.

46. (江苏省泰兴市第三高级中学 2013 届高三下学期期初调研考试数学试题 )设数列 意n? N *,2

?an ?的各项都为正数,其前 n 项和为 S n ,已知对任

Sn

是 an

?2

和 an 的等比中项. (Ⅰ)证明:数列

?an ?为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)证明:

1 1 1 1 ? ? ??? ?1; 2 S1 S2 Sn

(Ⅲ)设集合 M

? {m m ? 2k , k ? Z

, 且 1000?

k ? 1500 } , 若存在 m ∈ M

, 使对满足 n ? m 的一切正整数 n , 不等式

2 an 2S n ? 4 2 0 0? 2

恒成立,试问:这样的正整数 m 共有多少个?

泰兴市第三高级中学 2013 届高三第二学期期初调研考 8

47. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷 (一) (数学) ) 如果无穷数列 使 an

? a n ?满足下列条件:① an ? an ? 2 ? an ?1
2

;②存在实数 M ,

?M

.
?

其中 n ? N ,那么我们称数列 (1)设数列 (2)设

? an ? 为 ? 数列.

? bn ?的通项为 bn ? 5n ? 2n ,且是 ? 数列,求 M 的取值范围;
4 4

? cn ?是各项为正数的等比数列, S n 是其前项和, c3 ? 1 , S3 ? 7 ,
? Sn ?是 ? 数列; ? d n ?是各项均为正整数的 ? 数列,求证: d n ? d n ?1 .
*

证明:数列 (3)设数列

48. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(一) (数学) )对 n ? N ,定义函数

f n ( x ) ? ?( x ? n ) 2 ? n , n ? 1 ≤ x ≤ n .

(1)求证: y ? f n ( x ) 图像的右端点与 y ? f n ?1 ( x ) 图像的左端点重合;并回答这些端点在哪条直线上. (2) 若直线 y ? kn x 与函数 的函数. (3)对 n ? N , n ≥ 2 ,在区间 [0, n] 上定义函数
*

f n ( x) ? ?( x ? n) 2 ? n , n ? 1 ≤ x ≤ n ( n ≥ 2 , n ? N* )的图像有且仅有一个公共点 ,试将 kn 表示成

y ? f ( x) ,使得当 m ? 1 ≤ x ≤ m ( m ? N* ,且 m ? 1 ,,,)时, f ( x) ? f m ( x) .试
*

研究关于的方程 f ( x ) ? kn x ( 0 ≤ x ≤ n , n ? N )的实数解的个数(这里的 kn 是(2)中的 kn ),并证明你的结论.

49. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(三) (数学) )数列 {an } 满足: a1 (I)求证: 1 ? (Ⅱ)令 bn

? 1, an ?1 ?

an ? 2 an ? 1

an ? 2(n ? N ? , n ? 2);

?| an ? 2 | (1)求证: {bn } 是递减数列;
(2)设 {bn } 的前 n 项和为 S n , 求证: S n

?

2(2 2 ? 1) 7

50. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷 (二) (数学) ) 如图,在

?、An、 ? ,其中点 A1 (0, 1) 、 y 轴的正半轴上依次有点 A1、A2、
9

A2 (0, 10) ,且 | An ?1 An |? 3 | A n An ?1 | (n ? 2,3,4, ?) ,在射线 y ? x( x ? 0) 上依次有点 B1、B2、 ?、Bn、 ? ,点 B1 的坐标
为(3,3),且 | OBn (1)求 |

|?| OBn ?1 | ?2 2 (n ? 2,3,4, ?) .

An An ?1 | (用含 n 的式子表示); An 、 Bn 的坐标(用含 n 的式子表示); An Bn Bn ?1 An ?1 面积为 S n ,问 {S n } 中是否存在不同的三项 S1 , S n , S k (1 ? n ? k , n、k ? N) 恰好成等差数列?

(2)求点

(3) 设四边形

若存在,求出所有这样的三项,若不存在,请说明理由.

An+1 An A2

y Bn+1 Bn B2

A1 O

B1 x

51. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三 3 月份检测数学试题 )设数列 (1)求数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn =2- an ,n=1,2,3,.
(3- bn ),求数列

?an ? 的通项公式;(2)若数列 ?bn ? 满足 b1 =1,且 bn ?1 = bn + an ,求数列 ?bn ? 的通项公式;(3)设 cn =n

?cn ?

的前 n 项和为 Tn .

52 . ( 江 苏 省 南 师 附 中 等 五 校 2013 届 高 三 下 学 期 期 初 教 学 质 量 调 研 数 学 试 卷 ) 【 必 做 题 】 在 数 列 {an}(n∈N*) 中 , 已 知

a1=1,a2k=-ak,a2k-1=(-1)k+1ak,k∈N*. 记数列{an}的前 n 项和为 Sn.
(1)求 S5,S7 的值; (2)求证:对任意 n∈N*,Sn≥0.

10

α an+1+β an 53( .江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷) 设非常数数列{an}满足 an+2= ,n∈N*,其中常数 α ,β α +β 均为非零实数,且 α +β ≠0.

(1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是 α +2β =0; 1 5 1 (2)已知 α =1,β = , a1=1,a2= ,求证:数列{| an+1-an-1|} (n∈N*,n≥2)与数列{n+ } (n∈N*)中没有相同数值的项. 4 2 2

54 .( 江 苏 省 南 菁 高 级 中 学

2013

届 高 三 第 二 学 期 开 学 质 量 检 测 数 学 试 卷 ) 设 数 列

?an ?

满 足

a1 ? a, an? 1? an2 ? a ,1M ? ?a ? R n ? N*,| an | ≤ 2? .
(1)当 a ? (??, ?2) 时,求证: a ?M; (2)当 a ? (0, (3)当 a ? (

1 ] 时,求证: a ? M 4

; 的关系,并证明你的结论.

1 , ??) 时,判断元素 a 与集合 M 4

55 . ( 江 苏 省 南 菁 高 级 中 学 2013 届 高 三 第 二 学 期 开 学 质 量 检 测 数 学 试 卷 ) 设 数 列

{an } , 对 任 意 n ? N *

都有 11

(kn ? b)(a1 ? an ) ? p ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,(其中 k ? b ? p 是常数)?
(1)当 k (2)当 k

? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,若 a3 ? 3 , a9 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式;

(3)若数列 列

?an ? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是 “封闭数列”.当 k ? 1 , b ? 0 , p ? 0 时,设 Sn 是数

?an ? 的前 n 项和, a2 ? a1 ? 2 ,试问:是否存在这样的“封闭数列” ?an ? ,使得对任意 n ? N * ,都有 Sn ? 0 ,且

1 1 1 1 1 11 ? ? ? ??? ? .若存在,求数列 ?an ? 的首项 a1 的所有取值;若不存在,说明理由. 12 S1 S2 S3 Sn 18

56 . ( 江 苏 省 姜 堰 市 蒋 垛 中 学 2012-2013 学 年 度 第 二 学 期 期 初 测 试 高 三 数 学 试 题 ) 定 义 数 列

?an ? : a1 ? 1 , 当 n ? 2

?an ?1 ? r , n ? 2k , k ? N ? , ? 时, an ? ? . ? ? ?2an ?1 , n ? 2k ? 1, k ? N .
(1)当 r

? 0 时, Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .

①求: Sn ; ②求证:数列

?S2n ? 中任意三项均不能够成等差数列.
2k ? 4 (n∈N*)恒成立. ? k ?1 a2 k ?1a2 k
n

(2)若 r≥0,求证:不等式

57. (2012 学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 )本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 已知等差数列 (1)求数列

?a n ?的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,数列 ?bn ?是等比数列,且满足 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a5 ? b3 .

?a n ?和 ?bn ?的通项公式; ?cn ?对 n ? N * 均有
c c1 c 2 ? ? ? ? n ? a n ?1 ,求 c1 ? c 2 ? ? ? c 2013 的值. b1 b2 bn

(2)设数列

12

江苏省 2013 届高三下学期最新精选试题(27 套)分类汇编 5:数列参考答案 一、填空题 1. 2. 3.

?2 或 126

a1 ?
5

a2 1 2 ? ? q 2 2

解题探究:本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前 n 项和公式等基础知识,考查运算能力以及灵活地运用所 学知识分析问题、解决问题的能力.求解本题,关键在于根据题设条件求出 a 的值,从而得到数列 {an } 的通项公式.

解析:∵

f ( x) ? a x ? g ( x) ,且 g ( x) ? 0 ,∴ a x ?
f ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ?0 g 2 ( x)

f ( x) f (1) f (?1) 1 5 ,从而有 ? ?a? ? , g ( x) g (1) g (?1) a 2 f ( x) g ( x)
为 减 函 数 , 于 是 得



(a x )' ?

, 知

ax ?

a?

1 2



1 an ? ( ) n 2

, 由 于

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?
4. 5. 6. 7. 8. 9. 4 4.
1 {1 , } 2

1 1 2 1 3 1 4 15 15 ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ,故得使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 超过 的最小自然数 n ? 5 . 2 2 2 2 16 16

100

1 ? 4502

? ?8, ?7?

10.

2n?1 ? 2

11. 5 12.

n?2 n ?1

13. 16 14. 15. 16. 14 提示:数列

3n 2 ? 3n
77

?a n ? 递 增 , 当 a1 最 小 ,

an 最 大 , 且 公 差 d

充分小时,数列项数较大.所以取

a1 ? 5 ? 2 , a n ? 3 , 算 得

d?

5? 5 1 5 (n ? 1) ,又 d ? ( , ) ,所以 5 5 ? 4 ? n ? 26 ? 5 5 ,又 n ? N * ,故 n 最大取值为 14. n ?1 5 5

17. (1,2),(3,402) 18. 19. 1023

(2 2 ,4)

20. 11 21.

? ?12, 42?
13

22. 23.

13 10 1007

24. 16 25. 27 26. 20 27. [6,12] 28. 255 29. 30.

?2

? ?30, ?27?

31. 16 32. 185 二、解答题 33.解(1)? P. A.B 共线且 CP ?

??? ?

??? ? ??? ? x1CA ? x2 CB ,? x1 ? x2 ? 1

又?

f ( x) ? f (1 ? x) ?

2x 21? x 2x 2 ? ? ? x ?1 x 1? x x 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2

1 1 ? P( , ) 2 2
(2) S2011

?? f(
i ?1

2010

i 1 2 2009 2010 )? f( )? f ( ) ??? f ( )? f ( ) 2011 2011 2011 2011 2011

? S2011 ? f (

2010 2009 2 1 )? f ( ) ?? f ( )? f ( ) 2011 2011 2011 2011

?2S2011 ? 2010 ? S2011 ? 1005
(3) Sn
n i 1 2 n ?1 ? ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ?? f ( ) ? f (1) n n n n i ?1

? S n ? f (1) ? f ( ? Sn ?
令 bn

n ?1 2 1 ) ?? f ( ) ? f ( ) n n n

n ?1 ? 2 2

?

1 4 2n ? Tn ? ? n?2 (Sn ? 2)(Sn?1 ? 2) (n ? 1)(n ? 2)

2n n?2 4n 4n 4 ?a ?a? ? 2 ? 2 n?2 2 (n ? 2) n ? 4n ? 4 n ? 4 ? 4 n 1 ?a ? 2
34.解: (1 ) (法一)在 an
2 ? ?a1 ? S1 , 得? 2 ? ?a 2 ? S 3 ,
2

? S2n?1 中,令 n ? 1 , n ? 2 ,
?????????2 分 14

2 ? ?a1 ? a1 , 即? 2 ? ?(a1 ? d ) ? 3a1 ? 3d ,

解得 a1 又? an

? 1 , d ? 2 ,? an ? 2n ? 1
2 ? 2n ? 1 时, Sn ? n2 满足 an ? S2 n ?1 ,? an ? 2n ? 1

??????3 分

? bn ?
?Tn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
??????5 分

(法二)?

?an ? 是等差数列, ?

a1 ? a 2 n ?1 ? an 2
??????????2 分

? S 2 n ?1 ?
由 an
2

a1 ? a 2 n ?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)an . 2
2

? S2n?1 ,得 an ? (2n ? 1)an ,

又? an

? 0 ,? an ? 2n ? 1,则 a1 ? 1, d ? 2 .

?????????3 分

( Tn 求法同法一) (2)①当 n 为偶数时,要使不等式 ?Tn 立.

? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式 ? ?

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 17 恒成 n n

?????????????6 分

? 2n ?

8 ? 8 ,等号在 n ? 2 时取得. n ? 此时 ? 需满足 ? ? 25 .
②当 n 为奇数时,要使不等式 ?Tn 立.

????????????????7 分

? n ? 8 ? (?1)n 恒成立,即需不等式 ? ?

(n ? 8)(2n ? 1) 8 ? 2n ? ? 15 恒成 n n

?????????????8 分

? 2n ?

8 8 是随 n 的增大而增大, ? n ? 1 时 2 n ? 取得最小值 ?6 . n n ????????????????9 分 ? 此时 ? 需满足 ? ? ?21 . ? ? ? ? 21 综合①、②可得 的取值范围是 . ???????????????10 分 1 m n , Tn ? (3) T1 ? , Tm ? , 3 2m ? 1 2n ? 1
若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 即

m 2 1 n ) ? ( ), 2m ? 1 3 2n ? 1
?????????12 分

m2 n . ? 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3



m2 n 3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? ,可得 ? ? 0 ,即 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , 2 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 n m

? 1?

6 6 ? m ? 1? 2 2



??????????????14 分

又 m ? N ,且 m

? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 .

因此,当且仅当 m ? 2 ,

n ? 12 时,数列 ?Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列.?16 分
15

[另解:因为

m2 1 n 1 1 ? ,即 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , ? ? ,故 2 4m ? 4m ? 1 6 6n ? 3 6 ? 3 6 n
, (以下同上) . ??????????????14 分]

? 1?

6 6 ? m ? 1? 2 2
?

35. 【解】 (1)因为 an ? N ,所以若 a1 ? 1 ,则 aa1 ? a1 ? 3 矛盾, 若 a1≥3 ? aa1 ,可得 1 ≥a1≥3 矛盾,所以 a1 ? 2 . ????????????4 分 于是 a2 ? aa1 ? 3 ,从而 c1 ? aa1 ?1 ? a3 ? aa2 ? 6 . ????????????7 分 (2) ?an ? 是公差为 1 的等差数列,证明如下: ???????????????9 分

an?1 ? an ? n≥2 时, an ? an?1 ,所以 an≥an ?1 ? 1 ? an≥am ? (n ? m) , (m ? n)

? aan?1 ?1≥aan ?1 ? an?1 ? 1 ? (an ? 1) ,?????????????????13 分
≥an ?1 ? an ,又 an ?1 ? an≥1 , 即 cn?1 ? cn≥an ?1 ? an ,由题设, 1
所以 an ?1 ? an ? 1,即 ?an ? 是等差数列.???????????16 分 36. 【解】 ( 1 )如果每幢楼为 5 层,那么所有建筑面积为 10 × 1 +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 1 16 270= 000 × 5 平方米,所有建筑费用为[ (k +800)+(2k +800)+(3 k

000×10,所以,??????????3 分

000 000+[(k +800)+(2k +800)+(3k +800)+(4k+800)+(5k +800)]×1 000×10 , 10×1 000×5

解之得:k=50.?????????????????????6 分 (2)设小区每幢为 n(n∈N*)层时,每平方米平均综合费用为 f (n),由题设可知

f (n) =


16 000 000+[(50 +800)+(100 +800)+?+(50n +800)]×1 000×10 10×1 000×n (元). ???????10 分

1 600 +25n+825≥2 1 600×25+825=1 225

n

当且仅当

1 600 =25n,即 n=8 时等号成立.??????12 分

n

答:该小区每幢建 8 层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为 1 225 元.????14 分 37. (1)f(x)=

1 ( x ? 1)
2

(x≠-1)(2)x1=1-f(1)=11 ,f(-2)= 1, 4

1 3 3 ? 1? 2 2 ? 5 1? 5 1 ? 3 ? n?2 = ,x2= × ?1 ? ? = ,x3= × ?1 ? ? = ,x4= × ?1 ? ? = .⑶xn= . 4 4 4 ? 9? 3 3 ? 16 ? 8 8 5 2 ( n ? 1) 25 ? ?

(1)把 f(1)=log162=

1 ? b ?1 ? ? 2 4 ( a ? 1 ) ? 代入函数表达式得 ? , ? ? 2b ? 1 ? 1 ? (1 ? 2a ) 2 ?
2 ? ?a ? 1 ?4b ? 4 ? a ? 2a ? 1 整理得 ? ,解得 ? , 2 ? ?b ? 0 ?? 2b ? 1 ? 4a ? 4a ? 1

于是 f(x)=

1 ( x ? 1) 2

(x≠-1).

(2)x1=1-f(1)=1x2= x4=

1 3 = , 4 4

3 2 1? 5 ? 1? 2 ? × ?1 ? ? = ,x3= × ?1 ? ? = , 4 3 ? 9? 3 ? 16 ? 8 5 1 ? 3 ? × ?1 ? ? = . 8 ? 25 ? 5

16

(3)这里因为偶数项的分子、分母作了约分,所以规律不明显,若变形为 38.解:(Ⅰ) 当a ? 100

n?2 3 4 5 6 , , , ,,便可猜想 xn= . 4 6 8 10 2(n ? 1)

由题意知数列 ?an ? 的前 34 项成首项为 100,公差为-3 的等差数列,从第 35 项开始,奇数项均为 3,偶数项均为 时,

1,从而 S100 =

(100+97+94+ ??? +4+1) +(3+1+ ??? +3+1) 共34项 共66项

=

(100 ? 1) ? 34 66 ? (3 ? 1) ? ? 1717 ? 132 ? 1849 . 2 2

(Ⅱ)证明:①若 0 ? a1 ②若 a1 设 a1 ?

? 3 ,则题意成立

? 3 ,此时数列 ?an ? 的前若干项满足 an ? an?1 ? 3 ,即 an ? a1 ? 3(n ?1) .

?3k,3k ? 3?,(k ? 1, k ? N* ) ,则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a1 ? 3k ?? 0,3? .
? 0 ,由题意得 a2 ? 4 ? a1 ? 3 ,则由②的结论知此时命题也成立.
? a (n为奇数) a ? 3 时,因为 an ? ? , ?4 ? a(n为偶数)
(n为奇数) (n为偶数)

从而此时命题成立 ③若 a1

综上所述,原命题成立 (Ⅲ)当 2 ?

a ? n n ? an ? 2 ? (?1) 所以 bn ? n = ? 2 ? (?1) n ? 4 ? a n n ? ? 2 ? (?1)
因为 bn >0,所以只要证明当 n

? 3 时不等式成立即可.

4 ? a a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 ? (4 ? 2a) 而 b2 k ?1 ? b2 k ? 2 k ?1 ? ? 2 ? 1 22 k ? 1 (22 k ?1 ? 1)(22 k ? 1) a
a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 22 k ?1 ? 22 k ?1 a ? 4 ? 4 k ?1 2 k ?1 ? ? 2k 2 ? 2 ?1 24 k ?1 2
①当 n ? 2k (k ? N
*
2k 2k a 4?a a?4 a?4 a?4 ? ( 2?2 ? 2?3 ????? 2?k ) 且k ? 2) 时, ? bi ? b1 ? b2 ? ? bi ? ? 3 3 2 2 2 i ?1 i ?3

1 1 1 (1 ? ( )k ?1 ) (a ? 4) ? (1 ? ( )k ?1 ) 4 4 4 4 a ? 4 20 ? a 4 4 ? . ? ? (a ? 4) ? 2 ? ? ? ? 1 12 3 3 12 3 12 1? 4
②当 n ? 2k ?1(k ? N 综上所述,原不等式成立
*

且k ? 2) 时,由于 bn >0,所以 ? bi ? ? bi <
i ?1 i ?1

2 k ?1

2k

20 ? a . 12

17

39. (1)选取 a1

? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b)

所以 x=2b,从而 x=4 (2)[解法一]猜测 xi 记

? qi ?1 ,i=1,

2, , n. 3, , n.

``

Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2,

先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 当s 因为

? (s, t ) , s 、? Ak .当 s 、中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ;

? ?1 且 t ? ?1 时, s 、≥1.

Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,

从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? 有性质 P 现用数学归纳法证明: xi 当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时,

Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与 s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具

? qi ?1 ,i=1,

2, , n.

Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1,

2, , k;

当 n=k+1 时,若 Ak ?1

? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk }
? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} .

也有性质 P,所以 Ak ?1 取 a1 若t

? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s=-1 或 t=-1.
q ? q 不可能; s

? ?1 ,则 xn ?1 ?

所以 s

? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? qk ?1 ,所以 xk ?1 ? q k .

综上所述, xi

? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1,

2, , n
s1 t1 t2 ??s 2

[解法二]设 a1 记 B ? {s t 原点对称.

? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于

.

| s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于

注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数.

18

由于 x n?1
xn x n ?1
x n ?1 x n?2

xn

?
xn x n?2

xn xn?2

???
xn x2

xn x2

?

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

?
?

???
???

?

xn x1

x n ?1 x n ?3

x n ?1 x1

x2 x1

注意到 x 1

xn

?

x n ?1 x1

???

x2 xn x1 ,所以 x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为

2 k ?1 xk ? x1 ( x ) ? q k ?1 ,k=1, x1

2, , n.

40. 解析:(Ⅰ)由已知 an?1

? rSn 可得 an?2 ? rSn?1 , 两式相减可得 an?2 ? an?1 ? r ? Sn?1 ? Sn ? ? ran?1 , 即 an?2 ? ? r ?1? an?1 , 又

a2 ? ra1 ? ra ,
所以当 r=0 时,数列

?an ? 为 a,0,0,0,;当 r ? 0, r ? ?1 时,由已知 a ? 0 ,所以 an ? 0, ? n ? N 2 ? ,于是由 an?2 ? an?1 ? ran?1 ,

可得

an? 2 n?2 ? r ? 1 ,所以 a2 , a3 ,?, an ,? 成等比数列,当 n ? 2 时, an ? r ? r ? 1? a . an?1

综上,数列

?an ? 的通项公式为: an ? ? ?
*

? a, ? ?r ? r ? 1?
n?2

n ?1 a, n ? 2

(Ⅱ)对于任意的 m ? N ,且 m

? 2 , am?1 , am , am?2 是否成等差数列,证明如下:

当 r=0 时,由(Ⅰ),知 an

?a, n ? 1 , ?? ?0, n ? 2
? 2 , am?1 , am , am?2 7 成等差数列;

故对于任意的 m ? N ,且 m
*

当r

? 0, r ? ?1 时,? Sk ?2 ? Sk ? ak ?1 ? ak ?2 ,? Sk ?1 ? Sk ? ak ?1 .
*

若存在 k ? N ,使得 Sk ?1 , Sk , Sk ? 2 成等差数列,则 Sk ?1 ? Sk ? 2

? 2S k ,

? 2Sk ? 2ak ?1 ? ak ?2 ? 2Sk ,即 ak ?2 ? ?2ak ?1 ,
由(Ⅰ),知 a2 , a3 ,?, an ,? 的公比 r ? 1 ? 于是对于任意的 m ? N ,且 m
*

?2 ,

? 2 , am?1 ? ?2am ,从而 am?2 ? 4am ,

? am?1 ? am?2 ? 2am ,即 am?1 , am , am?2 成等差数列.
综上,对于任意的 m ? N ,且 m
*

? 2 , am?1 , am , am?2 成等差数列.

41.解:(1)由 2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14, 得 l(P)=5 19

由 2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24, 得 l(Q)=6 (3)不妨设 a1<a2<a3<<an,可得

a1+a2<a1+a3<<a1+an<a2+an<a3+an<<an-1+an,
故 ai+aj (1≤i<j≤n)中至少有 2n-3 个不同的数,即 l(A)≥2n-3. 事实上 , 设 a1,a2,a3,,an 成等差数列 , 考虑 ai+aj (1≤i<j≤n), 根据等差数列的性质 , 当 i+j≤n 时 , ai+aj=a1+ai+j-1; 当 i+j>n 时 ,

ai+aj=ai+j-n+an;
因此每个和 ai+aj(1≤i<j≤n)等于 a1+ak(2≤k≤n)中的一个,或者等于 al+an(2≤l≤n-1)中的一个.故对这样的集合 A,l(A)=2n-3,所以

l(A)的最小值为 2n-3.

?n ? 2时 ? ? a ?2 an ? 2 , 42.解:⑴ S ? n ?1 , S ? n n ?1 ? a ?1 a ?1 ?
? 1 时 a1 ? S1 ?

两式相减得

Sn ? Sn?1 ?

an?1 ? an a ?a , an ? n?1 n ,? an?1 ? a ? an a ?1 a ?1

? an ? a2 a n?2
w.w.w.zxxk.c.o.m 则,数列 {an } 的通项公式为 an

当n

a2 ? 2 ? 2,? a2 ? 2a, a ?1

? 2 ? an?1.

⑵把数列 {an } 的通项公式代入数列 {bn } 的通项公式,可得

bn ? ?

1 log 2 ( a1a2 ? an ) n

1 (log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 an ) n 1? 2 4 2k ? 2 ? ? ?1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) n? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ? 1? n(n ? 1) 2 ? ? ?n ? n? 2 2k ? 1 ? ? n ?1 ? 1? . 2k ? 1

?1 ? n ? 2k ,?1 ? bn ? 2.
⑶数列 {bn } 单调递增,且 bk 则原不等式左边即为

?

3 k ?1 1 3 k 1 ? ? ? 0, bk ?1 ? ? ? ? 0, 2 2k ? 1 2 2 2k ? 1 2

3? ? 3? 3? ?3 ? ?3 ? ?3 ? ? ? ? ? b1 ? ? ? ? b2 ? ? ? ? ? ? bk ? ? ? bk ?1 ? ? ? ? bk ? 2 ? ? ? ? ? ? b2 k ? ? 2? ? 2? 2? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ? ? 2 k ? (bk ?1 ? bk ? 2 ? ? ? b2 k ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bk ) ? . 2k ? 1


k2 ?4 2k ? 1

可得 k

2

? 8k ? 4 ? 0, 4 ? 2 3 ? k ? 4 ? 2 3, 因此整数 k 的最大值为 7.

43. (1)因为 a1 假设当 n

3 ? 2, a2 ? 2, 所以 a3 ? a2 ? 3 ? 5 ? 3.

? k ? 1 时,因为 akk ?1 ? k k ?1 ? k 2 ? k ? 9k ? 2k ? 2 ,
k ?1 ? ak ? k ? 1 ? k ? 1. 由数学归纳法知,当 n ? 3 时 an ? n

所以, ak ?1

20

(2)由(1)知, an 所以 an ?1 所以 an ? 2 44.解:(1)设

n n ? an ?1 ? n ? 0, 得 an ?1 ? n ,

n ?1 n ?1 n n ? n n . 所以 an n , 即 an ? 2 ? ? n ? 1? ? ? 2 ? ? n ? 1? ? n ,

? n ?1 n ? 1 ? n n
n

,以此类推,得 2 ?

a1 ? 2 ? 3 3 ? 4 4 ? ? ? n n

,问题得证

?a ? 的公差为 d ,则原等式可化为

1? 1 1 1 1 1 1 ? kn ? b 1 nd kn ? b , 所以 ? , ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? d ? a1 a2 a2 a3 an an ?1 ? a1an ?1 d a1an ?1 a1an ?1


? k ? 1? n ? b ? 0 对于 n ? N ? 恒成立,所以 k ? 1, b ? 0.
? 1, b ? 0 时,假设 p 是否为 q 的必要条件,即“若

(2) 当 k

1 1 1 n ? ?? ? ? a1a2 a2 a3 an an ?1 a1an ?1

①对于任意的 n

?n ? N ? 恒
?

成立,则

?a ? 为等差数列”.
n

当n

? 1 时,

1 1 ? a1a2 a1a2

显然成立

当n ?

2 时,

1 1 1 n ?1 ? ?? ? ? a1a2 a2 a3 an ?1an a1an ?1

②,由①-②得,

1 1? n n ?1 ? ? ? ? ? ,即 nan ? ? n ? 1? an ?1 ? a1 ③. an an ?1 a1 ? an ?1 an ?
当n

? 2 时, a1 ? a3 ? 2a2 ,即 a1 、 a2 、 a3 成等差数列,

当 n ? 3 时, (3)由 a1 设
2

? n ? 1? an?1 ? ? n ? 2 ? an ? a1 ④,即 2an ? an?1 ? an?1 .所以 ?an ? 为等差数列,即 p 是否为 q 的必要条件
,可设 a1
n ?1

2 ? an ?1 ? M

? r cos ? , an ?1 ? r sin ?

,所以 r

? M
?

. ,

?a ? 的公差为 d ,则 a
n

? a1 ? nd ? r sin ? ? r cos ?

,所以 d

r sin ? ? r cos ? n

所以 an

? r sin ? ?
2

? a1 ? an ? n ? ? n ? 1? cos ? ? ? n ? 1? sin ? r r sin ? ? r cos ? , Sn ? 2 2 n
2

?

? n ? 1? ? ? n ? 1?
2
f ( x) ?

? M ?

2 2 M ? n 2 ? 1? ,所以 S n 的最大值为 M ? n 2 ? 1? 2 2
----

45.解:(I)

1 1 ? 3 ? 1 ? ? ? cos x ? sin x ? ? sin( x ? ) 2 2 2 2 2 2 2 6
3 , 2
此时: x



f ( x) max ?

4 ? 4k ? ( k ? z ) . 3

----

(II)原式 ?

2011 ? 3 2

---21

46.解:(Ⅰ)由已知, 4S n 当n 当n

2 ? an ? 2an ,且 an ? 0

? 1 时, 4a1 ? a12 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2
2 ? 2 时,有 4S n?1 ? an ?1 ? 2an?1 . 2 2 2 2 ? 4S n?1 ? an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 .

于是 4S n 于是 an 因为 an 故数列
2

2 ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ) ? 2(an ? an?1 ) .

? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2(n ? 2) .

?an ?是首项为 2,公差为 2 的等差数列,且 an ? 2n
? 2n ,则
1 1 1 1 , ? ? ? S n n(n ? 1) n n ? 1

(Ⅱ)因为 an

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ?1? ?1 ? ??? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 n n ? 1 n ?1 S1 S 2 Sn

因为 1 ?

1 1 随着 n 的增大而增大,所以当 n ? 1 时取最小值 2 n ?1

.

故原不等式成立
2 an (Ⅲ)由 2 S n ? 4200 ? 2

,得 2n(n ? 1) ? 4200?

2n 2 ,所以 n ? 2100

由题设, M

? { 2000, 2002 ,, 2008 , 2010 , 2012 ,, 2998 } .

? 2100 , 2102 ,, 2998 均满足条件 且这些数组成首项为 2100 ,公差为 2 的等差数列.
因为 m ∈M,所以 m 设这个等差数列共有 k 项,则 2100? 2(k

? 1) ? 2998,解得 k ? 450 .

故集合 M 中满足条件的正整数 m 共有 450 个

47. (1)

? bn ?1 ? bn ? 5 ? 2 n , ? n ? 3 , bn ?1 ? bn ? 0

故,数列 当n

?bn ?单调递减;

? 1 , 2 时 bn ?1 ? bn ? 0 ,即 b1 ? b2 ? b3 ,

则数列 (2)

?bn ?中的最大项是 b3 ? 7 ,所以, M ? 7
1 7 , S3 ? , 4 4

? ?c n ?是各项正数的等比数列, S n 是其前项和, c3 ?

22

设其公比为 q

? 0 ,?

c3 c3 7 ? ? c3 ? 2 q 4 q
(舍去)

整理,得 6q

2

1 1 ? q ? 1 ? 0 解得 q ? , q ? ? 2 3
1 2
n ?1

? c1 ? 1 , c n ?
?

, Sn ? 2 ?

1 ? S n?2 , S ? 2 2n

对任意的 n ? N ,有

S n ? S n?2 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 2 ? 2 ? n ? S n ? 2 ,且 S n ? 2 , 2 2 2 2



?S n ? 是 ? 数列.
d k ? d k ?1 成立,有数列 ?d n ?的各项均为正整数, ? d k ? 1 .因为
d k ? d k ?2 ? d k ?1 , 2

(3)假设存在正整数 k 使得

可得 d k

? d k ?1 ? 1 ,

即 d k ?1

所以, d k ? 2 由 d k ?2

? 2d k ?1 ? d k ? 2?d k ? 1? ? d k ? d k ? 2
,故 d k ? 2

? 2d k ?1 ? d k 及 d k ? d k ?1 得 d k ? 2 ? 2d k ?1 ? d k ?1 ? d k ?1

? d k ?1 ? 1

因为

d k ?1 ? d k ?3 ? d k ? 2 ,所以 d k ?3 ? 2d k ? 2 ? d k ?1 ? 2?d k ?1 ? 1? ? d k ?1 ? d k ?1 ? 2 ? d k ? 3 2

由此类推,可得 d k ? m 又存在

? dk ? m m ? N ?
, 总有

?

?,
, 所以假设不成立 , 即对任意

M

,使 dk

?M

M ? m , 故有 d k ? m ? 0 , 这与数列 ?d n ? 的各项均为正数矛盾

n ? N ? ,都有 d k ? d k ?1 成立

48. (1) 由 f n ( n) ? n 得 y ? f n ( x ) 图像右端点的坐标为 ( n, n) , 由 f n ?1 ( n) ? n 得 y ? f n ?1 ( x ) 图像左端点的坐标为 ( n, n) , 故两端点重 合. 并且对 n ? N ,这些点在直线
*

y ? x 上.
2

(2)由题设及(1)的结论,两个函数图像有且仅有一个公共点,即方程 ?( x ? n) 整理方程得 x 由 ? ? (kn
2

? n ? kn x 在 n ? 1 ≤ x ≤ n 上有两个相等的实数根.

? ( k n ? 2n) x ? n 2 ? n ? 0 ,

? 2n) 2 ? 4(n 2 ? n) ? 0 ,解得 kn ? 2n ? 2 n 2 ? n ,

此时方程的两个实数根 x1 , x2 相等,由 x1 ? x2 ? 2n ? kn , 得 x1

? x2 ?

2n ? kn ? [2n ? (2n ? 2 n 2 ? n )] ? ? n 2 ? n , 2

因为 n ? 1 ≤ x1 ? x2 ≤ n ,所以只能 kn

? 2n ? 2 n 2 ? n ( n ≥ 2 , n ? N* ).
23

(3)当 n ≥ 2 时, kn

? 2n ? 2 n 2 ? n ?

2n n? n ?n
2

?

2 1 1? 1? n

,可得 1 ? kn ? 2 ,且 kn 单调递减.

① 当 n ≥ 3 时,对于 2 ≤ i ≤ n ? 1 ,总有 1 ? kn ? ki ,亦即直线 y ? kn x 与函数 f i ( x ) 的图像总有两个不同的公共点(直线 y ? kn x 在直线

y ? x 与直线 y ? ki x 之间).

对于函数 f1 ( x ) 来说,因为 1 ? kn ? 2 ,所以方程 kn x ? f1 ( x ) 有两个解: x1 ? 0 , x2 ? 2 ? kn ? (0,1) . 此时方程 f ( x ) ? kn x ( 0 ≤ x ≤ n , n ? N )的实数解的个数为 2( n ? 1) ? 1 ? 2n ? 1 .
*

② 当 n ? 2 时,因为 1 ? k2 ? 2 ,所以方程 k2 x ? f1 ( x ) 有两个解.此时方程 f ( x ) ? k2 x ( 0 ≤ x ≤ 2 )的实数解的个数为. 综上,当 n ≥ 2 , n ? N 时,方程 f ( x ) ? kn x ( 0 ≤ x ≤ n , n ? N )的实数解的个数为 2n ? 1 .
* *

49.解:(Ⅰ) a1 (1) n

? 1 a2 ?

? 2时

1? 2 3 ? 1?1 2 3 1 ? a2 ? ? 2 ? n ? 2 时不等式成立 2

(2)假设 n

? k 时不等式成立,即 1 ? ak ? 2
1 ak ? 1

ak ?1 ? 1 ?

4 3 ? ? ak ?1 ? 3 2 ? n ? k ? 1 时不等式成立
由(1)(2)可知对 n ? N
?

, n ? 2 都有 1 ? an ? 2
an ? 2 ? 2 an ? 1 an ? 2 1 an ? 2 ? 2 an ? 2 an ? 1 an ? 2

(Ⅱ)(1)

bn ?1 ? ? bn an ? 2 ?

an ?1 ? 2

?

2 ?1 1 an (1 ? 2) ? 2( 2 ? 1) ? an ? 1 an ? 1 an ? 2
? 2 ?1 ?1 2

2 ?1 an ? 1
?

?bn ? 是递减数列
bn ?1 2 ?1 2 ?1 ? ? bn ?1 ? bn bn 2 2

(2)?

bn ?

2 ?1 2 ?1 2 2 ? 1 n ?1 2 ? 1 n ?1 bn ?1 ? ( ) bn ? 2 ? ? ? ( ) b1 ? ( 2 ? 1)( ) 2 2 2 2

24

S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? 2 ?1 2 ?1 2 2 ? 1 n ?1 ? ? ( 2 ? 1) ?1 ? ?( ) ??? ( ) ? 2 2 2 ? ? 2 ?1 n ) 2( 2 ? 1)(3 ? 2) ? 2 ?1 n ? 2 ? ( 2 ? 1) ? ) ? ?1 ? ( 7 2 2 ?1 ? ? 1? 2 1? (

?

2(2 2 ? 1) 7

50. (1)?

| An An ?1 | 1 ? , 且 | A1 A2 |? 10 ? 1 ? 9 , | An ?1 An | 3

1 1 1 ?| An An ?1 |?| A1 A2 | ( ) n ?1 ? 9( ) n ?1 ? ( ) n ?3 3 3 3
(2)由(1)的结论可得

1 27 1 1 n ? 4 | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? ? ? | An ?1 An | ? 9 ? 3 ? 1 ? ? ? ( ) n ? 4 ? ? ( ) 3 2 2 3 29 1 1 ? 点An 的坐标 (0, ? ( ) n ? 4 ) , 2 2 3

?| OBn | ? | OBn ?1 |? 2 2 ( n ? 2,3,? )且 | OB1 |? 3 2
?{| OBn |} 是以 3 2 为首项, 2 2 为公差的等差数列

?| OBn |? 3 2 ? (n ? 1)2 2 ? (2n ? 1) 2 ? Bn 的坐标为 (2n ? 1, 2n ? 1) .
(3)连接 An Bn ?1 ,设四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 S n , 则 Sn

? S ?An An?1Bn?1 ? S ?Bn Bn?1 An

1 1 1 29 1 1 2 29 n ? [( ) n ?3 ] ? (2n ? 3) ? ? 2 2 ? [ ? ( ) n ? 4 ] ? ? n ?3 2 3 2 2 2 3 2 2 3
由 S1 , S n , S k 即k

(1 ? n ? k , n、k ? N) 成等差数列, 2(

29 n 29 29 k ? n ?3 ) ? ( ? 9) ? ( ? k ?3 ) 2 3 2 2 3

? 2 ? 3k (

n 1 ? ) ,① 3n 6



n ? 1 n 1 ? 2n ?n? ? n ? n ?1 ? 0 ,∴ ? n ? 是单调递减数列. n ?1 3 3 3 ?3 ? n 1 ? ,①式右边小于 0,矛盾, 3n 9

当 n ? 3 时, 当n

? 2 时,得 k ? 3k ? 2 ,易知 k ? 3 是唯一解,∴ S1 , S 2 , S3 成等差数列.

即当 n ? 3 时, {S n } 中不存在 S1 , S n , S k 三项成等差数列. 综上所述,在数列 {S n } 中,有且仅有 S1 , S 2 , S3 成等差数列. 25

51. (1)因为 n=1 时, a1 + S1 = a1 + a1 =2,所以 a1 =1. 因为 S n =2- an ,即 an + S n =2,所以 an ?1 + S n ?1 =2. 两式相减: an ?1 - an + S n ?1 - S n =0,即 an ?1 - an + an ?1 =0,故有 2an ?1 = an .

因为 an ≠0,所以

an ?1 1 ? = ( n∈ N ). an 2
n ?1

1 ?1? 所以数列 ?an ? 是首项 a1 =1,公比为 的等比数列, an = ? ? 2 ?2?
(2)因为 bn ?1 = bn + an ( n=1,2,3,),所以 bn ?1 - bn = ?

( n∈ N ).

?

?1? ? ?2?

n ?1

.从而有

b2 ? b1 =1, b3 ? b2 =

1 ?1? ?1? , b4 ? b3 = ? ? ,, bn ? bn ?1 = ? ? 2 ?2? ?2?
n ?1

2

n?2

( n=2,3,).

将这 n-1 个等式相加,得

?1? 2 n?2 1 ? ? ? 1 ?1? ?1? 2 bn - b1 =1+ + ? ? ++ ? ? = ? ? 1 2 ?2? ?2? 1? 2
又因为 b1 =1,所以 bn =3- 2 ?

=2- 2 ?

?1? ? ?2?

n ?1

.

?1? ? ?2?

n ?1

( n=1,2,3,).

(3)因为 cn =n (3- bn )= 2n ?

?1? ? ?2?

n ?1

,

2 n?2 n ?1 ?? 1 ? 0 ?1? ?1? ?1? ?1? ? ? n? ? ? . 所以 Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ?? 2 ? ? 2 3 n ?1 n ?? 1 ?1 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ? Tn = 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? ? ? n ? ? ? . 2 ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ?? 2 ? ?





①-②,得

?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ?1? Tn = 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?
0 2
n

n ?1

n ? ?1? ? - 2n ? ? . ?2? ? ?

?1? 1? ? ? n n ? 2 ? - 4n ? 1 ? =8- 8 - 4n ? 1 ? =8- (8 ? 4n) 1 ( n=1,2,3,). 故 Tn = 4 ? ? ? ? 1 2n 2n ?2? ?2? 1? 2
52.解:(1)S5=3,S7=1 (2)由题设 a i 的定义可知,对于每个正整数 k,有

a4k ?3 ? a2k ?1 ? ?a4k ?2 . a4k ?1 ? a4k ? ?a2k ? ak
.

① ② 26



S 4 k ? ? [(a4i?3 ? a4i?2 ) ? (a4i?1 ? a4i )] ? ? (0 ? 2ai ) ? 2S k ,③
i ?1 i ?1

k

k

S4k ?2 ? S4k ? (a4k ?1 ? a4k ?2 ) ? S4k .
下面证明对于所有的 n≥1,Sn≥0. 对于 k,用数学归纳法予以证明. 当 i=1,2,3,4,即 k=0 时,S1=1,S2=0, S3=1, S4=2. 假设对于所有的 i≤4k,Si≥0,则由①、②、③、④知,



S4k+4=2Sk+1≥0, S4k+2=S4k≥0, S4k+2+S4k+4 S4k+3=S4k+2+a4k+3=S4k+2+a4k+4=S4k+2+(S4k+4-S4k+3),S4k+3= ≥0.
2 接下来证明:S4k+1≥0. 若 k 是奇数,则 S4k=2Sk≥2. 因为 k 是奇数,所以由题设知数列的各项均为奇数,可知 Sk 也是一个奇数. 于是

S4k≥2. 因此,S4k+1=S4k+a4k+1≥1.
若 k 是偶数,则 a4k+1=a2k+1=ak+1. 所以 S4k+1=S4k+a4k+1=2Sk+ak+1=Sk+Sk+1≥0. 综上,对于所有的 n≥1,Sn≥0 53. (1)解:已知数列 {an } , an ? 2

?

? an ?1 ? ? an ? ??

.

①充分性:若 ?

? ?2? ,则有 an ? 2 ?

?2? an ?1 ? ? an ??

? 2an ?1 ? an ,得

an ? 2 ? an ?1 ? an ?1 ? an ,所以 {an } 为等差数列
②必要性:若 {an } 为非常数等差数列,可令 an

? kn ? b (k≠0).

代入

an ? 2 ?

? an ?1 ? ? an ? ??
?

,得 k (n ? 2) ? b

?

? [k (n ? 1) ? b] ? ? (kn ? b) ? ??

.

化简得 2k

? ? ??

k ,即 ? ? 2? ? 0 .

因此,数列{an}为等差数列的充要条件是 α +2β =0 (2)由已知得 an ? 2 ? an ?1 ? 又因为 a2

?1 5

[ an ?1 ? an ]

? a1 ?

3 ?1 3 ?1 ? 0 ,可知数列 {an ?1 ? an } (n∈N*)为等比数列,所以 an ?1 ? an ? ( a2 ? a1 )( ) n ?1 ? ? ( ) n ?1 (n∈N*). 2 5 2 5
a n ?1 ? a n ? 3

从而有 n≥2 时,

2

?(

?1 5

)

n ?1

, an ? an ?1 ?
1

3

2

?(

?1 5

)

n?2

.

于是由上述两式,得

| an ?1 ? an ?1 |?

6
5

?(

5

)n?2 ( n ? 2 )

1 n?2 6 1 2?2 6 6 由指数函数的单调性可知,对于任意 n≥2,| an+1-an-1|= · ( ) ≤ ·( ) = . 5 5 5 5 5
6 所以,数列 {| an ?1 ? an ?1 |}(n ? N*, n ? 2) 中项均小于等于 . 5 27

1 1 6 1 6 而对于任意的 n≥1 时,n+ ≥1+ > ,所以数列{n+ }(n∈N*)中项均大于 . 2 2 5 2 5 1 因此,数列 {| an ?1 ? an ?1 |}(n ? N*, n ? 2) 与数列{n+ }(n∈N*)中没有相同数值的项. 2

54.证明:(1)如果 a ? ?2 ,则 a1 ?| a |? 2 , a ? M (2) 当 0 ? a ≤

1 1 时, an ≤ ( ?n ≥ 1 ). 4 2 1 . 2

事实上,〔1〕当 n ? 1 时, a1 ? a ≤

设 n ? k ? 1 时成立( k ≥ 2 为某整数), 则〔2〕对 n ? k , ak ≤ ak ?1
2

?1? 1 1 ? a ≤? ? ? ? . ?2? 4 2

2

由归纳假设,对任意 n∈N ,|an|≤ (3) 当 a ?

*

1 <2,所以 a∈M 2

1 时, a ? M .证明如下: 4

对于任意 n ≥ 1 , an ? a ?

1 2 ,且 an?1 ? an ? a . 4 1 2 1 1 1 ≥ a ? , 则 an?1 ? an ≥ a ? . 4 4 4

2 对于任意 n ≥ 1 , an?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? )2 ? a ?

所以, an?1 ? a ? an ?1 ? a1 ≥ n(a ? ) . 当n ?

1 4

2?a 1 时, an?1 ≥ n(a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 an ?1 ? 2 ,因此 a ? M 1 4 a? 4

55.解:(1)当 k

? 0 , b ? 3 , p ? ?4 时,
① ②

3(a1 ? an ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,
用 n ? 1 去代 n 得, 3(a1 ②-①得, 3(an?1

? an?1 ) ? 4 ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) ,

? an ) ? 2an?1 , an?1 ? 3an ,

在①中令 n

? 1 得, a1 ? 1 ,则 an ? 0,∴

an ?1 ? 3, an

∴数列 {an } 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,

3n ? 1 ∴ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an = ? 2
(2)当 k

? 1 , b ? 0 , p ? 0 时, n(a1 ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ) ,

③ ④

用 n ? 1 去代 n 得, (n ? 1)(a1

? an?1 ) ? 2(a1 ? a2 ? ? an ? an?1 ) ,

28

④-③得,

(n ? 1)an?1 ? nan ? a1 ? 0 ,

⑤ ⑥

用 n ? 1 去代 n 得, nan?2 ⑥-⑤得, nan?2

? (n ? 1)an?1 ? a1 ? 0 ,

? 2nan?1 ? nan ? 0 ,即 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,

∴数列 {an } 是等差数列?

∵ a3

? 3 , a9 ? 15 ,∴公差 d ?

a9 ? a3 ? 2 ,∴ an ? 2n ? 3 ? 9?3

(3)由(2)知数列 {an } 是等差数列,∵ a2 又

? a1 ? 2 ,∴ an ? a1 ? 2(n ? 1) ?

?an ? 是“封闭数列”,得:对任意 m, n ? N ? ,必存在 p ? N ? 使

a1 ? 2(n ? 1) ? a1 ? 2(m ? 1) ? a1 ? 2( p ? 1) ,
得 a1

? 2( p ? m ? n ? 1) ,故 a1 是偶数,
1 1 11 18 ? ? ,故 ? a1 ? 12 ? 12 S1 18 11
18 1 1 1 1 1 1 ? a1 ? 12 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? 0 ,对任意 n ? N * ,都有 ? ? ??? ? ? ? 11 S1 S2 S3 Sn S1 12

又由已知,

一方面,当

另一方面,当 a1

? 2 时, Sn ? n(n ? 1) ,

1 1 1 , ? ? Sn n n ? 1



1 1 1 1 1 , ? ? ??? ? 1? S1 S2 S3 Sn n ?1

取n

? 2 ,则

1 1 1 2 11 ? ? 1 ? ? ? ,不合题意? S1 S2 3 3 18 1 1 1 1 ? ( ? ) ,则 Sn 3 n n ? 3

当 a1

? 4 时, Sn ? n(n ? 3) ,

11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 , ? ? ??? ? ? ( ? ? )? S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18
当 a1

? 6 时, Sn ? n(n ? a1 ? 1) ? n(n ? 3) ,

1 1 1 1 ? ( ? ), Sn 3 n n ? 3

1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 ? ? ??? ? ? ( ? ? )? , S1 S2 S3 Sn 18 3 n ? 1 n ? 2 n ? 3 18


18 ? a1 ? 12 ,∴ a1 ? 4 或 a1 ? 6 或 a1 ? 8 或 a1 ? 10 ? 11
29

附加题: 56.解:(1)当 r ∵ a2k ∴数列

? 0 时,计算得数列的前 8 项为:1,1,2,2,4,4,8,8.从而猜出数列 ?a2k ?1? 、 ?a2k ? (k ? N ? ) 均为等比数列.

? a2k ?1 ? 2a2k ?2 , a2k ?1 ? 2a2k ? 2a2k ?1 ,

?a2k ?1? 、 ?a2k ? (k ? N ? ) 均为等比数列,∴ a2k ?1 ? a2k ? 2k ?1 .
? 2(a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2k ?1 ) ? 2(2k ? 1) ? 2k ?1 ? 2 ,

①∴ S2k

S2k ?1 ? S2k ?2 ? a2k ?1 ? 2k ? 2 ? 2k ?1 ? 3? 2k ?1 ? 2 ,
?1 ? n n ? 2k , ?2 2 ? 2, k ? N ?. ∴ Sn ? ? n ?1 ?3 ? 2 2 ? 2, n ? 2k ? 1, ?

②证明(反证法):假设存在三项 Sm , Sn , S p (m, n, p ? N 即 2Sn

?

, m ? n ? p) 是等差数列,

? Sm ? S p 成立.
p 均为偶数,设 m ? 2m1 , n ? 2n1 , p ? 2 p1 ,( m1 , n1 , p1 ? N ? ),
n1

因 m, n,

∴ 2 ? 2(2 ∴2
n1 ? m1 ?1

?1) ? 2(2m1 ?1) ? 2(2 p1 ?1), 即 2 ? 2n1 ? 2m1 ? 2 p1 ,

? 1 ? 2 p1 ?m1 ,而此等式左边为偶数,右边为奇数,这就矛盾

(2)∵ a2k ∴

? a2k ?1 ? r ? 2a2k ?2 ? r ,∴ a2k ? r ? 2(a2k ?2 ? r ) ,

?a2k ? r? 是首项为 1 ? 2r ,公比为 2 的等比数列,
? r ? (1 ? 2r ) ? 2k ?1 .
? 2a2k ? 2(a2k ?1 ? r ) , ? 2(a2k ?1 ? 2r ) ,

∴ a2k

又∵ a2k ?1

∴ a2k ?1 ? 2r ∴

?a2k ?1 ? 2r? 是首项为 1 ? 2r ,公比为 2 的等比数列,
? (1 ? 2r ) ? 2k ?1
.

∴ a2k ?1 ? 2r



2k 2k ? ? k ?1 k ?1 a2 k ?1a2 k ? ? ? ? (1 ? 2 r ) ? 2 ? 2 r ? (1 ? 2 r ) ? 2 ? r ? ? ? ?

2k ?1 ? k ?2 k ?1 ? ? ? ? (1 ? 2 r ) ? 2 ? r ? (1 ? 2 r ) ? 2 ? r ? ? ? ?

? 2 ? 1 1 , ?? ? k ?2 k ?1 1 ? 2r ? (1 ? 2r ) ? 2 ? r (1 ? 2r ) ? 2 ? r ? ?


? 2k 2 n ? 1 1 ? ? ? ? ? ? k ?2 k ?1 1 ? 2r k ?1 ? (1 ? 2r ) ? 2 ? r (1 ? 2r ) ? 2 ? r ? k ?1 a2 k ?1a2 k ?
n

30

? 2 2 4 2 ? 1 1 ? ? . ? ? ? ? ?1 n ?1 1 ? 2r ? (1 ? 2r ) ? 2 ? r (1 ? 2r ) ? 2 ? r ? 1 ? 2r 1 ? 2r ? 2r 1 ? 2r
∵r

? 0 ,∴

n 4 2k ? 4 .∴ ? ?4 1 ? 2r k ?1 a2 k ?1a2 k

57.解:(1)由已知可得: a1 所以

? 1, a2 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 4d
由此解得 d

?1 ? d ?

2

? 1? ?1 ? 4d ? , d ? 0

?2

因此 a n

? 2n ? 1

因为 b2

? a 2 ? 3, b3 ? a5 ? 9
bn ? 3 n ?1

所以数列

?bn ?以 1 为首项,3 为公比的等比数列

由此解得

(2) 当 n

? 1时

c1 ? a2 b1

所以

c1 ? 3
c n ? 2 ? 3 n ?1

当n

? 2, n ? N * 时

cn ? a n ?1 ? a n ? 2 bn

所以

所以

?3, n ? 1 cn ? ? n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2, n ? N *
6 1 ? 3 2012 ? 3? ? 3 2013 1? 3

c1 ? c 2 ? ? ? c 2013

?

?

31


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