上海市杨浦区2013届高三上学期学业质量调研数学文试题

上海市杨浦区 2013 届高三上学期学业质量调研数学文试题
2013.1.

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若函数 f ?x? ? 3 x 的反函数为 f 2.若复数 z ?
?1

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?
. .



1? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? i

3.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离为

4. 若线性方程组的增广矩阵为 ? ?1 1 2 ? ,则该线性方程组的解是 ? ? ? 5.若直线 l : y ? 2 x ? 1 ? 0 ,则该直线 l 的倾斜角是 6. 若 ( x ? a) 7 的二项展开式中, x 的系数为 7 ,则实数 a ?
5 0

?1 2 3 ?



. .

7. 若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为

cm2 .
8. 设数列 {an } ( n ? N* )是等差数列.若 a2 和 a2012 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则数列
2

{an } 的前 2013 项的和 S 2013 ? ______________.
9. 若直线 l 过点 ?1 , ? 1? ,且与圆 x ? y ? 1相切,则直线 l 的方程为
2 2



10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次,朝上的点数依次为 b 和 c , 则 b ? 2 且 c ? 3 的概率是____ ___ .

11.若函数 f ( x) ? loga (3 x ? 2) ? 1 ( a ? 0 , a ? 1 )的图像过定点 P ,点 Q 在曲线

x 2 ? y ? 2 ? 0 上运动,则线段 PQ 中点 M 轨迹方程是
12.如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 AE ? 4 米, CD ? 6 米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上. 则矩形 BNPM 面积的最大值为____ 平方米 .



A M

E P

F D

B

N

C

1

13.设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c ,且 a cos B ? b cos A ? 则 tan A cot B 的值是___________. 14.已知函数 f ?x ? ? ?

3 c , 5

?log2 ?x ? 1? , x ? 0 , 若函数 g ?x ? ? f ?x ? ? m 有 3 个零点, 2 ?? x ? 2x , x ? 0 .

则实数 m 的取值范围是___________. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 3 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 在区间 ?3,??? 内单调递增”的………( )

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(B ) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件.
3 ,且 lim S n ? a , n?? 2
………( )

16.若无穷等比数列 ? a n ?的前 n 项和为 S n ,首项为 1 ,公比为 a ? ( n ? N* ),则复数 z ?

1 在复平面上对应的点位于 a?i

( A) 第一象限.

(B ) 第二象限.

(C ) 第三象限.

(D) 第四象限.

17.若 F1 、 F2 为双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上, 4 ∠ F1 PF2 = 60 ? ,则 P 到 x 轴的距离为 ………(



( A)

5 . 5

(B )

15 . 5

(C )

2 15 . 5

(D)

15 . 20

18. 已知数 列 ?an ? 是各项均为正 数且公比不 等于 1 的等比 数列( n ? N* ) . 对于函数

y ? f ( x) ,若数列 ?ln f (an )? 为等差数列,则称函数 f ( x) 为“保比差数列函数”. 现有
定义在 (0, ??) 上的如下函数:① f ( x) ? ④ f ( x) ?

1 , x

② f ( x) ? x2 ,

③ f ( x) ? e x , ………( )

x ,则为“保比差数列函数”的所有序号为
(B )
③④.

( A)

①②.

(C )

①②④.

(D) ②③④ .

2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 .

? 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ? 平面 ABC ,AC ? AB ,AP ? BC ? 4 , ABC ? 30? , PA P D 、E 分别是 BC 、 的中点, AP
(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. E

A

B

C

D

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 . (文) 已知函数 f ( x ) ? cos( x ? ) , (1)若 f (? ) ?

π 4

7 2 ,求 sin 2? 的值; 10 ? ? ?? ? π π? ? ,求 g ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?

(2)设 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .
3

已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别是 F1 ?? 1, 0? 、 F2 ?1, 0? ,且焦距是椭 a 2 b2

圆 C 上一点 P 到两焦点 F1 、F2 距离的等差中项. (1)求椭圆 C 的方程;

N (2)设经过点 F2 的直线交椭圆 C 于 M 、 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点

Q(0 , y0 ) ,求 y0 的取值范围.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.

已知函数 f ( x) ?

x ?2

1 x 1

( x ? 0) 的值域为集合 A ,

(1)若全集 U ? R ,求 CU A ; (2)对任意 x ? ? 0 ,

? ?

1? ,不等式 f ?x ? ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的范围; 2? ?

(3)设 P 是函数 f ?x ? 的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,垂足 分别为 A 、 B ,求 PA ? PB 的值.

4

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设数列 ? xn ? 满足 xn ? 0 且 xn ? 1 ( n ? N* ),前 n 项和为 S n .已知点 P ( x1 , S1 ) , 1

k P2 ( x2 , S 2 ) , ? ? ? , Pn ?xn , S n ? 都在直线 y ? kx ? b 上(其中常数 b、 且 k ? 0 , k ? 1 ,
b ? 0 ),又 y n ? log 1 xn .
2

(1)求证:数列 ? xn ? 是等比数列; (2)若 y n ? 18? 3n ,求实数 k , b 的值; (3)如果存在 t 、 s ?N* , s ? t 使得点 ?t , y s ? 和点 ?s , yt ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上.问 n? 是否存在正整数 M ,当 n ? M 时, xn ? 1 恒成立?若存在,求出 M 的最小值,若不 存在,请说明理由.

杨浦区 2012 学年度第一学期高三年级学业质量调研 2013.1.5

一.填空题:

5

?x ? 1 3 ? ? y ? 1 (向量表示也可) 3 ;7. 50? 1. 0;2. 2 ;3.2;4. ? ;5. arctan 2 ;6.
2 x ? 1 或 y ? 1 ; 10. 9 ;11. y ? 2x 2 ? 2x 8. 2013;9.
12. 48;13. ? 1 ;14. (0 , 1) 二、选择题: 15. ( A) ;16. (D) ;17. (B ) ;18. (C ) . 三、解答题 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . (1)由已知得, AC ? 2 , AB ? 2 3 , ………2 分

1 8 3 VP ?? ABC ? S ?ABC PA ? 3 3 所以 ,体积
(2)取 AC 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AB // DF , 所以 ?EDF 就是异面直线 AB 与 ED 所成的角 ? . 由已知, AC ? EA ? AD ? 2 , AB ? 2 3 , PC ? 2 5 ,

………5 分

………7 分

? AB ? EF , ? DF ? EF .
在 Rt?EFD 中, DF ? 3 , EF ? 5 ,

………10 分

tan? ?
所以,

15 3 .

………12 分

(其他解法,可参照给分) 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 .

π 7 2 f (? ) ? cos(? ? ) ? 4 10 , 解: (1)因为
7 2 7 2 cos ? ? sin ? ? (cos ? ? sin ? ) ? 5. 2 10 , 所以



………3 分

49 平方得, sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? = 25 ,
2 2

………5 分

sin 2? ?
所以

24 25 .

………7 分
6

π? ? g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ? ? cos( x ? π ) ? cos( x ? π ) 2?= ? 4 4 (2)因为 2 2 (cos x ? sin x) ? (cos x ? sin x) 2 = 2
1 (cos 2 x ? sin 2 x) =2 1 cos 2 x =2 .

………9 分

………11 分

? π π? ? π 2π ? x ? ?? , ? 2 x ? ?? , ? ? 6 3 ? 时, ? 3 3 ?. 当
1 所以,当 x ? 0 时, g ( x) 的最大值为 2 ; x?


………12 分

………13 分

π 1 ? 3 时, g ( x) 的最小值为 4 .

………14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . (1)解:设椭圆 C 的半焦距是 c .依题意,得 c ? 1 . 由题意得 ………1 分

4c ? 2a , a ? 2
………4 分

b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 .

x2 y 2 ? ?1 3 故椭圆 C 的方程为 4 .

………6 分 ………7 分

y ?0. (2)解:当 MN ? x 轴时,显然 0
当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) .



? y ? k ( x ? 1), ? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12,

消去

y 整理得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4(k 2 ? 3) ? 0 .
………9 分



M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的中点为 Q( x3 , y3 ) ,
x1 ? x2 ? 8k 2 3 ? 4k 2 .



………10 分

7

所以

x3 ?

?3k x1 ? x2 4k 2 y3 ? k ( x3 ? 1) ? ? 2 3 ? 4k 2 . 2 3 ? 4k ,

线段 MN 的垂直平分线方程为

y?

3k 1 4k 2 ? ? (x ? ) k 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 .

y0 ?
在上述方程中令 x ? 0 ,得

k 1 ? 2 3 3 ? 4k ? 4k k .

………12 分

3 3 ? 4k ? ?4 3 ? 4k ? 4 3 当 k ? 0 时, k ;当 k ? 0 时, k .

3 3 ? y0 ? 0 0 ? y0 ? 12 . 所以 12 ,或 ?


………13

y 综上, 0 的取值范围是

[?

3 3 , ] 12 12 .

………14 分

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)由已知得,?

x ? 0 ,则

f ( x) ? x ?

2 ?2 2 x

………1 分

x?
当且仅当

2 x 时,即 x ? 2 等号成立,

? M ? 2 2, ??
所以,

?

?

………3 分

CU M ? ? ? , 2 2

?

?

………4 分

2? ? a ? ?? x ? ? x? ? (2)由题得 2? ? ? 1? 9 y ? ?? x ? ? x ? ? 0 , ? ? x ?在 ? ? 2 ? 的最大值为 2 函数
?a ? ?


………5 分

………9 分

9 2

………10

8

? ? 2? 2? P? x 0 , x 0 ? ? y ? ? x 0 ? ? ? ?? x ? x 0 ? ? ? ? x0 ? x0 ? ? ? (3)设 ? ,则直线 PA 的方程为 ,

y ? ? x ? 2 x0 ?


2 x0 ,

………11 分

?y ? x ? 2 ? y ? ? x ? 2 x0 ? ? x0 由?


A( x0 ?


1 1 , x0 ? ) x0 x0

………13

? 2 ? B? 0, x 0 ? ? ? x0 ? ?, 又 ?

………14 分

PA ? (
所以 分

1 1 1 ,? ) PA ? PB ? (? x0 ) ? ?1 x0 x0 x0 , PB ? (? x0 ,0) ,故

………16

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. (1)因为点

Pn , Pn?1 都在直线 y ? kx ? b 上,

S n?1 ? S n ?k (k ? 1) xn?1 ? kxn , xn?1 ? xn 所以 ,得
x1 ? 1 ?0 1? k .

………2 分

其中

………3 分

xn?1 k ? x k ? 1 为非零常数. 因为常数 k ? 0 ,且 k ? 1 ,所以 n
所以数列

?xn ? 是等比数列.
2

………4 分
yn

y n ? log 1 xn
(2)由

?1? xn ? ? ? ?2? ,得

? 8 n ?6
, ………7 分

k 8 ?8 k? 7. 所以 k ? 1 ,得


………8 分 ………9 分

Pn 在直线上,得 S n ? kxn ? b ,
b ? S1 ? 8 1 8 ?5 x1 ? ? x1 ? ? 7 7 7 .

令 n ? 1得

………10 分
9

y n ? log 1 xn
(3)由
2
*



xn ? 1 恒成立等价于 y n ? 0 .

n? 因为存在 t 、 s ?N , s ? t 使得点
由 分 易证

?t , y s ? 和点 ?s , yt ? 都在直线 y ? 2 x ? 1 上.
………12

y s ? 2t ? 1与 yt ? 2s ? 1 做差得: y s ? yt ? 2(t ? s) .

?yn ?是等差数列,设其公差为 d ,则有 ys ? yt

? (s ? t )d ,因为 s ? t ,

y ? yt ? 2(t ? s) ? 2 , 所以 d ? ?2 ? 0 ,又由 s


ys ? yt ? y1 ? (s ? 1)(?2) ? y1 ? (t ? 1)(?2) ? 2 y1 ? 2(s ? t ) ? 4

得 2 y1 ? 2(s ? t ) ? 4 ? 2(t ? s) ? 2 得 y1 ? 2( s ? t ) ? 1 ? 0 即:数列是首项为正,公差为负的等差数列,所以一定存在一个最小自然数 M , ………16 分

? yM ? 0 ? y ?0 使, ? M ?1 ,

?2( s ? t ) ? 1 ? ( M ? 1)(?2) ? 0 1 1 ? s?t ? ? M ? s?t ? 2( s ? t ) ? 1 ? M (?2) ? 0 2 2 即? 解得

? 因为 M ? N ,所以 M ? s ? t ,

即存在自然数 M ,其最小值为 s ? t ,使得当 n ? M (其它解法可参考给分)

时,

xn ? 1 恒成立. ………18 分

10


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