2011届数学高考复习名师精品教案:第27课时:第四章 三角函数-任意角的三角函数

课时: 三角函数—— ——任意角的三角函数 第 27 课时:第四章 三角函数——任意角的三角函数

一.课题:任意角的三角函数 二.教学目标:1.掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角,终边相同的角 的表示, 2.掌握弧度制、弧度与角度的转化关系,扇形面积及弧长公式. 三.教学重点:与 α 角终边相同的角的公式、弧长公式、扇形面积公式的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.角的概念的推广;象限角、轴线角;与 α 角终边相同的角为 2kπ + α (k ∈ Z ) ; 2.角的度量;角度制、弧度制及其换算关系;弧长公式 l =| α | r 、扇形面积公式
1 S = lr ; 2 3.任意角的三角函数. (二)主要方法: 1.本节内容大多以选择、填空题形式出现,要重视一些特殊的解题方法,如数 形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用 一些基本结论.

(三)例题分析: 例 1.若 α , β ∈ (0, ) ,且 sin α ? cos β < 0 , 2
( A) α < β ( B) α > β (C ) α + β <

π





C



π
2

( D) α + β >

π
2

例 2.(1)如果 α 是第一象限的角,那么 (2)如果 α 是第二象限的角,判断 解:(1)∵ 2kπ < α < 2kπ + ∴

α
3

是第几象限的角?

sin(cos α ) 的符号. cos(sin α )

π
2

,k ∈Z ,

2k π α 2 kπ π < < + ,k ∈Z , 3 3 3 6

当 k = 3n(n ∈ Z ) 时, 2nπ <

α

2π α 5π α < < 2nπ + , n ∈ Z , 是第二象限的角, 3 3 6 3 4π α 3π α 当 k = 3n + 2(n ∈ Z ) 时, 2nπ + < < 2nπ + , n ∈ Z , 是第三象限的角. 3 3 2 3 当 k = 3n + 1(n ∈ Z ) 时, 2nπ +

3

< 2nπ +

π
6

,n∈Z ,

α
3

是第一象限的角,



是第一,二,三象限的角. 3 (2) α 是第二象限的角, ?1 < cos α < 0 , 0 < sin α < 1 ,
sin(cos α ) < 0 , cos(sin α ) > 0 ,∴

α

sin(cos α ) < 0. cos(sin α )

例 3.(《高考 A 计划》考点 24“智能训练第 6 题”) 已知锐角 α 终边上的一 点 P 坐标是 (2sin 2, ?2 cos 2) ,则 α = ( A) 2
( B ) ?2 (C ) 2 ?


( D)

C



π
2

π
2

?2

例 4. 扇形 AOB 的中心角为 2θ , 半径为 r , 在扇形 AOB 中作内切圆 O1 及与圆 O1 外切,与 OA, OB 相切的圆 O2 ,问 sin θ 为何值时,圆 O2 的面积最大?最大值是多 少? 解:设圆 O1 及与圆 O2 的半径分别为 r1 , r2 , r sin θ ? r1 = ?(r ? r1 ) sin θ = r1 ? ? ? 1 + sin θ 则? ,得 ? , π r1 (1 ? sin θ ) (r1 + r2 ) cos( ? θ ) = r1 ? r2 ? ?r = ? 2 ?2 1 + sin θ ? ∴ r2 = r1 (1 ? sin θ ) r sin θ (1 ? sin θ ) = , 1 + sin θ (1 + sin θ )2

∵ 0 < 2θ < 2π ,∴ 0 < θ < π ,令 t = sin θ + 1(1 < t < 2) ,
?t 2 + 3t ? 2 1 3 1 1 3 1 = ?2( ? ) 2 + ,当 = ,即 sin θ = 时, r2 = 2 t t 4 8 t 4 3

圆 O2 的半径最大,圆 O2 的面积最大,最大面积为

π
64



(四)巩固练习: 1.设 0 ≤ θ < 2π ,如果 sin θ < 0 且 cos 2θ < 0 ,则 θ 的取值范围是( D ) 3π 3π π 3π 5π 7π ( A) π < θ < ( B) < θ < 2π (C ) < θ < ( D) <θ < 2 2 4 4 4 4 2.已知 α 的终边经过点 (3a ? 9, a + 2) ,且 sin α > 0, cos α ≤ 0 ,则 a 的取值范围
9 是 (?2, ] . 3

3.若 sin α > tan α > cot α (?

π
2

<α <

π
2

) ,则 α ∈



B



( A) (?

π

,? ) 2 4

π

( B) (?

π
4

, 0)

(C ) (0, ) 4

π

( D) ( , ) 4 2

π π


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