《新学案》2015年春高中数学苏教版必修一名师导学:第一章 集合(含解析)




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第 1 课时
教学过程
一、 问题情境
(1) 小于 10 的所有偶数; (2) 中国的直辖市; (3) 单词 book 中的字母; (4) 到一个角的两边距离相等的所有的点; (5) 方程 x -5x+6=0 的所有实数根; (6) 不等式 x-3>0 的所有解; (7) 某高中全体高一学生.

集合的含义及其表示(1)

二、 数学建构
问题 1 以上实例有什么共同特征? (引导学生说出:一定范围内,确定的,不同对象.然后通过学生回答,总结出集合的含义) 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合 A、 集合 B.集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.集合的元素常用小写的拉丁字母来表示,如元素 a、 元素 b. 问题 2 回答下列问题: (1) 已知 A={1, 3},问:3, 5 哪个是 A 的元素? (2) “所有素质好的人”能否构成一个集合 A? (3) A={2, 2, 4}表示是否准确? (4) A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一个集合? 由上述问题可以归纳出集合中元素的特征:

① 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则“x 是 A 的元素”或者“x 不是 A 的元素”这两种
情况必有一种且只有一种成立.

② 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不能重复
出现同一元素.

③ 无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照由小到大的数轴顺序
书写. 问题 3 解 元素与集合之间有怎样的关系? 如果 a 是集合 A 中的元素,就记作 a∈ A,读作“a 属于 A”;如果 a 不是集合 A 中的元素,就记作 a? A 或 常用的数集有哪些?它们分别用什么数学符号表示?
*

a? A,读作“a 不属于 A”.
问题 4 解 问题 5 自然数集(非负整数集):N,正整数集:N 或 N+,整数集:Z,有理数集:Q,实数集:R. 集合的表示方法有哪些?

(1) 列举法:将集合的元素一一列举出来,并置于“{ }”中,元素之间用逗号分隔.列举时与元素次序无关, 如{北京,上海,天津,重庆}.

集合的相等关系:如果两个集合所含的元素完全相同,那么称这两个集合相等,如{北京,上海,天津,重 庆}={天津,重庆,北京,上海}. 思考 “问题情境”中的集合都能用列举法表示吗?如果能,请表示出来. (2) 描述法:将集合中所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.{x|p(x)}中 x 为 集合的代表元素,p(x)指元素 x 具有的性质,如{x|x 为中国的直辖市},{x|x-3>0, x∈ R}. (3) Venn 图:有时用 Venn 图示意集合(如图 1),更显直观.

(图 1)

问题 6

按照元素的个数,集合该怎样分类?

(1) 有限集:含有有限个元素的集合称为有限集. (2) 无限集:含有无限个元素的集合称为无限集. (3) 空集:不含任何元素的集合称为空集,记作? ,如{x|x +x+1=0, x∈ R}=? .
2

三、 数学运用
【例 1】 下列各组对象能否构成集合: (1) 所有的好人; (2) 小于 2012 的数; (3) 和 2012 非常接近的数; (4) 小于 5 的自然数; (5) 不等式 2x+1>7 的整数解; (6) 方程 x +1=0 的实数解.
2

(见学生用书课堂本 P1~2)

[处理建议] 引导学生根据定义判断. [规范板书] 解 【例 2】 (1)(3)不符合集合中元素的确定性,因此,只有(2)(4)(5)(6)能够构成集合. [题后反思] 解决这类题目要抓住集合中元素的两个特征:确定性,互异性. 用符号“∈ ”或“? ”填空: Q, -5 {x|x<10}, 0 N. (见学生用书课堂本 P2)

-错误!未找到引用源。
[规范板书] 解 【例 3】

[处理建议] 关键要纠正学生符号的书写规范.

-错误!未找到引用源。? Q, -5∈ {x|x<10}, 0∈ N.
2

[题后反思] 规范书写“属于”、“不属于”的符号表示,要准确记住常用数集的记法. 如果 x ∈ {0, 1, x},求实数 x 的值.
2 2

(见学生用书课堂本 P2)

[处理建议] 由 x ∈ {0, 1, x}知,元素 x 必等于集合中的某一元素,从而引导学生进行分类讨论. [规范板书] 解 合题意.

① 当 x2=0 时,则 x=0,此时与集合中元素的互异性矛盾,不合题意,舍去.

② 当 x2=1 时,则 x=1 或-1.经检验,x=1 时与集合中元素的互异性矛盾,不合题意,舍去;x=-1 时,经检验,符 ③ 当 x2=x 时,则 x=0 或 1.由① ② 可知,均不合题意,舍去.
综上所述,x=-1. [题后反思] 解决此类题目需要:(1)思路的确定;(2)解题的规范性;(3)含参数要讨论;(4)结论要检验(元素 的互异性、已知条件都要满足). 变式 1 变式 2 如果 y=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。,则 y 可能的取 已知 a, b, c 为△ ABC 的三边,若 M={a, b, c},则此三角形一定不是等腰三角形. 值组成的集合为{3, -1}.

四、 课堂练习 1. (口答)说出下列集合中的元素:
(1) {大于 1 且小于 11 的奇数}; (2) {平方等于 1 的数}; (3) {15 的正约数}. 解 (1) 3, 5, 7, 9; (2) -1, 1; (3) 1, 3, 5, 15.

2. 给定下列叙述:① 难解的题目;② 方程 x +2=0 的实数解;③ 平面直角坐标系中第四象限内的一些点;④ 很多多
2

项式.其中能组成集合的是② .(填序号) 提示 解决这类题目要从集合中元素的特征“确定性、互异性”出发.显然,① ③ ④ 不符合集合中元素的确定性 这一特征. 3. 用符号“∈ ”或“? ”填空: (1) 1∈ N , 0? N , -2? N , 0.1? N, 错误!未找到引用源。? N,
* * *

1∈ Z, 0∈ Z, -2∈ Z, 0.1? Z, 错误!未找到引用源。? Z, 1∈ Q, 0∈ Q, -2∈ Q, 0.1∈ Q, 错误!未找到引用源。? Q, 1∈ R, 0∈ R, -2∈ R, 0.1∈ R, 错误!未找到引用源。∈ R; (2) 若 A={y|y -2y=0},则 2∈ A, -2? A;
2

(3) 若 B={x|-1≤x<4, x∈ N},则-1? B, 1.5? B, 4? B. 4. 若 x∈ R,则{3, x, x -2x}中的元素 x 应满足什么条件?
2

解 根据集合中元素的互异性可知,该集合中的元素 x 应满足错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用 源。

五、 课堂小结 1. 集合的含义,集合中元素的特征. 2. 元素与集合的两种关系. 3. 集合的三种表示方法:列举法、描述法、Venn 图. 4. 有限集、无限集、空集;常用数集.

第 2 课时
教学过程
一、 数学运用
【例 1】

集合的含义及其表示(2)

(1) 用描述法表示集合{1, 3, 5, 7, 9};

(2) 用列举法表示集合{x|1≤x<8, x∈ N}; (3) (根据教材 P6 例 1 改编)用描述法表示不等式 2x-3>5 的解集; (4) 用列举法表示方程组错误!未找到引用源。的解的集合. [处理建议] 关键要规范学生用描述法和列举法表示集合. [规范板书] 解 (1) {x|x=2n+1, 0≤n≤4 且 n∈ N}; (2) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}; (3) {x|x>4, x∈ R}; (4) {(2, (见学生用书课堂本 P3)

-1)}.
[题后反思] (1)列举法:把集合中的元素一一列举出来.(2)描述法:把集合中的所有元素具有的性质表示 成{x|p(x)}的形式. 【例 2】 已知 M={2, a, b}, N={2a, 2, b },且 M=N,求实数 a, b 的值.
2

(见学生用书课堂本 P4)

[处理建议] 引导学生从集合相等及集合中元素的互异性两方面考虑. [规范板书] 解 由 M=N 得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。 或错误!未找到引用源。 [题后反思] 两个集合所含的元素完全相同,则这两个集合才相等,此时的情况要考虑全面,不要漏解.此 外,还要注意集合中元素的互异性. 变式 若某含有三个元素的集合可表示为错误!未找到引用源。,也可表示为{a , a+b, 0},求 a 和 b 的值.
2

[规范板书] 解 【例 3】

易知 a≠0,又 a≠1,故 a≠a ,从而 a=a+b,于是 b=0.从而由 a =1 且 a≠1 得 a=-1.
2 2

已知 M=错误!未找到引用源。,求集合 M.

(见学生用书课堂本 P4)

[处理建议] 抓住代表元素的限制条件进行分析. [规范板书] 解 变式

∵ x∈ N, 错误!未找到引用源。∈ Z, ∴ 1+x=1 或 1+x=2 或 1+x=3 或 1+x=6, ∴ x=0, 1,

2, 5. ∴ M={0, 1, 2, 5}. 已知 M=错误!未找到引用源。,求集合 M.

[规范板书] 解

∵ x∈ N, 错误!未找到引用源。∈ Z, ∴ 1+x=1 或 1+x=2 或 1+x=3 或 1+x=6, ∴ 错误!

未找到引用源。=6, 3, 2, 1. ∴ M={6, 3, 2, 1}. [题后反思] 审题时要注意与例 3 的不同,主要抓住代表元素的区别.

二、 课堂练习
1. 请你就有限集、无限集、空集各举一个例子. 解 略. 2. 用列举法表示下列集合: (1) {x|x 是 14 的正约数}; (2) {(x, y)|x∈ {1, 2}, y∈ {1, 2}}; (3) {(x, y)|x+y=2, x-2y=4}; (4) {x|x=(-1) , n∈ N};
n

(5) {(x, y)|3x+2y=16, x∈ N, y∈ N}. 解 (1) {1, 2, 7, 14}; (2) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}; (3) 错误!未找到引用源。; (4) {-1, 1}; (5) {(0, 8), (2, 5), (4, 2)}. 3. 用描述法表示下列集合: (1) 偶数的集合; (2) 正奇数的集合; (3) 不等式-x ≥0 的解集;
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(4) 平面直角坐标系中第四象限的点组成的集合; (5) 错误!未找到引用源。. 解 (1) {x|x=2n, n∈ Z}或{x|x 为偶数}; (2) {x|x=2n+1, n∈ N}或{x|x 为正奇数}; (3) {x|-x ≥0};
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(4) {(x, y)|x>0, y<0}; (5) 错误!未找到引用源。.

三、 课堂小结
1. 集合的有关概念. 2. 集合的表示方法. 3. 常用数集的记法.

第 3 课时
教学过程
一、 问题情境

子集、全集、补集

观察下列各组集合,说说集合 A 与集合 B 的关系(共性). (1) A={-1, 1}, B={-1, 0, 1, 2}; (2) A=N, B=R; (3) A={x|x 为北京人},B={x|x 为中国人}.

二、 数学建构
(一) 生成概念 问题 1 问题 2 集合 A 中的元素与集合 B 中的元素有什么关系? 集合 A 与集合 B 有什么关系? (引导学生说出:集合 A 中的元素都在集合 B 中) (得出集合 A 与 B 的关系,引导学生概括子集、真子集的定义) 子集:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素(若 a∈ A,则 a∈ B),那么 集合 A 称为集合 B 的子集,

(图 1)

记作 A?B 或 B?A,读作“集合 A 包含于集合 B”或“集合 B 包含集合 A”.(参见图 1) 真子集:对于两个集合 A 与 B,如果 A?B,并且 A≠B,那么集合 A 称为集合 B 的真子集,记作 A? B 或 B? A,读作 “A 真包含于 B”或“B 真包含 A”.如{a}? {a, b}. (二) 理解概念 (1) 子集概念理解:关键词是“任意”、“都是”. (2) 真子集概念理解:若 A?B,且存在 b∈ B,但 b? A,则称集合 A 是集合 B 的真子集. (3) 注意子集与真子集符号及符号方向的异同点. (4) 空集是任何集合的子集,即? ? A. (5) 空集是任何非空集合的真子集,即? ? A(其中 A≠? ). (6) 任何一个集合是它本身的子集,即 A?A. (7) 易混符号:

① “∈ ”与“? ”:∈ 表示元素与集合之间的属于关系,?表示集合与集合之间的包含关系.
如:1∈ N, -1? N, N?R, ? ? R, {1}?{1, 2, 3}.

② {0}与? :{0}是含有一个元素 0 的集合,? 是不含任何元素的集合.
如:? ? {0}不能写成? ={0},也不能写成? ∈ {0}.

三、 数学运用
【例 1】 (根据教材 P8 例 1 改编)写出集合{a, b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.(见学生用书课堂本 P5) 集合{a, b}的所有子集是? ,{a},{b}, {a, b},其中真子集有? , {a}, {b}. [处理建议] 强调“所有”两字. [规范板书] 解 容易漏写. 变式 1 (教材 P9 练习第 1(3)题)写出集合{1, 2, 3}的所有子集. ? ,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3}. [规范板书] 解 要注意,容易漏写. 变式 2 少? [规范板书] 解 集有 2 -2 个.
n

[题后反思] 寻求子集、真子集的主要依据是定义,最好按照规律写才能防止重漏现象,但? 特别要注意,

[题后反思] 写所有子集时,最好按照规律(如集合中元素的个数递增等)写才能防止重漏现象,但? 特别 (1) 集合{a, b, c, d}的所有子集的个数是多少? (2) 集合{a1, a2, …, an}的所有子集的个数是多 (1) 2 =16; (2) 2 .
4

n

[题后反思] 推广:如果一个集合的元素有 n 个,那么这个集合的子集有 2 个,真子集有 2 -1 个,非空真子
n n

【例 2】

(教材 P8 例 2)下列各组的 3 个集合中,哪 2 个集合之间具有包含关系?

(1) S={-2, -1, 1, 2}, A={-1, 1}, B={-2, 2}; (2) S=R, A={x|x≤0, x∈ R}, B={x|x>0, x∈ R}; (3) S={x|x 为地球人},A={x|x 为中国人},B={x|x 为外国人}.(见学生用书课堂本 P5) [处理建议] 利用数形结合思想,通过 Venn 图或数轴辅助,帮助学生观察得出结论. [规范板书] 解 问题 3 问题 4 念) 补集:设 A?S,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集, 在(1)(2)(3)中都有 A? S, B? S. 观察上述 A, B, S 三个集合,它们之间还存在着怎样的关系? 请同学们举出类似的例子.

(A 和 B 中的所有元素共同构成了集合 S,且 S 中除去 A 中元素即为 B 中元素;反之亦然) (如 A={班上男同学},B={班上女同学},S={全班同学}.通过举例分析,让学生观察并概括出补集、全集的概

(图 2)

记作? SA(读作“A 在 S 中的补集”),即? SA={x|x∈ S,且 x? A}.(参见图 2) 全集:如果集合 S 包含我们所要研究的各个集合的全部元素,这时集合 S 就可以看做一个全集,全集通常 记作 U. 变式 (1) 若 S={2, 3, 4}, A={4, 3},则? SA= ; ; ; (6) ; ; (2) 若 S={三角形},B={锐角三角形},则? SB= (3) 若 S={1, 2, 4, 8},A=? ,则? SA=
2

(4) 若 U={1, 3, a +2a+1},A={1, 3},? UA={4},则 a= (5) 已知 A={0, 2, 4},? UA={-1, 1},? UB={-1, 0, 2},则 B=
2

(6) 设全集 U={2, 3, m +2m-3}, A={|m+1|, 2},? UA={5},求实数 m 的值. [规范板书] 解
2

(1) {2}; (2) {直角三角形或钝角三角形}; (3) {1, 2, 4, 8}; (4) -3; (5) {1, 4};

由题意得 m +2m-3=5 且|m+1|=3,解得 m=-4 或 m=2. [题后反思] 第(1)题主要是比较集合 A 与 S 的区别;第(2)题要注意三角形的分类;第(3)题要注意空集定 义的运用;第(4)题利用集合中元素的特征;第(5)题利用 Venn 图;第(6)题注意补集定义的运用. 【例 3】 (1) 若不等式组错误!未找到引用源。的解集为 A,试求 A 和? RA,并把它们分别在数轴上表示 出来; (2) 设全集 U=R, A={x|x>1}, B={x|x+a<0},若 B 是? UA 的真子集,求实数 a 的取值范围. (见学生用书课堂本 P6) [处理建议] 利用数轴表示不等式确定的数集的运算. [规范板书] 解 (1) A=错误!未找到引用源。, ? RA=错误!未找到引用源。,数轴表示略. (2) 由题意可得 B={x|x<-a}, ? UA={x|x≤1}.

∵ B 是? UA 的真子集(如图),∴ -a≤1,即 a≥-1.
(例 3(2))

[题后反思] 利用数轴或 Venn 图辅助解题,能很好地解决集合之间的运算. 变式 设全集 U=R,若 A={x|3m-1<x<2m}, B={x|-1<x<3}, B? ? UA,求实数 m 的取值范围. [处理建议] 利用数轴引导学生进行分类讨论. [规范板书] 解

① 若 A=? ,则 3m-1≥2m,即 m≥1.此时? UA=R,满足题意.

② 若 A≠? ,则 m<1,此时? UA={x|x≥2m 或 x≤3m-1}. (i) 当-1≥2m 时,即 m≤-错误!未找到引用源。,满足 m<1;
(ii) 当 3m-1≥3 时,即 m≥错误!未找到引用源。,与前提 m<1 矛盾,舍去. 综上所述,m 的取值范围是 m≥1 或 m≤-错误!未找到引用源。. [题后反思] 空集是任何集合的子集,注意空集的特殊性,不能漏考虑空集的情况.

四、 课堂练习 1. 用“?”或“?”表示下列集合之间的关系: (1) A={济南人},B={山东人}; * (2) A=N , B=R; (3) A={1, 2, 3, 4}, B={0, 1, 2, 3, 4, 5}; (4) A={本校田径队队员},B={本校长跑队队员}; (5) A={11 月份的公休日},B={11 月份的星期六或星期天}. 解 (1) A?B; (2) A?B; (3) A?B; (4) A?B; (5) A?B. 2. 已知集合 A={a, b, c},那么满足 P?A 的集合 P 的个数是多少? 解 8.

3. 设集合 A={x|x=3m, m∈ Z}, B={x|x=6k, k∈ Z},则集合 A, B 之间是什么关系? 解 A?B.

五、 课堂小结 1. 对于存在子集关系的两个集合,能够判断谁是谁的子集,以及进一步确定它们是否具有真子集关系. 2. 两个集合包含关系的确定主要根据其元素与集合的关系来说明. 3. 集合之间的关系常借助数轴或 Venn 图来描述.

第 4 课时
教学过程

交集、并集

一、 问题情境 A 在 S 中的补集? SA 是由给定的两个集合 A, S 得到的一个新集合.这种由两个给定集合得到一个新集合 的过程称为集合的运算.其实,由两个集合(或几个集合)得到一个新集合的方式有很多,集合的交与并就是常 见的两种集合运算.
用 Venn 图分别表示下列各组中的 3 个集合:

① A={-1, 1, 2, 3}, B={-2, -1, 1}, C={-1, 1}; ② A={x|x≤3}, B={x|x>0}, C={x|0<x≤3}; ③ A={x|x 为高一(1)班语文测验优秀者},B={x|x 为高一(1)班英语测验优秀者},C={x|x 为高一(1)班语文、
英语测验都优秀者}.

二、 数学建构
(一) 生成概念 问题 1 问题 2 问题 3 上述每组集合中,A, B, C 之间都具有怎样的关系? 对于① 而言,若 D={-2, -1, 1, 2, 3},则 A, B, D 之间具有怎样的关系? 如何用文字语言、符号语言、图形语言分别表示上述 3 个集合的关系? (结合 Venn 图,引导学生说出:集合 C 中的每一个元素既在集合 A 中,又在集合 B 中) (结合 Venn 图,引导学生说出:集合 D 中的每一个元素在集合 A 中或在集合 B 中) (学生归纳,教师引导,补充完整交集、并集的概念) 1. 交集:一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A∩B(读作“A 交

B”).
符号语言为:A∩B={x|x∈ A,且 x∈ B}. 图形语言为:

2. 并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A∪ B(读作“A 并

B”).
符号语言为:A∪ B={x|x∈ A,或 x∈ B}. 图形语言为:

3. 区间的表示法: 设 a, b 是两个实数,且 a<b,我们规定: [a, b]={x|a≤x≤b}; (a, b)={x|a<x<b};

[a, b)={x|a≤x<b}; (a, b]={x|a<x≤b}; (a, +∞)={x|x>a}; (-∞, b)={x|x<b}; (-∞, +∞)=R. 其中[a, b], (a, b)分别叫做闭区间、开区间;[a, b), (a, b]叫做半开半闭区间;a, b 叫做相应区间的端点. (二) 理解概念 1. 区间表示数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合,是集合的另一种符号语言. 2. 区间符号内的两个字母或数之间用“,”号隔开. 3. ∞读作“无穷大”,它是一个符号,不是一个数. 问题 4

A∩B=A 可能成立吗?A∪ B=A 可能成立吗?A∪ ? UA 是什么集合?

(一般性结论:A∩B=A ? A?B; A∪ B=B ? A?B; A∪ ? UA=U) (三) 巩固概念 口答 解 问题 5 (教材 P12 例 1)设 A={-1, 0, 1}, B={0, 1, 2, 3},求 A∩B 和 A∪ B.

A∩B={-1, 0, 1}∩{0, 1, 2, 3}={0, 1}; A∪ B={-1, 0, 1}∪ {0, 1, 2, 3}={-1, 0, 1, 2, 3}.
集合 A∩B 与集合 A∪ B 有什么关系?能得出一般结论吗?

(一般性结论:A∩B?A∪ B)

三、 数学运用
【例 1】 设 A={x|x≥-1}, B={x|x<0},求 A∩B 和 A∪ B.(见学生用书课堂本 P7) [处理建议] 利用数轴辅助解决. [规范板书] 解 变式

A∩B={x|x≥-1}∩{x|x<0}={x|-1≤x<0}=[-1, 0), A∪ B={x|x≥-1}∪ {x|x<0}=R.
2 2

[题后反思] 利用数轴是解决集合运算的常用方法. (1) 设集合 A={y|y=x -2x+3, x∈ R}, B={y|y=-x +2x+10, x∈ R},求 A∩B; (2) 设集合 A={(x, y)|y=x+1, x∈ R}, B=错误!未找到引用源。,求 A∩B. [处理建议] 注意第(1)题与第(2)题中代表元的区别,第(1)题中的代表元是单元素,第(2)题中的代表元是 点的坐标. [规范板书] 解 (1) ∵ A={y|y=x -2x+3, x∈ R}={y|y≥2}, B={y|y=-x +2x+10, x∈ R}={y|y≤11}, ∴
2 2

A∩B={y|2≤y≤11}.
(2) A∩B={(x, y)|y=x+1, x∈ R}∩ 错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
[题后反思] 第(2)题中集合 A 可看做直线 y=x+1 上点的坐标的集合,集合 B 可看做二次函数 y=-x +2x+
2

错误!未找到引用源。图象上点的坐标的集合,A∩B 可看做直线 y=x+1 与二次函数 y=-x +2x+错误!未找到
2

引用源。的图象的交点坐标的集合. 【例 2】 赛? 解较方便. [规范板书] 解 画出 Venn 图(如图),可知没有参加过比赛的同学有 45-(12+20-6)=19(名),即这个班共有 19 名同学没有参加过比赛. (教材 P12 例 2)学校举办了排球赛,某班 45 名同学中有 12 名同学参赛.后来又举办了田径赛, (见学生用书课堂本 P7) [处理建议] 方法可能有两种:一是用 Venn 图求解,二是列方程组求解.对比两种方法,可知用 Venn 图求 这个班有 20 名同学参赛.已知两项都参赛的有 6 名同学.两项比赛中,这个班共有多少名同学没有参加过比

(例 2)

[题后反思] 利用 Venn 图是解决集合运算的常用方法.

【例 3】

已知集合 A={x|x>6 或 x<-3},B={x|a<x<a+3},若 B?A,求实数 a 的取值范围. (见学生用书课堂本 P8) 由 B?A 可知,a+3≤-3 或 a≥6,所以 a≤-6 或 a≥6.

[处理建议] 由集合 B 的特点可知 B≠? . [规范板书] 解 [题后反思] 对于不等式之间的子集、真子集关系或交集、并集、补集的运算,要充分利用数轴进行分 析,并注意端点的取值. 变式 已知集合 A={x|x>6 或 x<-3},B={x|a<x<a+3},若 A∪ B=A,求实数 a 的取值范围. [处理建议] 此题的突破点在于找出 A∪ B=A 的等价条件. [规范板书] 解

∵ A∪ B=A, ∴ B?A, ∴ a+3≤-3 或 a≥6, ∴ a≤-6 或 a≥6.

[题后反思] 注意等价转化:A∪ B=A ? B?A; A∩B=B ? B?A.(目的是让学生学会利用集合的运算性质, 将复杂问题简单化,以及体会等价转化思想)

四、 课堂练习 1. 用适当的符号(?、 ?)填空: A∩B?A, B?A∩B, A∪ B? A, A∪ B?B, A∩B?A∪ B. 2. 设 A={3, 5, 6, 8},B={4, 5, 7, 8},求 A∩B, A∪ B. 解 A∩B={3, 5, 6, 8}∩{4, 5, 7, 8}={5, 8}, A∪ B={3, 5, 6, 8}∪ {4, 5, 7, 8}={3, 4, 5, 6, 7, 8}. 3. 设 A={x|x<5},B={x|x≥0},求 A∩B. 解 A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5}. 4. 设 A={x|x>-2},B={x|x≥3},求 A∪ B. 解 在数轴上将 A, B 分别表示出来,阴影部分即为 A∪ B,故 A∪ B={x|x>-2}.
(第 4 题)

五、 课堂小结 1. 集合的交集、并集的运算方法及性质的应用. 2. 区间的概念.

第 5 课时
教学过程
一、 知识梳理 1. 集合的含义、表示方法及分类

本章复习

(1) 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. (2) 集合常用的表示方法:列举法、描述法、Venn 图、区间. (3) 集合按元素的个数分为两类:有限集、无限集. 2. 集合表示方法之间的转化
列举法 ↑具体化 文字描述法 属性描述法 ↓直观化 图示法 符号表示法

说明:高中数学解题的关键也是“四化”. 3. 集合的基本运算 (1) 子集:A?B 定义为“对任意 x∈ A,都有 x∈ B”,图示表现为“A 在 B 中包含着”. 真子集:A? B 意味着 A?B 且 A≠B. (2) 集合运算比较:
运算 交 集 并 集 补 集 类型 定 由所有属于集合 A 由所有属于集合 A 或设 S 是一个集合,A 是 义 且属于集合 B 的元 属于集合 B 的元素组S 的一个子集,由 S 中

素组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A∩B(读作“A 交 B”), 即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}.

成的集合,叫做 A 与 B所有不属于 A 的元素 的并集,记作 A∪B(读 组成的集合,叫做 S 作“A 并 的子集 A 的补集(或 B”),A∪B={x|x∈A,或 余集),记作? SA(读作 x∈B}. “A 在 S 中的补集”), 即? SA={x|x∈S,且 x? A}

Venn 图

① ① ② 性 ③ ④ 质 ⑤ A∩A=A; A∩ ? =? ; A∩B=B∩A; A∩B? A; A∩B? B. ① ② ③ ④ ⑤ A∪A=A; A∪? =A; A∪B=B∪A; A∪B? A; A∪B? B.
(? UA)∩(? UB)=? U(A∪B );


(? UA)∪(? UB)=? U(A∩B ); ③ A∪(? UA)=U; ④ A∩(? UA)=? .

提醒:要特别关注集合问题中空集、元素的互异性及代表元素这三个概念,以防出错.

二、 数学运用
(一) 集合的有关概念 【例 1】 已知 P={y|y=x +1}, Q={x|y=x +1}, M={(x, y)|y=x +1}, N={x|x≥1},则相等的集合有哪些?(见学生用书课堂本 P9)
2 2 2

[处理建议] 注意区别代表元素是点集,还是数集. [规范板书] 解

∵ P=[1, +∞), Q=R, N=[1, +∞), ∴ P=N.
2 2

[题后反思] (1)注意区别集合中的代表元素,“代表元素”实质上是认识和区别集合的核心.代表元素不 同,有时即使是同一个表达式,它们所表示的集合也不同,例如:A={x|y=x }=R, B={y|y=x }=[0, +∞), C={(x,

y)|y=x }.(2)关键是抓住集合是数集,还是点集.数集是个范围,与用什么字母表示没有关系(例如,虽然
2

E={x|x≥-3}, F={y|y≥-3},但仍然有 E=F),所以用区间来写更容易理解.
变式 1 变式 2 对于“例 1”,P∩Q=? [规范板书] 解

∵ P=[1, +∞), Q=R, ∴ P∩Q=[1, +∞).
2 2

已知 M={x|x=a +1, a∈ R}, P={y|y=b -6b+10, b∈ R},问:集合 M 与集合 P 之间是什么关系?

[处理建议] 转化为区间来表示. [规范板书] 解 【例 2】

∵ M={x|x≥1}=[1, +∞), P={y|y=(b-1)2+1}={y|y≥1}=[1, +∞), ∴ M=P.
2

(二) 子集及集合运算 (1) 已知 A={1, 4, a}, B={1, a },且 B?A,求 A 和 B;
2 2

(2) 已知 x∈ R, A={-3, x , x+1}, B={x-3, 2x-1, x +1}.如果 A∩B={-3},求 A∪ B.(见学生用书课堂本 P10) [规范板书] 解
2

(1) 当 a =4 时,则 a=2 或-2,此时 A={1, 2, 4}或{1, -2, 4}, B={1, 4},经检验符合题意;
2

当 a =a 时,则 a=1 或 0.当 a=1 时,不合题意;当 a=0 时,A={0, 1, 4}, B={0, 1},符合题意. 综上所述,A={1, 2, 4}或{1, -2, 4}时,B={1, 4}; A={0, 1, 4}时,B={0, 1}. (2) 由 A∩B={-3},得 x-3=-3 或 2x-1=-3 或 x +1=-3,解得 x=0 或-1.
2

当 x=0 时,A={-3, 0, 1}, B={-3, -1, 1}, A∩B={-3, 1},不合题意; 当 x=-1 时,A={-3, 1, 0}, B={-4, -3, 2},A∩B={-3},符合题意. 综上所述,x=-1. [题后反思] (1)注意分类讨论;(2)注意检验是否满足集合中元素的互异性. 变式 已知集合 A={a+2, (a+1) , a +3a+3},若 1∈ A,求实数 a 的值.
2 2

[处理建议] 分情况讨论,同时需要注意集合 A 中元素的互异性. [规范板书] 解
2

① 当 a+2=1 时,a=-1,此时 a2+3a+3=1=a+2,故 a=-1 舍去.

② 当(a+1) =1 时,a=0 或 a=-2.当 a=-2 时,a2+3a+3=1=(a+1)2,故 a=-2 舍去;当 a=0 时,a+2=2, a2+3a+3=3,故 a=0 符合题意. ③ 当 a2+3a+3=1 时,a=-1 或 a=-2,由① ② 知它们应舍去.

综上所述,a=0. (三) 性质“A∩B=A? A?B”的应用 【例 3】 已知 A={x|ax-1=0}, B={x|x -5x+6=0}.若 A∩B=A,求实数 a 的值,并确定集合 A.(见学生用书课堂本 P10)
2

[处理建议] 关键要对 a 进行分析,分 a=0 和 a≠0 两种情况. [规范板书] 解

∵ A∩B=A, ∴ A?B.而 B={2, 3},

(1) 当 a=0 时,A=? ? B,符合题意; (2) 当 a≠0 时,则 ax-1=0 只有一个实根,而 A={x|ax-1=0}?{2, 3}, ∴ A={2}或{3}.当 A={2}时,求得 a=错误! 未找到引用源。,经检验符合题意;当 A={3}时,求得 a=错误!未找到引用源。,经检验符合题意. 综上所述,a=0 时,A=? ; a=错误!未找到引用源。时,A={2}; a=错误!未找到引用源。时,A={3}. [题后反思] 注意空集的特殊性,空集是任意集合的子集,因此本题需要考虑 A=? ? B 这一情形. 变式 已知集合 A={x|-2≤x≤5}, B={x|x≥m+1,且 x≤2m-1}.若 A∪ B=A,求实数 m 的取值范围. [处理建议] A∪ B=A?B?A,分析时不要漏掉 B=? 这一情况. [规范板书] 解

∵ A∪ B=A, ∴ B?A.

(1) 若 B=? ,则 m+1>2m-1,即 m<2. (2) 若 B≠? ,则错误!未找到引用源。解得 2≤m≤3. 综上所述,实数 m 的取值范围是(-∞, 3]. (四) 集合的综合应用 【例 4】 已知 A={x|x +(m+2)x+1=0}, B={正实数},且 A∩B=? ,试求实数 m 的取值范围.(见学生用书课堂本 P10)
2

[处理建议] 注意分 A=? 和 A≠? 两类情形. [规范板书] 解 因为 B={正实数},A∩B=? .所以
2 2 2 2

(1)若 A=? ,则方程 x +(m+2)x+1=0 无实数解,所以 Δ=(m+2) -4=m +4m<0,解得-4<m<0. (2)若 A≠? ,则方程 x +(m+2)x+1=0 有非正实数根.因为 x1x2=1>0,所以方程有两个负根,所以错误! 未找到引 用源。解得 m≥0. 综上所述,实数 m 的取值范围是 m>-4. [题后反思] 注意考虑空集的特殊情形及分类讨论思想的应用. 变式 已知集合 P={x|x -3x+2≤0}, S={x|x -2ax+a≤0},且 S?P,求实数 a 的取值组成的集合 A.
2 2

[规范板书] 解 设 f(x)=x -2ax+a,
2 2

P={x|x -3x+2≤0}={x|1≤x≤2}.
2

(1) 当 Δ=(-2a) -4a<0 时,即 0<a<1, S=? ,满足 S?P. (2) 当 Δ=0 时,即 a=0 或 a=1.若 a=0,则 S={0},不满足 S?P,舍去;若 a=1,则 S={1},满足 S?P. (3) 当 Δ>0 时,要满足 S?P,即等价于方程 x -2ax+a=0 的两根位于 1 和 2 之间,
2

即错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。即 a 无解. 综合(1)(2)(3),可得 0<a≤1.所以 A={a|0<a≤1}.

三、 补充练习 2 1. 若 A={1, 4, x}, B={1, x },且 A∩B=B,则 x=0, 2 或-2. 2 2 2 2 2. 已知集合 A={x|x -ax+a -19=0}, B={x|x -5x+6=0}, C={x|x +2x-8=0},且 A∩B≠? , A∩C=? ,则实数 a 的值为-2. 提示 B={2, 3}, C={2, -4},由 A∩B≠? , A∩C=? 知 3∈ A,所以 9-3a+a2-19=0,解得 a=-2 或 a=5,经检验 a=5 不符合 题意. 3. 已知 A={x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B?A,则实数 m 的取值范围为 m≤3. 提示 分 B=? 与 B≠? 两种情况讨论. 四、 课堂小结 1. 集合的含义、表示方法及分类. 2. 集合之间的(真)包含关系:子集、真子集. 3. 集合之间的运算:交集、并集、补集.


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