2014茂名一模(理数)【含答案--全WORD--精心排版】

广东省茂名市 2014 届高三第一次高考模拟考试 数学理试题
一、选择题: 1.若集合 A={ x ? 2< x <1},B={ x 0< x <2}, 则集合 A∩B=( A. { x ? 1< x <1} B. { x ? 2< x <1} C. { x ? 2< x <2} ) C.第三象限 )条件 D.非充分非必要 )
开始 输入函数f (x)

) D. { x 0< x <1}

2.在复平面内,复数 z ? i(1 ? 2i) 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限

D.第四象限

3.设条件 p : a ? 0 ;条件 q : a 2 ? a ? 0 ,那么 p 是 q 的( A.充分非必要 B.必要非充分

C.充分且必要

4.设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13, 则数列 {an } 前 8 项和为( A.128 B.80 C.64 D.56

(1,- 2) 5.顶点在原点,准线与 x 轴垂直,且经过点 的抛物线方程是(
A. y 2 ? ?2 x B. y 2 ? 2 x C. x 2 ? 2 y D. x 2 ? ?2 y


f (x)+f ( x)=0




6.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( A. f ( x) ? x2 C. f ( x) ? ex



f (x)存在零点
是 输出函数f (x) 结束



1 x D. f ( x) ? sin x
B. f ( x ) ? )

7.已知函数 f ( x ) ? lg x -sinx,则 f ( x) 在(0,+∞)上的零点个数为( A.2 B.3 C. 4 D. 无数个

8.定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A, B,

M ? x, y ? 是f ? x ? 图象上任意 一点,其中

x ? ? a ??1 ??? b ? ? ? ? [ 0 ,]1 ? ,向量 O N ?? O A ??1 ? ?

O B MN ? k 恒成立,则称函数 ,若不等式


1 2? 上“k 阶线性近似”, 则实数 k 的取值范围为 ( f ? x? 在? a , ? b上“k 阶线性近似”. 若函数 y ? x ? 在 ?1, x
A. ?0, ? ?? 二、填空题: (一)必做题(9~13 题) 9.已知 a ? (1,2) , b ? (k , ?2) ,若 a ? b ,则 k ? 10.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积 是________ ... 11. (2 x ? B. ?1 , ? ??

? ?? C. ? ? 2,

?3 ?2

? ?

? ?? D. ? ? 2,

?3 ?2

? ?

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

12.已知函数 y ? x 2 与 y ? kx(k ? 0) 的图象所围成的阴影部分(如图所示)

1

的面积为

4 ,则 k=_______. 3

?x ? 0 ? 13.在平面直角坐标系上,设不等式组 ? y ? 0 所表示的平面区域为 Dn ,记 Dn 内的整点(即横坐标和纵 ? y ? ?n( x ? 4) ?
坐标均为整数的点)的个数为 an (n ? N ? ) . 则 a1 = ,经推理可得到 a n = .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计第一题的分) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的参数方程为: ?

? x ? 2t , ( t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? y ? 1 ? 4t
C

? ? 2 c o? s ,则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为

.

B O A D

15. (几何证明选讲选做题)已知圆 O 的半径为 3 ,从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和 割线 ABC ,圆心 O 到 AC 的距离为 2 2 , AB ? 3 ,则切线 AD 的长为______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤, ) 16. (本小题满分 12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? 2b sin A 。 (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? 3 3, c ? 5 ,求 ?ABC 的面积及 b .

17. (本小题满分 12 分)某校高一年级 60 名学生参加数学竞赛,成绩全部在 40 分至 100 分之间,现将成绩分成 以下 6 段: [40,50), [50, 60), [60, 70), [70,80), [80,90), [90,100] ,据此绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求成绩在区间 [80,90) 的频率; (2)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 3 名学生,其中成绩在[90,100]内学生人数为 ξ,求 ξ 的分布列与均 值.
频率/组距 0.045

0.020 0.015 0.005 0 分数 40 50 60 70 80 90 100

2

18. (本小题满分 14 分)设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (1)若 {an } 为公比为 q 的等比数列, 写出并推导 Sn 的计算公式;
n (2)若 an ? 2 , bn ? n log 2 (Sn ? 2) ,求证:

1 1 1 ? ? .... ? <1。 b1 b2 bn

?ABC ? 90 , 19. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥ 底面 ABCD, 底面 ABCD 为梯形, AB∥ DC,
0

且 PA ? AB ? BC ?

1 1 CD , EB ? PE 。 (1)求证:PD∥ 平面 AEC。 (2)求二面角 A ? CE ? P 的余弦值。 2 2

3

20. (本小题满分 14 分)已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的焦点与椭圆 轴长为 4,M、N 是椭圆上的的动点.(1)求椭圆标准方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的焦点重合,且该椭圆的长 a 2 b2
1 ,求证:存在定点 F1 , F2 ,使得 2

(2)设动点 P 满足: OP ? OM ? 2ON ,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

PF1 ? PF2 为定值,并求出 F1 , F2 的坐标;
(3)若 M 在第一象限,且点 M , N 关于原点对称,点 M 在 x 轴的射影为 A ,连接 NA 并延长交椭圆于点 B , 求证:以 NB 为直径的圆经过点 M 。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? (a ? 1) x (a ? R且a ? 0) 2

(1)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)记函数 y ? F ( x) 的图象为曲线 C ,设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是曲线 C 上的不同两点.如果在曲线 C 上存 在点 M ( x0 , y0 ) ,使得:①x0 ?

x1 ? x2 ;② 曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB ,则称函数 F ( x ) 存在“中值 2

相依切线”,试问:函数 f ( x ) 是否存在“中值相依切线”,请说明理由.

4

5

4

参考答案及评分标准

一、选择题:DBAC BDBC 提示: 7.如图,可知答案为 B. 2
3

y

m(x) = 1
1

h(x) = log(x)
x
4 2 2 4 6 8 10 12

g(x) = sin(x)
1

MN ? k 恒成立,即 k ? MN 的最大值,由 N 在线段 AB 上,得 8.由题意知,点 M , N 的横坐标相等,由 2
3 3 1 3 3 x 1 3 A(1, 0), B (2, ) ,因此 AB 方程为 y ? ( x ? 1) ,由图象知: MN ? x ? ? ( x ? 1) ? ? ( ? ) ? ? 2 ,故选 C 2 2 x 2 2 2 x 2
3 4

二 填空题:9.4;

10.12? 5 ;

11. ? 20 ;

12.2;

13.6,6n;

14.

3 5 5

15. 15 ;

13.题第二问解析:由 x ? 0, y ? 0, 4n ? nx ? 0 ,得 0 ? x ? 4 ,所以 x ? 1或2或3 ,因此 Dn 内的整点在直线

x ? 1,x ? 2, x ? 3 上,记直线 y ? 4n ? nx 为 l , l 与直线 x ? 1,x ? 2, x ? 3 的交点的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 ,
则 y1 ? 4n ? n ? 3n, y2 ? 4n ? 2n ? 2n, y3 ? 4n ? 3n ? n, ,所以得 an ? 6n (n ? N ? ) . 三、解答题(共 80 分) bn i s A 16.解: (1) 、 a?2 ,由正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ………………2 分

由于 sin A ? 0, ……3 分, 故有 sin B ?
(2)依题意得: S ?ABC ?

1 2

……4 分, 又

B是锐角,……5 分,? B ? 300 ………6 分

1 1 1 15 3 ac sin 300 …………7 分, ? ? 3 3 ? 5 ? ? ……8 分 2 2 2 4

?由余弦定理b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B可得 …………9 分

b2 ? (3 3)2 ? 52 ? 2 ? 3 3 ? 5 ? cos300 ……10 分,=27+25-45=7………11 分,?b ? 7
17.解: (1)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为

……12 分

1 ? (0.005 ? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045) ?10 ? 0.1 ,

…………………3 分

(2)由已知和(1)的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 60 ? 0.1 ? 6 人,成绩在区间 [90,100] 内的学生 有 60 ? 0.005 ? 10 ? 3 人,…………………4 分,依题意,ξ 可能取的值为 0,1,2,3 ………5 分

则P(? ? 0) ? P(? ? 2) ?

3 1 C6 C62C3 5 15 ? , P ( ? ? 1) ? ? , 3 3 C9 42 C9 28

1 2 3 C6 C3 C3 3 1 ? , P ( ? ? 3) ? ? ...................9分 3 3 C9 14 C9 84

所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3

5

5 15 3 42 28 14 5 15 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 ....................10 分,则均值 Eξ= 0 ? 42 28 14 84
P

1 84
...............................12 分

(q ? 1) (q ? 1) ?na1 ?na1 ? ? n 18.解:(1) Sn ? ? a1 (1 ? q ) … ………3 分 或Sn ? ? a1 ? an q (q ? 1) ? 1? q ? 1 ? q (q ? 1) ? ? a ?a q a (1 ? q n ) (注:只要写对其中一个公式便算对,直接写 Sn ? 1 或Sn ? 1 n 不写 q ? 1 的扣 1 分) 1? q 1? q
证明:因为 Sn ? a1 ? a2 ? ..... ? an ,所以 Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ..... ? a1qn?1 ①……………………4 分 将① 式乘以公比 q ,可得 qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ..... ? a1q n ② ………………5 分 ① -② 得: (1 ? q)Sn ? a1 ? a1q n ……………6 分,所以当 q ? 1 时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) …………7 分 1? q

(q ? 1) ?na1 ? n 当 q ? 1 时, Sn ? a1 ? a1 ? ..... ? a1 ? na1 …………8 分,因此 Sn ? ? a1 (1 ? q ) …………9 分 (q ? 1) ? 1? q ?
(注由于证明等比数列前 n 项和 S n 公式的方法比较多,其它方法按相应的步骤给分) (2)证明:因为 an ? 2n ,所以 a1 ? 2 , Sn ? a1 ? a2 ? .... ? an ?

a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 2n ) ? ? 2n ?1 ? 2 ……………10 分 1? q 1? 2
1 1 1 1 ? ?( ? ) ………13 分 bn n(n ? 1) n n ?1

所以 bn ? n log2 (Sn ? 2) ? n log2 (2n?1 ? 2 ? 2) ? n(n ? 1) ……11 分,因此 则

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? .... ? ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ..... ? ( ? ) ? 1? ? 1 …………14 分 b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

19.解: (1)连结 BD,交 AC 于点 M,连结 EM, 1 BM AB 1 BE 1 ∵ AB∥ DC, AB ? CD ,∴ ? ? ……1 分,又∵ ? , 2 PE 2 MD CD 2 ∴

BM BE 在△ BPD 中, PD // EM ……3 分 ? ……2 分,∴ MD PE
平面 EAC ………5 分 PD ? 平面AEC, EM ? 平面AEC …4 分,∴PD ∥

(2)方法一:以 A 为原点, AB, AP 所在直线分别为 y 轴、 z 轴, 如图建立空间直角坐标系.……… 6 分,设 PA ? AB ? BC ? a , 则 A? 0,0,0? , B ? 0, a,0? , C ? a, a,0? , P ? 0,0, a ? , E ? 0,

? ?

2a a ? , ? .… 7 分, 3 3?

?ax ? ay ? 0, ? 设 n1 ? ( x, y,1) 为平面 EAC 的一个法向量,则 n1 ? AC , n1 ? AE ,∴? 2ay a , ? ? 0. ? 3 ? 3
解得 x ? 设

1 1 1 1 , y ? ? ,∴ n1 ? ( ,? ,1) . 2 2 2 2

……………9 分 ,

n2 ? ( x ' , y ' ,1) 为平面 PBC 的一个法向量,则 n2 ? BC
6

n2 ? BP ,

又 BC ? ? a,0,0? , BP ? (0, ?a, a) ,∴?

?ax ' ? 0,
' ??ay ? a ? 0,

,解得 x ' ? 0, y ' ? 1 ,∴ n2 ? (0,1,1) ……11 分,

? cos? n1 , n2 ??

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

?

3 3 . ……13 分,∴ 二面角 A ? CE ? P 的余弦值为 . ………14 分 6 6

方法二:在等腰 Rt ?PAB 中,取 PB 中点 N ,连结 AN ,则 AN ? PB .………6 分 ∵ 面 PAB ⊥ 面 PCB ,面 PAB 面 PCB = PB ,∴ AN ? 平面 PBC . …7 分

在平面 PBC 内,过 N 作 NH ? 直线 CE 于 H ,连结 AH ,由 AN ? CE 、

NH ? CE ,得 CE ? 平面 ANH ,故 AH ? CE .∴?AHN 就是二面角 A ? CE ? P 的平面角. ………9 分
在 Rt ?PBC 中,设 CB ? a , PB ?

1 2 1 2 a, a , NE ? PB ? PA2 ? AB2 ? 2a , BE ? PB ? 6 6 3 3

CE ? CB 2 ? BE 2 ?
入解得: NH ?

NH CB 11 ? ,代 a ……10 分,由 NH ? CE , EB ? CB 可知: ?NEH ∽?CEB ,∴ NE CE 3

a AN 2 .………12 分,在 Rt ?AHN 中, AN ? ? 11 , a ,∴tan ?AHN ? NH 2 22
……………14 分

cos ?AHN ?

3 1 3 . …………13 分,∴ 二面角 A ? CE ? P 的余弦值为 . ? 6 11 ? 1 6
2

20. (1)解:由题设可知:双曲线 x
2

? y 2 ? 1的焦点为 (? 2,0) ,……1 分,所以椭圆中的 c ? 2, 又由椭圆
2 2

的长轴为 4 得 a ? 2, ……2 分,故 b ? a ? c ? 2 ,故椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ……3 分 4 2

(2)证明:设 P( xp , yP ), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 OP ? OM ? 2ON 可得: ?

? xP ? x1 ? 2 x2 .............① …4 分 ? yP ? y1 ? 2 y2

由直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

yy 1 1 可得: 1 2 ? ? ,即 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0............② ………………5 分 2 x1 x2 2
2 2

2 2 2 2 2 2 由① ② 可得: xP ? 2 yP ? ? x1 ? 2 x2 ? ? 2 ? y1 ? 2 y2 ? ? ( x1 ? 2 y1 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) …6 分

M、N 是椭圆上,故 x1 ? 2 y1 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4
2 2 2 2



故 xP ? 2 yP ? 20 ,即
2 2

2 xP y2 ? P ? 1 …………………7 分 20 10

由椭圆定义可知存在两个定点 F 1 (? 10,0), F 2 ( 10,0) ,使得动点 P 到两定点距离和为定值 4 5 ; ………8 分; (3)证明:设 M ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由题设可知 x1 ? 0, y1 ? 0, x2 ? 0, y2 ? 0, x1 ? x2 , A( x1 ,0), N (? x1, ? y1 ) …9 分

由题设可知 l AB 斜率存在且满足 k NA ? k NB ?

y1 y ?y ? 2 1 .……③ 2 x1 x2 ? x1
7

kMN ? kMB ? 1 ?

y1 y2 ? y1 代入④ 可得: ? ? 1.........④ ……10 分,将③ x1 x2 ? x1
2 2( y2 ? y1 ) y2 ? y1 ( x 2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) …⑤ ? ?1 ? 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

kMN ? kMB ? 1 ?

……11 分

点 M , B 在椭圆

2 x2 y 2 ( x2 ? 2 y2 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) 4?4 ? ? 1 ,故 kMN ? kMB ? 1 ? 2 ? 2 ? 0 ………12 分 2 2 4 2 x2 ? x1 x2 ? x12

所以 kMN ? kMB ? 1 ? 0?kMN ? kMB ? ?1? MN ? MB ……13 分,因此以 NB 为直径的圆经过点 M ……14 分

1 a( x ? 1)( x ? ) 1 a ……2 分 21.解: (1) f ( x ) 定义域是 (0, ??) .……1 分,由已知得, f '( x) ? ? ax ? a ? 1 ? ? x x 1 当 a ? ?1 时, ? ? 1 , 显然函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;……3 分 a 1 1 1 当 a ? ?1 时, ? ? 1 ,令 f '( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 ; ? 函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上递增…4 分 a a a 1 综上所述① 当 a ? ?1 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上递增;② 当 a ? ?1 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上递增…5 分 a
(2) 假设函数 f ( x ) 存在“中值相依切线”, 设 A( x1 ,y 1) ,B (x , 2 y )2 则 y1 ? ln x1 ? 是曲线 y ? f ( x) 上的不同两点, 且 0 ? x1 ? x2 ,

1 2 1 ax1 ? (a ? 1) x1 , y2 ? ln x2 ? ax2 2 ? (a ? 1) x2 .…………6 分 2 2
1

k AB

2 2 y2 ? y1 (ln x2 ? ln x1 ) ? 2 a( x2 ? x1 ) ? (a ? 1)( x2 ? x1 ) ln x2 ? ln x1 1 ? ? ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ……7 分 ? x2 ? x1 x2 ? x1 2 x2 ? x1

曲线在点 M ( x0 , y0 ) 处的切线斜率 k ? f ( x0 ) ? f (
' '

x1 ? x2 a( x1 ? x2 ) 2 )? ? ? a ?1 2 x1 ? x2 2

…………8 分

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) …………9 分 x2 ? x1 2 x1 ? x2 2
x

x 2( x2 ? x1 ) 2( x2 ? 1) ln x2 ? ln x1 2 ? 化简可得: , 即 ln 2 = …………………10 分 1 x1 x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 ? x2
x1 ?1



2(t ? 1) 4 4 4 x2 ? 2? ? 2 . 令 g (t ) ? ln t ? ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? ……11 分, ln t ? ……12 分 t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 x1

1 4 (t ? 1)2 g '(t ) ? ? ? . 因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 (1, ??) 上递增, ………………13 分 t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2
显然有 g (t ) ? 2 恒成立. 所以在 (1, ??) 内不存在 t ,使得 ln t ?

4 ? 2 成立. t ?1

综上所述,假设不成立.所以,函数 f ( x ) 不存在“中值相依切线”…………………14 分

8


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