山东省济南市2013届高三5月针对训练理科科数学试题

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山东省济南市 2013 届高三 5 月针对训练理科科数学试题

本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页. 考试时间 120 分钟。满分 150 分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科 类写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答案不能答在试卷上. 3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置,不 能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能 使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

第 I 卷(选择题
项是符合题目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中只有一

2 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? ?x | x ? 1, x ? Z ? , B ? ?x | x ? 2 x ? 0 ? ,则图中的阴影部分

表示的集合为 A. ?? 1? B. ?2 ? C. ?1, 2 ? D. ?0 , 2 ?
(第 1 题图)

2.已知复数 z 1 ? 1 ? i , z 2 ?
???? ???? O P1、 P2 所成的角为 O

1 1? i

在复平面内对应的点分别为 P1、 P2 , O 为坐标原点,则向量

A.

?
6

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

3.“ ? ?

?
4

”是“函数 y ? sin ( x ? 2 ? ) 是偶函数”的 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充要条件

4.已知 f ( x ) ? ?
1 2

? 3 s in ? x ? ? f ( x ? 1) ? 1 ?

x ? 0 x ? 0

,则 f ( ) 的值为
3

2

A.

B. ?

1 2

C. 1

D. ? 1

2 5.已知 ? ~ N (3, ? ) ,若 P (? ? 2 ) ? 0 .2 ,则 P ( ? ? 4 ) 等于

A. 0 . 2

B. 0 . 3

C. 0 . 7

D. 0 . 8

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 是 A.10 B.15 C.20 D.35

? x ? y ? 2 ≤ 0, y ? 7.变量 x, y 满足 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是 ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?

A. [ , 6 ]
5

9

B. ( ? ? , ] ? [ 6 , ? ? )
5

9

C. [ , 3]
5

9

D. [3, 6 ]

(第 6 题图)

8. 函数 y ?

x sin ( 2 x )

, x ? (?

?
2

, 0) ? (0,

?
2

) 的图象可能是下列图象中的

9.九个人排成三行三列的方阵,从中任选三人,则至少有两人位于同行或同列的概率为 A.
3 7

B.

4 7

C.
x

1 14
2

D.

13 14

10.已知实数 4, m ,1 构成一个等比数列,则圆锥曲线

? y

2

? 1 的离心率为

m

A.

2 2

B. 3
??? ? ??? ?

C.

2 2

或 3

D. 或 3
2

1

11. 给定两个长度为 1 的平面向量 O A 和 O B ,它们的夹角为 60 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动. 若 O C ? x O A ? y O B , 其中 x , y ? R ,则 x ? 2 y 的最大值是
???? ??? ? ??? ?

?

A.2

B.

2 3 3

C.1

D. 3

12. 给出定义:若 x ? ( m ?

1 2

,m ?

1 2

] (其中 m 为整数),则 m 叫做与实数 x “亲密的整数”, 记
f ( x) ? x ? {x}

作 {x} ? m ,在此基础上给出下列关于函数

的四个命题:①函数 y ?
k 2

f ( x)



x ? (0 ,1) 上 是 增 函 数 ;② 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ?
y ? f ( x ) 是周期函数,最小正周期为

( k ? Z ) 对 称 ;③ 函 数

1;④当 x ? (0, 2 ] 时, 函数 g ( x ) ? f ( x ) ? ln x 有两个

零点. 其中正确命题的序号是____________. A. ②③④ B.②③ C.①②

D.②④

第Ⅱ卷(非选择题
13. 若 ? ABC 的面积为
3

共 90 分)
. .

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. , BC
? 2 , C ? 60
? ?
O

,则边长 AB 的长度等于

14.若直线 ? x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则 a 的值为

15.已知三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上, A B ? A A1 ? 2,
A C ? 1, ? B A C ? 6 0 ,则球的表面积为
0

.
1 x 1 x 4 x
2

16.已知 x ? 0 ,有下列不等式成立: x ?
? x? a x
n

? 2

x?

? 2 ,x ?

? 3

x 2

?

x 2

?

4 x
2

? 3

? n ? 1 ,据此归纳,则 a ?

.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(本题满分 12 分) ?x 函数 f ? x ? ? 6 cos 2 A ? 3 sin ?x ? 3?? ? 0 ? 在一个周期内的图像如图所示, 为图像的最
2

高点,B,C 为图像与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ? x ? 的单调递增区间和对称中心.
x
B O C

y
A

(第 17 题图)

18.(本题满分 12 分) 某食品店每天以每瓶 2 元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶,然后以每瓶 3 元的价格出 售,如果当天卖不完,余下的酸奶变质作垃圾处理。 (1)若食品店一天购进 170 瓶,求当天销售酸奶的利润 y(单位:元)关于当天的需求量 n (单位:瓶, n ? N )的函数解析式; (2)根据市场调查,100 天的酸奶的日需求量(单位:瓶)数据整理如下表: 日需求量 n 天数 150 17 160 23 170 23 180 14 190 13 200 10

若以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。食品店一天购进 170 瓶酸奶,
X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .

19.(本题满分 12 分)
a 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 1 ? 1 , 且对任意正整数 n ,点 ? a n ? 1 , S n ? 在 3 x ? 2 y ? 3 ? 0

直线上. (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)是否存在实数 ? ,使得数列 ? S n ? ? ? n ?
? ?
n ? 为等差数列?若存在,求出 ? 的 3 ?

? ?

值;若不存在,则说明理由. 20.(本题满分 12 分) 如图:四边形 ABCD 是梯形, A B / / C D , AD ? CD ,三角形 ADE 是等边三角形,且平面
ABCD ? 平面 ADE ,

E D

F

??? ? 2 ??? ? EF / / AB , CD ? 2 AB ? 2 AD ? 2 EF ? 4 , CG ? CF 3

G C

(1)求证: AF / / 平面 BDG ; (2)求二面角 C ? BD ? G 的余弦值. 21.(本题满分 13 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

A

?

y b

2 2

(第 20 题图)

B

? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F 2 和上下两个顶点 B1 , B 2 是一个边长

为 2 且∠F1B1F2 为 6 0 的菱形的四个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2 斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,A 为椭圆的右顶 点,直线 AE , AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线 P F 2 的 斜率为 k ? .求证: k ? k ? 为定值. 22.(本题满分 13 分)

?

设函数 f ? x ? ? ? x ? 1 ? ln x ? 2 x (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)设 h ? x ? ? f ' ? x ? ?
1 e
x

,若 h ? x ? ? k ? k ? z ? 恒成立,求 k 的最大值.

2013 年 5 月高三针对训练

理科数学参考答案
一、选择题(每题 5 分,满分 60 分) 1.B 2.D 3.B 4.B 5.D 6.D 7.A 8.D 9.D 10.C 11.A 12.A

二、填空题(每题 4 分,满分 16 分) 13. 2 14. 1 15.
8?

16.

n

n

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 解: f ? x ? ? 3 cos ?x ? 3 sin ?x ----------------------------------------------2 分
?? ? f ? x ? ? 2 3 sin ? ?x ? ? ------------------------------------------------------3 分 3? ?

又 ?ABC 为 正 三 角 形 , 且 高 为 2 3 , 则 BC=4. 所 以 函 数 f ? x ? 的 最 小 正 周 期 为 8, 即
2?

?

? 8, ? ?

?
4

--------------------------------------------------------------5 分 分

?? ?? f ? x ? ? 2 3 sin ? x ? ? .------------------------------------------------------6 3? ?4

(2) 由 2 k ? ? 解得 8 k ?

?
2

?

?
4

x?

?
3

? 2k? ? 2 3 ,k ? Z .

?
2

,k ? Z ,

10 3

? x ? 8k ?

………………………………………………8 分
10 3 ,8k ? 4 3 2 3 ,k ? Z ]( k ? Z ) ---------------------9 分

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k 8 ?
?
4 x?



?
3

? k? , k ? Z

,得 x ? 4 k ?

--------------------11 分

所以对称中心为 ( 4 k ?

4 3

, 0 ) k ? Z ---------------------------------------12 分

18.解: (1)
? n ? 2 ?1 7 0 ? n ? ? y ? ? 170 ? ? (0 ? n ? 1 7 0 )

?n

? 170 ?

-

? 3 n ? 3 4 0 (0 ? n ? 1 7 0 ) y= ? 170 ? n ? 170 ? ?

-------------------------------------------4 分

(2)X 可取 110,140,170.

X
P

110 0.17

140 0.23

170 0.6

-----------------------------------------------9 分
E X ? 0 .1 7 ? 1 1 0 ? 0 .2 3 ? 1 4 0 ? 0 .6 ? 1 7 0 ? 1 5 2 .9 ------------------------12 分

19.解:(1)由题意可得:
3 a n ?1 ? 2 S n ? 3 ? 0

① ② ????????????1 分

n ? 2 时,

3 a n ? 2 S n ?1 ? 3 ? 0

①─②得 3 a n ? 1 ? 3 a n ? 2 a n ? 0 ,
a n ?1 an ? 1 3 (n ? 2) ,

????????????4 分
1 3

a 1 ? 1, 3 a 2 ? a 1 ? 3 ? 0 ,? a 2 ?
? ?a n ? 是首项为 1 ,公比为

???????????5 分
1
n ?1

1 3

的等比数列,? a n ? ( )
3

???????? 6 分

1 n 3[1 ? ( ) ] 3 (2)由(1)知 S n ? 2

??????????8 分

若?Sn ? ? ? n ?
?

?

n ? 为等差数列, 3 ?

? ?

S1 ? ? ? ?

?
3
19 9

S2 ? ? ? 2 ?
4 3

?
3
2

S3 ? ? ?3 ?
82 27

?
3
3

则成等差数列,
? ?
3 2

????????10 分

2(S 2 ?

? ) ? S1 ?
3 2

? ? S3 ?
3 2 ?3
n

?, 得
3( n ? 1) 2

又? ?

3 2

时, S n ?
3 2

?n ?

?

,显然 ?
? ?

? 3( n ? 1) ? ? 成等差数列, 2 ? ?

故存在实数 ? ? 20. 解

,使得数列 ? S n ? ? ? n ?
?

?

n ? 成等差数列. 3 ?

????????12 分 于 , 连 接

: (

1







AC



BD

H

GH --------------------------------------------------------1 分

?

AB CD

?

1 2

E D

F

G C

H

A

B

? ?

AH CH CH AH

? ?

1

即?
?2

CH AC

?

2 3

2 CG GF

? GH / / AF -------------------------------------3 分

? GH ? 平面 BDG

AF 不在平面 BDG
? AF / / 平面 BDG --------------------------5 分

(2) 如图建立空间坐标系,
? B (2, 2, 0), C (0, 4, 0), F (1, 2, 3)
??? ? 2 ??? ? 2 4 2 3 ? CG ? CF ? ( , ? , ) 3 3 3 3 ???? ???? ??? ? 2 4 2 3 2 8 2 3 ? DG ? DC ? CG ? (0, 4, 0) ? ( , ? , )?( , , ) 3 3 3 3 3 3

??? ? ? DB ? (2, 2, 0)

----------------------------------------------------8 分
??

设平面 BDG 的法向量为 n1 ? ( x, y,1)
??? ?? ? ? DB ? n1 ? 0 ? ? ? ???? ?? ? DG ? n1 ? 0 ?

?? 3 3 ? n1 ? ( ,? ,1) 3 3

-----------------------------------------10 分

设平面 BDC 的法向量为 n2 , n2 ? (0, 0,1)
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? ? 5 n1 ? n2 3
15 5

?? ?

?? ?

15 5

所以二面角 C ? BD ? G 的余弦值为

. - --------------------------------12 分

21. 解: (1)由条件知 a=2,b= 3 ,

------------------------------2 分

故所求椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1.

-------------------------------------4 分

4

3

(2)设过点 P(1,0)的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) ,设点 E(x1,y1),点 F(x2,y2), --5 分
x
2

将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C:

?

y

2

? 1,

4
2 2 2 2

3

整理得: ( 4 k ? 3 ) x ? 8 k x ? 4 k ? 12 ? 0 ,-----------------------------6 分 因为点 P 在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, ? ?0 恒成立,且
x1 ? x 2 ? 8k 4k
2 2

?3

,

x1 x 2 ?

4k 4k

2 2

? 12 ?3

.

----------------------------------7 分

直线 AE 的方程为:y ?

y1 x1 ? 2 y2

( x ? 2) , 直线 AF 的方程为:y ?

y2 x2 ? 2 y2 x2 ? 2

( x ? 2 ) , x=3, 令

得点 M ( 3 ,

y1 x1 ? 2

) , N (3,

x2 ? 2
1

) ,所以点 P 的坐标 (3,

1

2 x1 ? 2

(

y1

?

)) . -----9 分

(

y1 x1 ? 2

?

y2 x2 ? 2

)?0 ? 1 4 ( y1 x1 ? 2 ? y2 x2 ? 2 )

直线 PF2 的斜率为 k ?
/

2

3?1
1 4
2 2

?

1 4

?

y 2 x1 ? x 2 y 1 ? 2 ( y 1 ? y 2 ) x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4

?

?

2 kx 1 x 2 ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4 k x1 x 2 ? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4

.--------------11 分

将 x1 ? x 2 ?
2?

8k 4k
2
2

2

?3

,

x1 x 2 ?

4k 4k
2

? 12 ?3

代入上式得:

? 3k ? ? 4k 2 2 3 4k ? 3 4k ? 3 . ? ? 2 2 4 k ? 12 8k 4 4k ?2? 2 2 4k ? 3 4k ? 3 3 所以 k ? k ? 为定值 ? . -------------------------------------13 分 4 k ?
/

4 k ? 12

8k

1

?

22. 解: (1)函数的定义域 x ? 0
f ' ? x ? ? ln x ? 1 x 1 x ? 1, g?? x? ? 1 x ? 1 x
2

?1

---------------------------------1 分
? x ?1 x
2

不妨令 g ? x ? ? ln x ?

x ? 1, g ' ? x ? ? 0, 函数 g ( x ) ? f ? ( x ) 递增,又因为 g ? 1 ? ? f ? (1) ? 0,

所以 x ? 1, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单 增 .

-----------------------------------3 分

0 ? x ? 1, g ' ? x ? ? 0, g ( x ) ? f ' ? x ? 单 减 , f ' ? x ? ? f ' ? 1 ? ? 0 ,函数 f

? x ? 单增 -------5 分

所以函数 y ? f ? x ? 在 ? 0, ? ? ? 上递增 ---- ----------------------------------6 分 (2) h ? x ? ? ln x ?
x x

1 x

?1?

1 e
x

, h '? x ? ?

1 x

?

1 x
2

?

1 e
x

x

?

xe ? e ? x
x x

2

x e

2

x

设 ? ? x ? ? xe ? e ? x , ? ' ? x ? ? xe ? 2 x ? x ? e ? 2 ? ----------------------7 分
2 x

x ? ? 0, ln 2 ? , ? ' ? x ? ? 0, ? ? x ? 单 减 , ? ? x ? ? ? ? 0 ? ? ? 1 ? 0 h ' ? x ? ? 0, h ? x ? 单 减 .
x ? ? ln 2 , ? ? ? , ? ' ? x ? ? 0 , ? ? x ? 单 增 , ? ? x ? ? ? ? ln 2 ? ? 2 ln 2 ? 2 ? ? ln 2 ?
2

又 ? ? 1 ? ? ? 1 ? 0 , ? ? 2 ? ? e ? 4 ? 0 存在 x 0 ? ? 1, 2 ? , 使得 ? ? x ? ? 0,
2

在 ? 0, x 0 ? 上 , ? ? x ? ? 0, 在 ? x 0 , ? ? ? 上 , ? ? x ? ? 0
h ? x ? 在 ? 0, x 0 ? 上 递 减 , 在 ? x 0 , ? ? ? 上 递 增
h ? x ? ? h ? x 0 ? ? ln x 0 ? 1 x0 1 e
x0

?1?

----------------------------------10 分



1 e
x0

?

1 x0

?

1 x0
2

,所以 h ? x ? ? h ? x 0 ? ? ln x 0 ?
2 x 1 x
2

1 x0

?1?

1 e
x0

? ln x 0 ?

2 x0

?

1 x0
2

?1

不妨令 M ( x ) ? ln x ?

?

?1 2 x ? 1 x
2

当 x ? ? 1, 2 ? 时, M ? ( x ) ? (ln x ?
M ?( x ) ? 1 x (1 ? 2 x
2 x0

? 1) ? ?

1 x

?

2 x
2

?

2 x
3

?

2 x
2

) ? 0 , M ( x ) ? 0 是单增函数,又 M (1) ? 0 , M ( 2 ) ? ln 2 ?
1 x0
2

1 4

?1

1> h ( x 0 ) ? ln x 0 ?

?

?1 ? 0

---------------------12 分

所以 k ? 0 ,所以 k 的最大值为 0 .

--------------------13 分


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