新版高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案:第二章 §2 2.2 & 2.3 &

新版数学北师大版精品资料 § 2 直线和圆锥曲线的参数方程 2.1 直线的参数方程 [对应学生用书 P24] [自主学习] 1.有向线段的数量 如果 P,M 是 l 上的两点,P 到 M 的方向与直线的正方向一致,那么 PM 取正值,否则 取负值.我们称这个数值为有向线段 PM 的数量. 2.直线参数方程的两种形式 ?x=x0+tcos α, ? (1)经过点 P(x0,y0)、倾斜角是 α 的直线的参数方程为:? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ? 其中 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 t 的几何意义是从点 P 到 M 的位移,可以用有 向线段 PM 的数量来表示. x +λx ? ?x= 1+λ , (2)经过两个定点 Q(x , y ), P(x , y )(其中 x ≠x )的直线的参数方程为? y +λy ? ?y= 1+λ 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 (λ 为参数,λ≠-1). 其中 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 λ 的几何意义是:动点 M 分有向线段 QP 的数 QM 量比 . MP ①当 λ>0 时,M 为内分点; ②当 λ<0 且 λ≠-1 时,M 为外分点; ③当 λ=0 时,点 M 与 Q 重合. [合作探究] b? 1.如何引入参数求过定点 P(x0,y0)且与平面向量 a=(a,b)? ?或斜率为a?平行的直线的 参数方程? 提示:在直线 l 上任取一点 M(x,y),因为 PM ∥a,由两向量共线的充要条件以及 PM = (x - x0 , y - y0) ,可得 x-x0 y-y0 x-x0 y-y0 = ,设这个比值为 t ,即: = = t ,则有: a b a b ? ?x=x0+at, (t∈R). ? ?y=y0+bt ? ?x=x0+tcos α, ? 2.问题 1 中得到的参数方程中参数何时与? (t∈R)中参数 t 具有相同的 ?y=y0+tsin α ? 几何意义? 提示:当 a2+b2=1 时. [对应学生用书 P24] 直线参数方程的确定 [例 1] 已知直线 l 过(3,4),且它的倾斜角 θ=120° . (1)写出直线 l 的参数方程; (2)求直线 l 与直线 x-y+1=0 的交点. [思路点拨] 本题考查如何根据已知条件确定直线的参数方程及运算求解能力,解答此 ?x=x0+tcos α, ? 题需要将条件代入? 得到直线的参数方程,然后与 x-y+1=0 联立可求得 ? ?y=y0+tsin α 交点. [精解详析] (1)直线 l 的参数方程为 ?x=3+tcos 120° , ? ? (t 为参数), ? ?y=4+tsin 120° ?x=3-2t, 即? 3 ?y=4+ 2 t ?x=3-2t, (2)把? 3 ?y=4+ 2 t 1 1 (t 为参数). 代入 x-y+1=0, 1 3 得 3- t-4- t+1=0,得 t=0. 2 2 ?x=3-2t, 把 t=0 代入? 3 ?y=4+ 2 t, 1 得两直线的交点为(3,4). ? ?x=x0+tcos α, 1.已知直线经过的定点与其倾斜角,求参数方程利用? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ? x +λx x= ? ? 1+λ , 2.已知直线过两点,求参数方程利用? y +λy y= ? ? 1+λ ?λ为参数且λ≠-1?. 1 2 1 2 b 3 .已知直线经过的定点与其方向向量 a = (a , b)( 或斜率 ) ,则其参数方程可为: a ? ?x=x0+ta, ? (t 为参数). ?y=y0+tb ? 1.已知两点 A(1,3),B(3,1)和直线 l:y=x,求过点 A,B 的直线的参数方程,并求它与 直线 l 的交点 M 分 AB 的比. 1+3λ x= , ? 1+λ ? AM 解: 设直线 AB 与 l 的交点 M(x, y), 且 =λ, 则直线 AB 的参数方程为? MB 3+λ y= ? ? 1+λ (λ 为参数且 λ≠-1).① 1+3λ 3+λ 把①代入 y=x 得 = ,得 λ=1, 1+λ 1+λ 所以点 M 分 AB 的比为 1∶1. 利用直线参数方程中参数的几何意义解决距离问题 3π [例 2] 写出经过点 M0(-2,3),倾斜角为 的直线 l 的参数方程,并且求出直线 l 上与 4 点 M0 相距为 2 的点的坐标. ? ?x=x0+tcos α, [思路点拨] 本题考查直线参数方程? (t 为参数)的应用,特别是参数几 ?y=y0+tsin α ? 何意义的应用.解答此题需先求出直线上与点 M0 相距为 2 的点对应的参数 t,然后代入参 数方程求此点的坐标. [精解详析] 直线 l 的参数方程为 ?x=-2+tcos 4 , ? 3π ?y=3+tsin 4 3π (t 为参数).① 设直线 l 上与已知点 M0 相距为 2 的点为 M 点,M 点对应的参数为 t,则|M0M|=|t|=2, ∴t=± 2.将 t 的值代入①式: 当 t=2 时,M 点在 M0 点上方,其坐标为(-2- 2,3+ 2); 当 t=-2 时,M 点在 M0 点下方,其坐标为(-2+ 2,3- 2). ?x=x0+tcos α, ? 1.过定点 P(x0,y0),倾斜角为 α 的直线的参数方程为? (t 为参数),|t| ? ?y=y0+tsin α 的几何意义是有向线段 PM 的长度,即 P 与 M 间的距离. ? ?x=x0+at, b 2.过定点 M0(x0,y0),斜率为 的直线的参数方程是? (a,b 为常数,t 为参 a ?y=y0+bt ? 数).当 a2+b2=1 时,|t|的几何意义是有向线段 M 0 M 的长度,当 a2+b2≠1 时,|t|的几何意 义是 M 0 M 的长度的 1 . a +b2 2 ?x=1+t, 2.

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